模块质量检测

1、模块质量检测（A）（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订）（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）1. 命题"若a> 1，则a> 2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是（）A. 0B . 1C. 2D . 4解析：原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为"若a> 2,则a>1”为假命题，故否命题为假命题.故4个命题中有2个真命题.故选 C.答案： C2. 命题"任意的x R,2x4 x2 + 1<0”的否

2、定是（）A.不存在 x R,2x4 x2 + 1<0B 存在 x R,2x4x2 + 1<0C.存在 x R,2x4 x2 + 1> 0D .对任意的 x R,2x4 x2+ 1> 0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x R,2x4 x2 + 1 > 0.答案： C3. 椭圆x2+ my2= 1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）1 1A.：B.2C. 2D . 4解析： 由 x2+ my2= 1,得 x2 + f = 1,m又椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，1刚1孑4，即 m=4答案： A4. 平面内有两定点 A

3、、B及动点P,设命题甲是：“ |RA|+ |PB|是定值”，命题乙是： “点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A .甲是乙成立的充分不必要条件C.甲是乙成立的充要条件B .甲是乙成立的必要不充分条件D .甲是乙成立的非充分非必要条件解析：甲？ /乙乙？甲甲是乙的必要不充分条件，故选B.答案： B5. 下列结论正确的个数是 () 命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； 命题“ ？ x R , xA. (1, 4,2)+ 2V 0”是全称命题； 若 p: ? x R , x2 + 4x + 4 < 0,贝 U q : ? x R, x2+ 4x+ 4 < 0 是全称命题.6.

4、设张3n，7t,则关于x, y的方程x2cos 0sin 0=1所表示的曲线为(A 实轴在y轴上的双曲线C.长轴在y轴上的椭圆 解析： / 0 3n, n ,4，B. 实轴在x轴上的双曲线D .长轴在x轴上的椭圆A. 0B . 1C. 2D . 3解析：只有命题正确.答案： B'cos 0<0，且 |cos 0>sin 0>0,原方程可化为即盘 + |cOri厂i，它表示长轴在y轴上的椭圆.答案： Ca过直线l与点M(1,2,3),7.已知直线I过点P(1,0, 1)，平行于向量a = (2,1,1)，平面1B. 4，则平面a的法向量不可能是()C.4,1，4D .

5、(0, 1,1)解析：PM = (0,2,4)，直线l的方向向量为a = (2,1,1),2设平面a的法向量n = (x, y, z),n PM = 0则经检验，A, B, C都是平面a的法向量.故选 D.n a= 0,答案： D&顶点在原点，且过点（4,4）的抛物线的标准方程是（）A.y2= 4xB .x2= 4yC. y2= 4x 或 x2= 4yD .y2= 4x或x2=4y解析：采用排除法，选C.答案： C9.正四面体 ABCD中，点E，F，G分别是AB, AD，DC的中点，给出向量的数量积 如下：Ab Cd :疋玮；ef fg ；EGCD 其中等于o的个数是（）A. 1B .

6、 2C. 3D . 4解析：均为0.答案：D10.过双曲线* 务=1的焦点作弦MN ,若|MN|= 48 ,则此弦的倾斜角为（）918A. 30 °B. 60 °C. 30。或 150 °D . 60 或 120 °解析： 用弦长公式',1 + k2|x1 X2|求解，显然直线 MN的斜率存在，设直线斜率为 k, 则直线方程为y= k（x 3 - 3）,与双曲线方程联立，得(2 k2)x2 + 6 ,3k2x 27k2 18= 0,所以|MN|=+ k26/5k2 22 k2 227k2+ 18+ 4一2 k2 一 = 48,解得k2= 3即 k

7、= 土3,故选D.答案： D11如图所示，正方体 ABCD A的值为（）A.1210 B 15C.11D. 15"B ' C' D 中，M 是 AB 的中点，贝U sin DB ', CM >解析：以D为原点，DA , DC , DD '为x, y, z轴建系,设正方体的棱长为1,则DB ' = (1,1,1), C(0,1,0),M 1 , 2, 0 , CM = 1 , 2 0 ,故 cos D? , CM >=谭则Sin DB，CM "卡.答案： B12 .已知 a > 0, b> 0,且双曲线Ci:2

8、2 2 2計汁1与椭圆C2：拿+ 2有共同的焦点,b2则双曲线Ci的离心率为(A. .22 34用D. 3解析:a2+ b2= c2,由已知2a2 2b2 = c2,所以4a2= 3c2，所以e=aa解析：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.设命题p： |4x 3|w 1,命题q: x2 (2a + 1)x+ a(a+ 1)w 0,若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数 a的取值范围是 .、 、 1 解析： 綈 p: x>1 或 x<2；綈 q： x>a + 1 或 x<a,11所以0< aw-.a < 2,

9、 若綈p?綈q,綈p? /綈q，则a + 1 > 1,1答案：0w aw14 .正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，点 M在AC1上且AM =1 tt2MC1, N为B1B的中点，贝U |MN|为.解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，贝U A(a,O,O),aCi(0, a, a), N a, a, 2 设 M(x，y，z)->->1 ->点 M 在ACi 上且 AM = 2MC1,(x a, y, z) = 2( x, a y, a z)2 a ax= 3a, y = 3, z= 32a a a得M亍,3, 3 ,答案：字a615如图，

10、设0为？ABCD所在平面外任意一点，E为0C的中点.若AE+ xOB + yOA，贝H x=, y=1 解析：AE = OE OA = 2OC OA=2(OB + BC) OA = 2(OB + AD) OA3 t 1 t 1 t =-2OA+qOB+ 2Od.13.x= 2, y= 213答案：1 3x2y216. 若方程 + 丄 =1所表示的曲线为 C,给出下列四个命题：4 t t 15 若C为椭圆，则1<t<4,且X5; 若C为双曲线，贝U t>4或t<1 ; 曲线C不可能是圆；3 若C表示椭圆，且长轴在 x轴上，则1<t<3.其中正确的命题是 .(把

11、所有正确命题的序号都填在横线上)4 t>0,解析：若为椭圆 t 1>0 ,即1<t<4，且t工号,4 t 丰 t 1 ,若为双曲线，则(4 t)(t 1)<0，即4<t或t<1 ;55当t= 2时，表示圆，若 c表示长轴在x轴上的椭圆，贝y 1<t<-，故正确.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤).17. (本小题满分12分)已知p：方程x2 + mx+ 1 = 0有两个不等的负根；q：方程4x2 +4(m 2)x+ 1= 0无实根.若p或q为真，p且q为假，求 m的取值范围.解析：

12、若方程x2+ mx+ 1 = 0有两不等的负根，= m2 4> 0, 贝U解得m> 2,即p： m>2.m> 0,若方程4*+ 4(m 2)x+ 1 = 0无实根，贝U = 16(m 2)2 16= 16(m2 4m+ 3) v 0,解得 1 v mv 3, 即卩 q: 1 v mv 3.因p或q为真，所以p, q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假,即p为真，q为假或p为假，q为真.m>2,mW 2,或mW 1 或m31 v mv 3,解得m3或1 v mW 2.18.（本小题满分12分）已知拋物线的顶点在原点，它的准

13、线过双曲线x!a2=1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点 拋物线方程和双曲线方程.解析： 依题意，设 拋物线方程为y2= 2px（p>0）,3 3点 2，76 在拋物线上，6 = 2p2.p = 2,所求拋物线方程为一 4x.3Pf 6，求双曲线左焦点在 拋物线的准线x=- 1上，c= 1，即a2+ b2= 1，又点2，.6在双曲线上,3 2-?= 1a2 b2 =1a2+ b2= 1解得b2 = 3所求双曲线方程为 彳-彳=1.19. （本小题满分12分）已知p： 2x2- 9x+ a<0,x2 4x + 3<0,q：2且綈p是綈q的充

14、分条件，求实数 a的取值范围.M x2 6x+ 8<0,2x2 4x+ 3<0 ,1<x<3,解析：由q:解得x2 6x+ 8<0 ,2<x<4,即 2<x<3, .q : 2<x<3.设 A= x|2x2 9x+ a<0, B = x|2<x<3,綈 p?綈 q,.q? p,.B? A,'2<x<3 满足不等式 2x2 9x+ a<0,令 f(x) = 2x2 9x+ a,要使2<x<3满足不等式 2x2 9x+ a<0,f 2 w 0, 只需f 3 w 0,8 1

15、8 + a w 0,即a w 9,18 27 + a w 0,故所求实数a的取值范围是 a|aw 9.20. (本小题满分12分)如图，已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB / DC,/ DAB亠 1 =90° PA 丄底面 ABCD，且 PA= AD = DC = qAB = 1, M 是 PB 的中点.(1) 证明：面FAD丄面PCD.(2) 求AC与PB所成角的余弦值.解析：建立如图所示的空间直角坐标系,1则各点的坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、MO, 1, q .证明： AP = (0,0,1), DC

16、= (0,1,0), AP DC = 0.AP 丄 DC ,AD 丄 DC , ADC丄面 PAD.又DC在平面 PCD上，故面 PAD丄面PCD.(2) vAC= (1,1,0), PB= (0,2 , - 1),故|AC|= ,2, |PB|= .5, AC PB= 2, AC PB Vi0cos AC, PB>= |AC|PB|221. (本小题满分12分)已知椭圆G: X4 + y2= 1过点(m,0)作圆X2+ y2 = 1的切线I交椭圆G于A, B两点.(1) 求椭圆G的焦点坐标和离心率；将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.解析： 由已知得a = 2, b= 1,

17、所以c= - a2 b2= ,3.所以椭圆G的焦点坐标为(一，3, 0), ( .3, 0).离心率为e= C=宁.(2) 由题意知，|m|> 1.当m = 1时，切线I的方程为x= 1,点A, B的坐标分别为1，-f , 1，右3.此时 AB|= . 3.当m= 1时，同理可得|AB|=,3.当|m|>1时，设切线I的方程为y= k(x m). y= k x m ,由 x2得(1 + 4k2)x2 8k2mx+ 4k2m2 4= 0.7 + y2=64你4 4k2m2-4 + 4k2 21 + 4k24 ;'3|m|m2 + 3由于当m= ±1时，|AB|= 3

18、,设A, B两点的坐标分别为（xi, yi）,（X2, y2），则Xl+ x2 =8k2m1 + 4k2'4k2m2 4X1X2 =1 + 4 k2又由 I 与圆 x2 + y2= 1 相切，得 |km| = 1,即卩 m2k2= k2 + 1./k2 + 1所以 AB|= X2 X12+ y2 y11 + k2-1 + k2 X1 + X2 2 4X1X2所以AB|=社，口 （"1 U 1 , + a).因为AB| =4 ；3|m|m2 + 34 .3|m|+mw2，且当m =土. 3时,|AB|= 2,所以AB|的最大值为2.22. （本小题满分14分）如图，四边形 ABCD为正方形，PD丄平面 ABCD , PD / QA,1QA = AB = PD.证明：平面 PQC丄平面 DCQ ;(2)求二面角 QBPC 的余弦值 解析：如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D xyz.(1)依题意有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ= (1,1,0), DC = (0,0,1), PQ= (1, - 1,0).所以 PQ DQ= 0,PQ DC = 0,即 P