6.3.1平面向量基本定理-新教材2021-2021学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

1、6. 3平而向量基本定理及坐标表示6. 3.1平面向量基本定理导I学聚焦考点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了 解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表 示平面向量数学抽象、数学运算T页习家问题导学预习教材P25P27的内容，思考以下问题:1 .基底中两个向量可以共线吗？2 .平面向量基本定理的内容是什么？新知初探平面向量基本定理条件勺，乃是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量。，有且只有一对实数几，2,使曰0 +上62基底若ei,的不共线，把ei, e2叫做表示这一平而内所有向量的一个基底名师点拨(l)ei

2、, 2是同一平面内的两个不共线的向量，ei, 的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底.(2)基底6，e?确定后，实数;11，是唯一确定的.、自我检测:一a判断(正确的打“ j ”，错误的打“ x ”)(1)基底中的向量不能为零向量.()(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.()(3)若。，6不共线，且2ia+山=上。+办则71=，i=2.()(4)平而向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示.() 答案：，(2)X (3)V (4)J设ei,乃是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A. 2ei， 3e2B,6+为，3ei +

3、 3e2C.%，5e2D. G， ei+e2答案：B若,红) 是八15。的中线，已知=，=6,则以，5为基底表示=()A/1(b)B ,(n+b)C.3r)D.1+a解析：选B.如图，工。是8C的中线，则。为线段8。的中点，从而从而=；(+)=/+6).探究案 平而向量基本定理的理解设G，力是不共线的两个向量，给出下列四组向量:ei 与 ei+ez; e -22 与。2-2ei； ei-2P2 与 462-2ei； ei+e?与 0一的.其中，不能作为平而内所有向量的一组基底的是(写出满足条件的序号).f 人=1,【解析】设6+/=融I,则，a 无解，11 = 0,所以ei+s与C不共线，即c

4、i与约+仃能作为一且基底.设 e2ei= A(ez2ei),则(1+2A)ei(2+2)2 = 0,1+2 入=0,则j _ 无解，所以ei 与会一26不共线, 2+入=0,即也一2二与白一2为能作为一组基底.因为刃一2/=一；(4口一2ei),所以ei2e2与4e：2ei共线，即6一与4e： -2ei不能作为一组基底.l-k=0,设/+e=2(均一行)，则(1 一2”1 + (1+2)0=0,则v . 无解，所以为+.与/一不共线，即 1+1=0,ei+ez与e】一己能作为一且基底.【答案】律方法对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反

5、之，则可 作基底.(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来.设向量。与。是平面内两个不共线的向量,若xio+y力=切0+”儿则不=汇2,提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样.跟踪训练1 .设点。是三铝8两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平而上表示其他所有向量的基底的是（）与；与；与：与.B.D. A.C.解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在。/8中，与不共线，与不共线；而，故可作为 基底.D.,2 .点。为正六边形.45CQ石尸的中心，则可作为基底的一对向量是（）A.,C.,解析：选B.由题图可

6、知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量.用基底表示平而向量如图所示，在、18CQ中，点E, F分别为8C,。边上的中点，DE与BF交于点、G,若=小=b,试用基底，5表示向量，.【解】=+互动探究1 .变问法本例条件不变，试用基底。，6表示.2解：由平面几何知识知8G=,职，? 故= + = +,2f 12 J,=+.一引=于十科2.变条件若将本例中的向量“，”换为“，即若=，=b,试用基底，6表示向量, 解：= + =2 + = -2+ = -26+.= + =2+=-2+ = -2。+律方法用基底表示向量的两种方法（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，

7、直至用基底表示为止.（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1.在，/。中，点。在边.铝上，且=5, t 12A.a+-jbC.|n+4z解析：选B.因为=,=，=b,所以=。+二 2.如图，已知在梯形中，E b.试以m 6为基底表示，.Z解：连接E4, DF.因为ADBC,且 所以岩4,所以=；= 因为=:,所以= 所以= -=一菽 所以=+ = - 方一（。-，方）=/ 一。，= + = _（+）=_根+!a-加=）一. 探究点图殳=，=b,则为（）21D.%+1121=+=+式6-）=乎+犯:,尸分别是，如，8c边上的中点，且8c=3,4D, =a,A E Dc

8、,跟踪训练:平而向量基本定理的应用（fflS 如图，在5c中，点”是5c的中点，点N在zic上，且，W=2NC,区以与8N相交于点P,求 AP：PM 与 BP：PN.【解】设=ei,=史，则=+ = -3e2-ei, = + =26+2.因为 P, M和8, P, N分别共线， 所以存在实数2, 使得=2=一融】-3), =2i +，g .故=+ = - = (7+2)61+(32+4)02.而=+ = 2ei + 3e2,由平面向量基本定理， +2/4=2,付13/1+=3,解得j31=5-所以=之，=|,所以4尸：PM=4 ： 1, BP ： PA=3 : 2.互动探究1 .变问法在本例条

9、件下，若=, =b,试用。，b表示.2解：由本例解析知5P ： PN=3 ： 2,则=亍2 .变条件若本例中的点N为乂C的中点，其他条件不变，求AP：PM与BP：PN.解:如图，设=约，=。2,则=+ = -2ei-ei9 = + = 2ei + e2.因为工P, M和3,尸，N分别共线，所以存在实数2, 使得=%=/02）伫,=N=2ei +462.故=+ = - = (z+2)6+(22+/z)e2.而=+ = 2ei+2ei,由平面向量基本定理,a+2/4=2,得I 4 +=2,0=|,解得j22?所以=予=,所以 H尸：尸M=2, BP ： PN=2.律方法若直接利用基底表示向量比较困

10、难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利 用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据 待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.跟踪训练;1 .设ei，02是平面内的一个基底，且 =ei+2e2, b = e+ei 则 ei+ei=故 ei+e2=-)Mg 21答案：3 32 .在中，D为AB上一点、,若=2, =:+九 则2=解析:因为=2, 2 2所以=?=）（一）.21 2因为在jcd中，=+=+式一）=+?2所以答案：I验证反愦达标1.如图在矩形,438中,若=5ei, =3电则=（）A.1(5ei

11、 + 3e2)C.1(3e2 5ei)dJ(5g - 3的)2 .已知非零向量，不共线，且2=x+），若=2，则x, y满足的关系是（）A. x+y2=0B. 2x+y-l=QC. x+2y-2=0D. 2x+y-2=Q解析：选A.由=九 得一 =2（一），即=（1+2）一尢又2=x+y,所以，卜=2+22, 消去丸得x+y=2.=一2九3 .如图，在平行四边形4CD中,设=，=如 试用基底小6表示，.解：法一：设C, 80交于点O,则有= =；=；% =；=1法二：设=, =V,则=八x+y=a91111解得、=50-56, 尸尸+初，应用案 （强化培优通关ta基础达标1.若门，是平而“内两

12、个不共线的向量，则下列说法不正确的是（）4ei+e2（L ER）可以表示平面a内的所有向量；对于平面a中的任一向量小使。=：+的实数九有无数多对：若八1，1，42，2均为实数，且向量小约+述2与226+2。共线，则有且只有一个实数使九G+162 =2(幺261 +22)：若存在实数2, 使i+e2=0,则2=0.A.C.B. 3)D.解析：选B.由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确.对于，当小=2=1=2 = 0 时，这样的力有无数个.故选B.2.在矩形一铝8中，。是对角线的交点，若=的，=。,则=（）C（2七一 6）D.5(e2-e0解析：选A.因为。是矩形H3CD对角线的交点，=e

13、i, =62,所以=+）=仃+史），故选A.3已知0, 2为基底,向量=负一比2, =2ei-ei, =36-3及,若4 3,已三点共线,则1的值是（）A. 2B. -3C. -2D. 3解析：选人.=一=一+2的=一（012个）.又乂，B,。三点共线，则和是共线向量，所以k=2.4 .己知的边3C上有一点。,满足=3 ,则可表示为（）A=5+；B=；+|C. = -2 + 37D=3 + 3解析：选 B.由=3 ,得=+ = +|=+永一）=；+*5 .若。点在三角形的边8C上，且=4=r+s,则3r+s的值为（）16atc 12btc!d5解析：选C.因为=4=r+s,4 4所以=$=$(

14、 一 ) = 7+s,4 所以7,=予45-“.12 4 8所以 3r+s=g-5=亍6.已知，6是一个基底，实数x, y满足（3x4y）a+（2x-3T=6+35,贝ijxy的值为, 解析：因为d5是一个基底，所以。与6不共线，3x-4y=6,解得12a-3y=3,因为(3x4y)+(2x3y)A=6+35,所以x=6,所以x-y=3.b=3,答案：37 .已知。，工8是平面上的三个点，直线，空上有一点C,满足2+=0,若=，=b,用，b表示向量，则=解析：=-,=-,因为 2+=0,所以 2(一)+(一)=0,所以=2 = 24答案：2a-b8 .如图，在平行四边形H3CZ）中，.4C,

15、3Q相交于点O, E为线段乂0的中点，若 =2+4。， R），则2+=.解析:因为=+=:+=：+,所以=.+/,所以=亨，9,设也,2是不共线的非零向量，且0 = 61-22，6 = 61 + 3”（1）证明：。，与可以作为一个基底：（2）以，6为基底表示向量c=3ei-e2.解：（1）证明：假设。=，（iR）,则 ei leiA（ei + 3ez）.人=1, 由ei,/不共线，得 ,.3A=-29所以2不存在.故与b不共线，可以作为一个基底.(2)设 c=ma+nb(m, n G R),则 3ei 一/=-2e：)+n(e + 3e2) = +)勺 + (2m + 3)e2.所以，?+ =

16、 3, .解得-2?w + 3?= -1,加=2, 77=1.所以c=2o+410 .如图所示，设M N、尸是八15c三边上的点，且=*=p =1.若=，=b, 试用a，6将，表示出来.初1 2 1 2f斛：=-=一=）。一 葩，B能力提升11 .若G，及是平而内所有向量的一个基底，且a=3ei-4e2f b = 6ei+婕2不能构成一个基底，则k的值为解析:当ab时，a, 6不能构成一个基底，故存在2,使得。=乃,即3=%(一)= A + A , -=_1,所以， 2，则卜上事=7, y答案：|13 .如图所示，在043中，=a,=瓦M, N分别是边。4,。8上的点，且=；，=gb,设与交于

17、点 P，用向量6表示，则=.解析：因为=+ , = + ,设=7”,=，贝 U = +m=go +机(6；。)=|(1 -mjarmb,=+ ” =：( 1 -+)i aI (1-w)=， =.5(1一”) =m.1?所以=5。+ ?. 12答案：即十14 .如图，平行四边形，38的对角线3C, 8。交于。点，线段。上有点M/A7c满足=3,线段C。上有点N满足=2。0),设=，=瓦已知=试求实数/九的值.解:依题意得=6访 =a+b,且=3=前一与=9一,=+ =(1+乡=(；+拉6)，所以= + =6+=+=4。+00力14(“一的=+款即=G+4)(。+6)=0+由平面向量基本定理，得3 1 一2- - - a 解12Z1 助1 2 12C拓展探究21