单方程回归模型的预测 计量经济学 EVIEWS建模课件 课件

1、单方程回归模型的预测单方程回归模型的预测 计量经计量经济学济学 EVIEWS EVIEWS建模课件建模课件 外生给定X0 = (1 X1,0 X2,0 Xk,0)；通过回归方程可以对Y0作出预测，并将预测值的估计值简记为YF0；其中X0在样本范围内时，称为内插预测；X0在样本范围之外时，称为外推预测。 在时序分析中外推预测是指对样本时间范围之外的各时期的预测，如根据样本为T的回归方程做T+1期的预测，要先给定： XT+1 = (1 X1,T+1 X2,T+1 Xk,T+1 )那么T + 1期被解释变量YT+1的点预测式为：YFT+1= XT+1B =b0 +b1X1,T+1 + +bkXk,T

2、+1在此根底上才能进行E(Y0)和Y0的置信区间的预测。对总体回归模型总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时有： 0101000100)b()b()bb()(XeEEXEeXEYE0100XY而通过样本回归函数b0+b1X，求得捏合值b0+b1X的期望值为：0100100100)E( )()(XXXEYE 总体均值预测值的置信区间总体均值预测值的置信区间 对于一元方程的预测： 且线性模型的参数与估计值也具有线性特点，所以该线性函数其无偏估计函数也服从正态分布。可以证明： )(1(,(22020100ixXXnXNY二、预测的置信区间二、预测的置信区间0100XYbb 22200,iixnXN

3、b2211,ixNb 222200222222202220222110001200110002021120020100102000122bb2bbbb2bbbbiiiiiiiixXXnXXXXnXnXxxXXxXxnXEXVarXVarXXEXXEYYEYVar注：见下页- + 相抵注： 222222222221100111bbiiiiiiiiiiiiiiixXxxXEKXKnKXKnEKKXnEE注：iiKXn1b00iiK11b注：注：2iiixxK注：K=0证毕：222001iixXXnYYVar) 2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS 于是，在1-的置信度下

4、，总体均值总体均值E(Y|X0)的的置置信区间为信区间为 0202000)|(YYStYXYEStY其中首先求点预测式：X0B的抽样概率分布。E(YF0)=E(X0B)=X0E(B)=X0=Y0 Var(YF0)=Var(X0B)=E(X0B-X0)(X0B-X0) =EX0(B-)X0(B-) =X0E(B-)(B-)X0 =X0Var(B)X0 =X02(XX)-1X0 =2X0(XX)-1X0对于多元模型的预测 因为B服从多元正态分布，所以容易证明YF也服从多元正态分布： YF0NX0，2X0(XX)-1X0由于总体误差的方差未知，我所用残差估计的标准误差来替代，那么标准化时构成了t统计

5、量为： 以t/2为(1-)的置信水平下的临界值，那么置信区间为：X0Bt/2(n-k-1)S(X0(XX)-1X0)-)1(01000)(kntXXXXsXBXt 具体值具体值Y0的置信区间的置信区间 对具体值Y0的预测，要考虑到在一般的点预测的期望值的根底上，应考虑其分布的误差情况，即：YF0=X0B+0因为：E(YF0)=E(X0B+0)=X0+0；且：Var(Y0)=Var(YF0)Var(0) = 2 X0(XX)-1X0 + 2 = 2 X0(XX)-1X0 + 1所以有：Y0NX0， 2 X0(XX)-1X0 + 1；置信区间将是：X0Bt/2sX0(XX)-1X0 + 1一元线性

6、模型的举例分析如下：一元线性模型的举例分析如下： 由 Y0=0+1X0+ 及N(0,2)，可知： 2220100011,iixXXnXNYeY 22222220011002020110001100020201100200100102010010011021bb2bbbb2bbbbiiiixXXnxXXneXEeEXEXeeXEeXXbbEXeXEYVar独立时乘积的期望等于期望的积证明： 将未知的2代以它的无偏估计量s2，可以构造t统计量：式中 : 从而在1-的置信度下， Y0的置信区间的置信区间为： 2220100011,iixXXnXNYeY2000ntsYYtY2202110ieYxXX

7、nss002/002/0YYstYYstY 实例续：在上述收入收入消费支出消费支出例中，得到的样本回归函数为:iiXY777. 0172.103 那么在X0=1000处，0 = 即：而： 29.1712974250002150100010111340220YVar 29.37277425000215010001011340220YVar所以：88.1300YS05.610YS因此，总体均值总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为：61.05 E(Y|X=1000) 或 , 814.62)同样地，对于Y在X=1000的个体值个体值，其95%的置信区间为： 130.88Yx=1000 或

8、 , 975.65) 预测本卷须知对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间(置信区间):(1)样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；(2)样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测(插值预测)精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。 总体回归函数的置信置信带带(域域)(confidence band) 个体的置信置信带带(域域) YXE(Y|X)E(X)E(Y)E(Y|X)的置信区间Y个值的置信区间对给定的自变量X的值，变量Y并非总是分布在预测线上，而是分布在它的周围，这样在Y与YF 之间就必然形成一定的离差，如果离差的值很小，那么说明估计值YF

9、与观察值Y比较接近，观察值愈靠近预测回归线，回归方程就越好的反映了两变量之间的关系，其代表性较强；相反，如果离差的值很大，即y与YF的差距很大，这说明除自变量而外，尚有其他重要因素还没有找出，方程的精度低，代表性差。三、对预测结果的评价三、对预测结果的评价主要评价指标主要评价指标Root Mean Squared ErrorMean Absolute ErrorMAPE(Mean Absolute Percentage Error)泰勒不等系数Theil(Theil Inequality Coefficient)P(Bias Proportion)(Variance Proportion)(C

10、ovariance Proportion)其中：S为标准差，r为YF与Y的相关系数，且：-100001000200030004000500060007000800012345678910 11 12 13 14 15XJGDPFForecast: XJGDPFActual: XJGDPForecast sample: 1 15Included observations: 15Root Mean Squared Error 912.3859Mean Absolute Error 740.2530Mean Abs. Percent Error 31.00142Theil Inequality Coefficient 0.147475 Bias