微分方程(习题及解答)

1、解：解：第十二章 微分方程§ 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程1. 下列所给方程中，不是微分方程的是 ( ) (A) xy 2y ；2 2 2(B) x2 y2 C2 ；(C) y y 0 ；(D) (7x 6y)dx (x y)dy 0 答 (B)2. 微分方程 5y4 yxy 2yddxy 10x y；0 的阶数是 () (A) 1 ； (B)2；(C) 3 ； (D) 4 ；答 (C)3. 下列所给的函数，是微分方程y y 0 的通解的是 () (A) y C1 cosx ；(B) y C2 sin x ；(C) y cosx Csinx ；(D) y C1

2、 cos x C2sin x答 (D) .、单项选择题( ) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y ex y ；(B) xy(C) y xy 1 0 ；(D) (xy x ；y)dx (x y)dy 0 答 (A) .5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 ()(A) y ex y ； (B) xy y x2 ；(C) y xy x 0 ；(D) (x y)dx (x y)dy0答 (D) .、填空题1函数 y25x2 是否是微分方程 xy 2y 的解 答：是.2微分方程dxdy0, y x 3 4 的解是 答：x22y225yx3x2x2 C 3微分方程3x25x5y

3、 0 的通解是 答：y524微分方程xyylny 0 的通解是 答：yCx e5微分方程12 xy1 y2 的通解是 答：arcsin yarcsin x C6微分方程xyyy(ln y ln x) 的通解是 答：yxCx e三、解答题1求下列微分方程的通解22(1) sec xtanydx sec y tan xd y 0 ；(2) y xy a(y2 y )；解：解：(2) y sin x yln y, y x 解：e；2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) y e2x y, y x 0 0；解：(3) xdy 2ydx 0, y x 2 1；(4) ddyx 10x y解：解：3

4、* 设连续函数 f (x)2x t0 f 2t dt ln2，求 f ( x)的非积分表达式答：f(x) ex ln2 § 一阶线性微分方程、全微分方程、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是 ( ).dy dxdy ) A) Cy23(ln x) y2 ；x(x y)2 ；(B) ddyx dx(D) (x2yx15(x 1)2y)dx (x y)dy 0 答 (B) .解：解：2. 微分方程 (x y dy(5) (y2 6x)ddxy 2y 0 ；)dx 2xydy 0 的方程类型是 ()(A) 齐次微分方程；(B) 一阶线性微分方程；答 (D) .(C) 可分离变

5、量的微分方程；(D) 全微分方程3. 方程 xy x y y 是()(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；(C) 伯努利方程；(D) 可分离变量方程 . 答 (A) .1微分方程dyx ye的通解为dx2微分方程(x2y)dxxdy0的通解为3方程 (xy)(dxdy)dxdy 的通解为、填空题三、简答题1求下列微分方程的通解：答： y答：答： xxxCe xe xy C y ln(x y) C (1) yycosxsin x edy y(2) xddxy yln yx；解：解：2(3) xy y x2 3x 2 ； 解：(4) y ytanx sin2x ； 解：(6) ey (xey

6、2y)dy 0 ；2 2 2(7) (a2 2xy y2)dx (x y)2dy 0 解：2求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) ddxy 3y 8, yx 0 2；dx解：dy y sin x (2)dx x x 解：13* 求伯努利方程 3xydx2xy2 的通解解：§ 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程(A)ycosx1C1x22C2xC3；(B) y cosx C1 ；(C)ysinx1C1x221C2xC3 ；(D) y 2sin2x.1. 方程 y sin x 的通解是 ( ).答 (A).、单项选择题2. 微分方程 y y xy 满足条件 y x 2 1， y

7、x 2 1的解是 (1 2 21(A) y (x 1)2 ；(B) y x 2 4 ；12(C) y 2(x 1)21；2；1 2 5 (D) y x 2 4 答 (C)3. 对方程 y y2y2，以下做法正确的是 ()(A) 令 y p(x) ，yp 代入求解； (B) 令 y p(y) ， ypp 代入求解；(C) 按可分离变量的方程求解；(D) 按伯努利方程求解答 (B)4. 下列函数组线性相关的 是 ( ).2x 2x(A) e2x , 3e2x;2x 3x(B) e , e ；(C) sinx, cosx ;2x 2x(D) e , xe 答 (A)5. 下列方程中，二阶线性微分方程

8、是 ()(A)y2y(y )3 0；(B) y2yyx xy ex ；(C)y2x2y22y2 3x2 ；(D) y2xyx2 y 2ex 答 (D) .6.y1,y2 是 ypy qy0的两个解，则其通解是()(A)yC1y1y2；(B) yC1y1C2 y2 ；(C)yC1y1C2y2 ，其中y1与 y2 线性相关；(D)yC1y1C2y2 ，其中y1与 y2 线性无关答 (D)7. 下列函数组线性相关的 是 ().(A) e2x, 3e2x ；2x 3x(B)e2x, e3x ；(C) sin x, cosx ；2x 2x (D) e , xe、填空题答 (A) .答：y3 x 6sin

9、x C1x C22答：yC1exxx C2 .221微分方程 y x sinx 的通解为2微分方程 y y x 的通解为 三、简答题1求下列微分方程的通解(2) y 21(y )2解：2(1) y 1 (y )2；解：2求方程 y x(y)2 0满足条件 y x 1 2， yx 1 1的特解 解：二阶常系数线性齐次微分方程1. 下列函数中，不是微分方程y y 0 的解的是 ( ) (A) y sinx ；(B) ycosx；(C) y ex ；(D) ysinx cosx 答 (C)2. 下列微分方程中，通解是yC1e x C2e3x的方程是 ()(A) y 2y 3y0；(B) y2y 5y

10、 0 ；(C) y y 2y0；(D) y2y y 0 答 (A)3. 下列微分方程中，通解是yC1ex C2xex的方程是 ()(A) y 2y y0；(B) y2y y 0 ；(C) y 2y y0；(D) y2y 4y 0 答 (B)4. 下列微分方程中，通解是yxe (C1 cos2 xC2 sin2x) 的方程是 ()(A) y 2y 4y0；(B) y2y 4y 0(C) y 2y 5y0；(D) y2y 5y 0 答 (D)5. 若方程 y pyqy 0 的系数满足 1 pq 0 ，则方程的一个解是() (A) x ；(B) ex；(C) e x； (D) sinx 答 (B)6

11、*. 设 y f (x) 是方程 y2y2y 0的一个解，若 f (x0) 0, f (x0)0 ，则 f (x) 在 x)(A) x0 的某邻域内单调减少；(B) x0 的某邻域内单调增加；(C) 取极大值；(D) 取极小值答 (C)、单项选择题(x0处二、填空题1微分方程的通解为y 4y 0 的通解为 答：yC1 C2e4x 2微分方程yy2y 0 的通解为 答：yC1ex C2e 2x 3微分方程y4y4y 0 的通解为 答：yC1e2x C2xe2x 4微分方程y4y0 的通解为 答：yC1 cos2x C2 sin2x5方程 y6y13y0 的通解为 答： y3xe(C1 cos2x

12、 C2 sin 2 x)三、简答题1求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ；解：(2)解：d2x4ddt2x20dxdt25x 0 2求下列方程满足初始条件的特解(1) y 4y3y0,yx010, y x 0 6 ；(2) y 25y 0, yx05, yx02解：解：§二阶常系数线性非齐次微分方程单项选择题1. 微分方程yy2x2 的一个特解应具有形式 ()(A) Ax2 ；(B) Ax2 Bx ；2(C) Ax2BxC；2(D) x(Ax2 Bx C) 答 (C) .2. 微分方程yyx2 的一个特解应具有形式 ()2(A) Ax2 ；2(B) Ax2 Bx ；(C)

13、 Ax2BxC；(D) x(Ax2 Bx C) 答 (C) .3. 微分方程y5y6yxe 2x 的一个特解应具有形式 ( )2x(A) Axe 2x；2x(B) (Ax B)e 2x ；(C) (Ax2BxC)e2x；(D) x(Ax B)e 2x答 (B) .4. 微分方程yy2yx2ex 的一个特解应具有形式 ()(A) Ax2ex；(B) (Ax2 Bx)ex ；2(C) x(Ax2Bx C)ex ；(D) (Ax2 Bx C)ex 答 (C) .5. 微分方程y2y3yex sinx 的一个特解应具有形式 ()(A) ex (AcosxBsin x) ；(B) Aex sinx ；(C) xex ( Asin xBcosx)； (D) Axex sinx答 (A) .填空题1微分方程y4y3 xx 的一个特解形式为答：2微分方程y2yx 的一个特解形式为 .答：3微分方程y5y6yxex的一个特解形式为. 答：4微分方程y5y6yxe