第五章弯曲应力(材料力学)要点

1、忖M力学I电帙赛第五章弯曲一力材料力学第五章考曲应力2016年U月9日布也力攀I电¥饺赛第五章，由力第五章弯曲应力 §54纯弯曲 E§52纯弯曲时的正应力 E § 5-3横力弯曲时的正应力EE§S4弯曲切应力 JE § 5-5*关于弯曲理论的基本假设CE§5-6提高弯曲强度的措施材格 力攀I电子械索第五章弯曲应力r MI 电 ¥6 集第五章客曲庭力梁横截面弯曲应力穹曲正应力otM弯曲切应力TT&问题性质连续体的管不定问题分析方法几何：试验（外部变影观测）=假设（内部变形假设）=应变分布规，律与公式 物理二应

2、力分布规律与公式 你力学:确定应力大小/歹'§5-1纯弯曲纯弯曲和横力弯曲的概念在八。和D8段，梁的横截 面既有弯矩，又有剪力，这 种情况称为横力警曲（剪切 一曲）。在CO段内，梁的横截面 上剪力为零，而弯矩为常量， 这种情况称为纯弯曲3梁在纯警曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。§5-2纯弯曲时的正应力1、变形几何关系1）实验观测（纯弯曲） 纵向线；成圆弧线.上方纵向线 缩短，下方伸长 横向线；保持直线，与横线正交 顶与底部纵、横线变形比;符合 单向受力泊松效应第五章客蚂应力弯曲变形材“力立I电，级赛第五章弯曲底力姒向直线代及一层 纤维，变影后为平行曲 线

3、.每层变成曲面，同 层纤维变形相同.下层纤维受拉伸长, 上层纣堆受压缩短；层间更形连续，中 间必有一层即不伸长也 不缩短，称为中柱层. 横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度 且仍与纵线正交.横戳面与中性层的交线称为中性轴.材“力学I电¥校*第五章弯曲应力中性层中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层. 中性轴：横截面与中性层的交线.中姓轴，截面纵向对称轴横截面间绕中性轴相对转动2)基本假设作如下假设：(D梁的横裁面变形后仍保持为平面，且垂直于变形 后的轴线，即弯曲变形的平面假设.(2)纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向 受拉或受压状态.府“为.I -级建第五章弯曲

4、A力bb变形前的长度等于中性层中性层长度不变，所以：bbm0r o；°；=pdO纵向线沉度形后的长度为：67/ = (p + y)d®纵向线从的应变为_y)d3 - pdO _ ypAOp即，纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布.竹料力学I 乎较集第五章*初立力2、物理关系因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时, 由胡克定律有：b = Eb = pJ偏离中性轴的坐标值, 夕一中性层的曲率半径.竹料力学I 乎较集第五章*初立力即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性 轴的距离），成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。对横截面上的内力系，有:3、静

5、力学关系FjadA M、= jjbdAM. = £ yerdA根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对N轴的力偶矩M 即；/ = Jcrd/i = 0,M = zcrdA = 0. A/. = | yadA = MJ 舄J A-材料力学I公案第五章弯尚应力"n = J 即1 = 0 t=O j 仲I = £ J ycU = 0 =oJ ydA = S. = 0 =>z轴通过形心即：中性轴通过形心.M、=jrxM=0t=0> JjodA = J jalA = 0=> y-cL4 = /57 =0-G=°因为y轴是对称轴,上式自然满足材料力学

6、I公案第五章弯尚应力M = M = I vrr dA将弯矩M和坐标/按规定的正负号代入，所得到的正 应力。若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力. 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为技应力，而凹入边的 应力为压应力，此时和y可以直接代入绝对值材姓力学I电集第五章弯曲应力在横截面上高中性轴最远的各点处，正应力最大.令：叫='niw式中M称为扭弯截面系数，其单位为人<*对于轧制的型钢，其I，和W,均可直接从型钢表中查得。材制力学I电号假/帚五幸弯曲一力§ 5-1横力弯曲时的正应力1、纯弯曲理论的推广工程中实际的梁大多发生横力弯

7、曲，此时梁的横截面 由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还 使各纵向线之间发生挤压(8疝里)。因此，对于梁在纯弯曲 时所作的平面假设和纵向线之间无挤氐的假设实际上都不 再成立，但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形 截面简支梁，当其跨长与截面高度之比%大于5时，梁的 跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正&力其误差不超 过1%,故在工程应用中就将纯警曲时的正应力计算公式用 于横力弯曲情况，即，Mf.v)YCT =!最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的.则有：区2Mg比较拉压：bg扭转：?皿（、府M A学I电¥饺集第五章弯曲应力2、公式的应用范围1）在弹性

8、范围内2）具有切应力的梁f >5 h3）平面弯曲4）直梁3、强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力= nm < jmax w 1 J村*力学I电第五章弯曲庭力材X力攀I -，恢宾希五幸一曲力口弯曲强度计算步骤L进行受力分析，正璃确定约束力；根据梁上的栽荷 和约束力画出弯知图.2 .根据弯矩困和截面沿轴线的变化情况，确定可能的 危峻面.3 .根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点.4 .应用强度条件解决强度问题.-对于担压许用应力相等的材料，采用。mW"；对于拉压许用应力不等的材料，采用LzSpl。（F 20R忖X力学I电，较集第五章客由应力例7-9钢制等截

9、面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面 为卜26的矩形,求梁的截面尺寸-解：作弯矩图危险截面在梁的中点，其值为”gx"根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算:= 67.9 mmh > I 3</尸 _ j3x(5OxlO' N/m)x(2 m)2I6(t = V-l6x(12OxlOft Pa)""h = 2b= 136mmrx力学I电¥6赛第五章弯曲应力例(书例5. 2)己知,lal=l(M> MPa>尸=25.3 kN.求，校核心轴的强度。解：计算简图如图.乡。0怎二27 kN(1)求支反力.画弯矩图6支反力代=23.6

10、 kN.A确定危险截面R i=23,6 kN,俏=27 kNI截面11截面【II截面材料力学T ¥公妻强度校核朦面= 4.72 kN-m第五章弯曲应力IVZ =L=；rx（95xl（） =84.1x10 6 m 32326=#=56/MPaW。达二 /rx(85xlOl)3- = 60.3x 10/ m'3232au = 56.7 MPa <a 材x力学I e ¥6集第五章一由应力= 2M=66.9xldm' 32M%,=”= 69.4 MPa* |wiu结论满足强度要求。注意 最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。例T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所

11、示.铸铁 的抗拉许用应力为q = 30MPa ,抗压许用应力为明 = 160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为/. =763cm4,Ji =52mm,校核梁的强度物”力攀第五章弯曲应力M R. =2.5kN Ra = 10.5kN大正弯矩在梯面c上 Me = 2.5kN in 量大负胃矩在面a上MB=4kNm 出截面5M =加由=27.2心<3/ /z6mL 华=«,2MPavs I zCMI=也看=2«.BMPa < |a,I材M力学 J电乎6*第五章弯曲应力在梁上截一微段心，再在很段上用水平截面截一微元。府M力学I电'*第五章弯曲应力FT'

12、hclx=FN2-FNl小="a = L4"4 =汽.),必哈S：行格力学I电乎较案第五章弯曲应力同理得F" = M+dM s；F=r'bdx="Fi府X力学I电¥饺集希五章弯曲应力b式中s；为截面求应力那点到截面边缘所围面积对 中牲轴的处矩.U, h r 1 h b 2S：=Ay =/X-y)fy + -(-y)l = -(-j )U，44 r6久“2、改诉(>')由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标F的2 次函数，切应力的大小沿戴面高度呈抛物线分布.中 性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零.材M力学第五章弯曲应力ma

13、x材料力学Ie乎公集第五章弯曲应力二、工字形裁面的切应力研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为腹板小假设求应力的点到中性轴的距离为y材X力学I电，假妻第五章再曲应力Lbb一腹板的厚度距中性轴为J的横线以外部分的 横截面面积A-对中性轴的静矩.,11、11 7/、】+以不一y)+ 5(5 - y)B 2 f 2x b / ko、二“./1)+一()广)82 4 -材“力学I * n *第五章弯曲应力F$B 2 j b h? 2iT = (H . /)+ ( V*)Lb 82 4J哈4-(8-哈k-M腹板切应力的近似公式因为:(1)腹板切应力近似为均匀分布；(2)计算表明，腹板负担了绝大部分剪

14、力.Fsi = r d A 0.9F.近似公式：hb第五章再曲应力翼缘的切应力特点(1)因为翼缘的上、下表面无切 应力，所以翼缘上、下边缘处平 行于y轴的切应力为零；(2)除了有平行于剪力A的切应 力分量外，还有与剪力人垂直 的切应力分量，工字形截面梁的腹板承担的剪力所以 切应力数值与腹板的切应力相比较小.可见翼缘上平行于J轴的切应力很小，工程上一般不考虑.第五章弯曲底力即翼缘上垂直于J轴的切 应力陋体线性瓦律变化.且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚 梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构 成了 “切应力流” .村“力学I电孕铁集第五章弯曲应力三.圆截面梁在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆

15、周相切斗d假设信）沿宽度M上各点处的的应力均 汇交于0点；;）各点处切应力沿/方向的分量沿宽VVT77 度相等最大剪应力发生在中性轴上lb ? i c式中4二”一为圆截面的面积4*四、回环形微面梁图示为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为8,环的平均半径为仆,信横假面上剪应力的大小沿壁厚无变化;(b)剪应力的方向与圆周相切。横截面上最大的剪应力发生中性轴上，其值为;J=2今式中A=2wU为环形截面的面积第五章弯曲底力五、强度条件工团六、需要枝杖切应力的几种特殊情况(1)梁的湾度较短较小,而入较大时,要校核剪应力；(2)钟接或焊接的组合湿面，其腹板的厚度与高度比小 于型制的相应比值时,要校核剪应力z(

16、3)各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核剪 应力.材姓力学I希五章弯曲应力实心截面梁正应力与切应力的比较Pl PS, (T =, T >对矩形截面梁所以，对实心脚速通常不需要校核剪切强度.槽也力学Ie¥假索第五章专由宜力回 w g Lb力在梁中间位置时有最大正应力.Mn、A、= 375kNm. J；5m37SkNm例 图示简易起重设备，F' = ：M>kN. 博长/ = 5 m.吊车大梁48由2(如工字 钢制成，许用正应力15=170MPh许 用剪应力H= 100MP& ,试校核梁的 强度.解：此吊车梁可简化为何支梁正应力强度校核由型钢表查得20a

17、工字钢的叭=237cm所以梁的最大正应力为“z =黄=，MPa<在计算最大剪应力时应取荷载，.在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大.而梁的最大切应力也就最大."smax = Ra kF- 30kN查型钢表中,20a号工字钢，有白=17.2cm J=7mm5 g、据此校核梁的剪应力强度= 24.9MPa<r以上两方面的强度条件 都满足，所以此梁是安全的.材姓力学I电¥彼妻希五章弯曲应力例（P154）筒支痴8如图所示= 2nwf = 0.2m.梁上的教荷为c=l（】kMm/ = 2（M）kN .材料的许用应力为=160MP9.2IOkN电=5=

18、意如28km查型钢表选用220工字 钢，其也=309cm、府也力学I败赛第五幸弯曲底力(3)校核梁的切应力查表禽 % = 18,9cm,腹板厚度d=0.75cm,由剪力图知最大剪力为210kNr210x】Cr'2 l.b 18.9乂1010.75 乂 10"= !48MPa>r = 1(X)MPa1a,超过E很多，应重新选择更大的界面现已好b工字钢进行试算查表得 产 = 189cm. d=1cmSzmaxrx = 二 98,6MPa<|T = 1 (HIM Pa2213xlOJxlxlO2所以应选用型号为25b的工字钢.府X力学I电子少妻第五拿弯曲应力W图示梁由三块板胶合而成:横截赢彳如图嬴 求梁的最大切应力和胶缝的切应力.q = 3 kN/ni疗72m+2滑Fa=6 kN Fb=6 kN解:F=6kN3*3 乂6 乂 10, 2x60x120=1.25 MPa凡 1s. 6xl060x40x4()xl2= Lil MPalb 60xl20Jx60§ 55提高梁强度的主要措施梁的设计主要依据正应力强度条件，即由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低