2020年江苏省南京市秦淮区高一下学期数学期中考试(附带详细解析)

1、绝密启用前2020年江苏省南京市秦淮区高一下学期期中数学试题题号一一二总分得分考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分、单选题1 .设 0 x 一，贝U sin 2x 。1 sin 2x4A. 2sin xB. 2cosxC.2.在ABC中，角A,状为（）A .直角三角形C.等腰直角三角形3.已知A.C. m3, 丫为平面,4. 一个四面体各棱长都为2sin xD.2cosxB,l,C所对的边分别为ab，c，B.等腰三角形D.等腰或直角三角形

2、m, n为直线，则下列哪个条件能推出B.D.则 ABC的形B.2 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为C. 3百D.第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题5. sin14 cos16 cos14 sin16 的值是26.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a,b,c ,若bc2 a23bc ,则试卷第8页，总4页A等于7 .在正方体ABCD AB1C1D1的各条棱中，与直线 AAi异面的棱有 条.8 .在VABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知a 8, b 5, C 60，则VABC的面积为.9 .已知某圆锥底面直径为 2,侧面展

3、开图扇形的圆心角为 ,则该圆锥体积为 310 .在 VABC 中，cosA4 tan B5，1一,则C的值是7511.已知sin 彳-,则sin 2 的值为12. 一个正六棱锥的体积是4J3,底面边长为2,则该六棱锥的侧面积是13.在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a, b,c,若3a2cos A cos2Bsin2 A14.在 VABC 中，若 sinC 2cos AcosB ,则 tan Atan B 的取值范围为 评卷人得分三、解答题15.在VABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知a 3, b 1, C 60(1)求 c；(2)求 sin A.16.如图，在正

4、三棱锥 P-ABC中，E, F, G分别为线段PA, PB, BC的中点.(1)求证：EF/平面ABC；X 题 X X 答 X X 内 X X 线 X X 订 X X 装 X X 在 X X 要 X X 不 X X 请 X17.已知0,3sin.25(1)求sin2的值；(2)求 cos 2的值.418.如图，在止二棱柱ABCA1B1C1中，D, E分别为BC, AB1的中点(2)求证：BC，平面PAG.(1)求证：AD BiC ；(2)求证：B1C/平面 AEC1 .19. (1)在VABC中，角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,证明余弦定理:2, 22a b c 2bccosA

5、;(2)长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度 Vi设Vi和V2的夹角为0 (0180 ),北岸的点d 1km, 一艘游船从南岸码头 A出10km/h ,水流速度 V2 4km/h ,A在点A的正北方向.当cos多大时，游船能到达 Ai处，需要航行多少时间?当 120时，判断游船航行到达北岸的位置在A的左侧还是右侧，并说明理由20.如图，在VABC中，已知AB 4, A ，D是线段AC延长线上一点，CBD 一,44设 ABC的大小为。，记VBCD的面积关于。的函数为f().题答内线订装在要不请派(1)求f()解析式和定义域;(2)求f ()最小值.参考答

6、案1. B【解析】【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据x的范围，判断sin x和cosx的大小,去绝对值即可.【详解】因为 sin2x 2sin xcosx, sin2 x cos2x 1 ,所以 /sin 2x sin 2x | sin x cosx | | sin x cosx |,因为 0 x ,所以 cosx sin x 0, 4所以 d sin 2x 1 sin 2x sin x cosx cosx sin x 2cos x.故选：B【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及1 sin 2x (sin x cosx)2,考查学生对三角恒等变换公式的掌

7、握，属于基础题.2. B【解析】试题分析：由已知及余弦定理可解得b=c,即可判断得解.解：,-r=2cosC, b22 _2由余弦定理可得：W=2 乂.+b _ <?b2ab，整理可得：b=c.故选B.考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数.3. C【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直的有关定理，对选项逐一分析即可【详解】对于A,未说明l ,故错误；对于B,垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误；对于C,因为m , m ，所以，又l ，则l ,故正确；对于D,垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误 故选：C【点睛】本题主要考查空间中平行和垂直有关定理的运用，考查学生的

8、逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题.4. A【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球， 通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积.由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1,所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为近，所以球的表面积为：24 R2 4()2 3 ，故选 A.2考点：球内接多面体15 .一2【解析】【分析】逆用正弦的两角和公式求解即可 .【详解】1sin14 cos16 cos14 sin16 sin(14 16) sin30 -.1故答案为：12【点睛】本题主要考查两角和正弦公式的逆用，属于简单题6

9、 .6 b2 c2 a2. 3【解析】由已知.在 ABC中，cosA b一c 乂3, A 2bc 27 . 4【解析】与棱AA异面的有：BC, CH GD1, B1C1故答案为4.8 . 1073【解析】【分析】根据三角形的面积公式求解即可 .【详解】S 工 absinC _85 - 10J3. 222故答案为：10-、3【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，属于简单题c 2、31t93【解析】答案第17页，总13页已知底面直径和圆锥侧面展开图扇形的圆心角，利用扇形的弧长公式解得圆锥母线l的长,再求出扇形的高h,最后利用圆锥体积公式求解即可因为底面直径为2,所以底面半径r1 ,底面积S ,底面

10、周长C 2又侧面圆心角所以该圆锥母线l 3 , 12J2,所以体积V 1Sh,32.2故答案为:2127t3本题主要考查扇形的弧长公式和圆锥的体积公式,还考查学生对圆锥展开图的理解,属于基础题.310. 一4由平方关系求得sin A ,由商关系和平方关系求得sin B 和 cosB ,在 VABC中,ABC所以利用cosCcos(A B)求得cosC ,从而求得C的值.因为cosA0,一2sin A1 cos2 A35'因为tanBsin Bsin B0,一2cosB2sin B72cos BcosB107 V210在 VABC中，A BcosC =cos - A Bcos A所以co

11、sCcos(AB)ACA C 32sin Asin B cos Acos B 5 104 7/2510故答案为：4【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系,诱导公式以及两角和的余弦公式，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题11. 3【解析】将sin一变形为sin 6一,然后利用诱导公式和二倍角公式求解即可2sin 2sin 26cos 2-1 2sin26本题主要考查三角恒等变换的综合应用,需要学生对诱导公式和二倍角公式熟练掌握且灵活运用，属于中档题.12. 66由底面边长求得底面正六边形的面积,再由棱锥的体积公式求得高， 再计算侧面上高，最后求侧面积即可.根据题意，底面边长为 a 2,底面

12、积"2662_ 1体积V 473 sh,所以高h 2,3所以侧棱长l%'aF2展,侧面上的高 ji2、.81 ,7所以侧面积11-S 6a% 626722故答案为:6、,7【点睛】本题主要考查棱锥的性质，对棱锥的结构特征的理解，考查学生的空间想象能力和计算能力,属于基础题.713.2【解析】将cos2 A变形成1 sin2 A，由二倍角公式展开 cos2B ,再由正弦定理和 3a 2b化简即可.222cos A 1 sin A，cos2B 1 2sin B，所以cos2 A cos2B 2sin 2 B sin2 A.2 Asin A.2 Asin A由正弦定理,2sin 2

13、 B sin2 A 2b- 2 、sin A22a2,a又3a 2b ,所以222b a2a2，4 a'22a 7.故答案为：72【点睛】 本题主要考查二倍角的余弦公式和正弦定理，考查学生的转化思想，属于基础题14. (0,1利用诱导公式得sinC sin(A B),再化简等式得到tanA tanB 2,代入到tanAtanB中，整理成关于tan A的一元二次函数的形式，再由tan A的范围求得tan AtanB的值域.【详解】在 VABC 中，ABC ，所以 sin C sin(A B),所以 2cosAcosB sinC sin(A B) sin AcosB cosAsin B,等

14、式两边同时除以 cosAcosB ,得tanA tanB 2,因为A和B均为锐角，所以tan A (0,2),所以 tan A tanB tan A(2 tan A) (tan A 1)2 1 (0,1,当tan A tan B 1时取最大值，故答案为：(0,1【点睛】考查本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式和一元二次函数求值域的问题,学生转化思想的应用和计算能力，属于中档题15. (1)由；(2)3 21；14(1)已知两边夹一角，直接运用余弦定理求解即可;(2)利用正弦定理求解即可2222(1)余弦定理得,1 a b c 9 1 c cosC - 2 2ab6解得c .,7 ;

15、a c3 /一(2)正弦定理得,-a-所以. A asinC 323石彳.sin A sin C sin A 一 c .714本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，考查学生对基本知识的理解掌握，属于基础题16. (1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由中位线定理得 EFAB,再由线面平行的判定定理证明即可；(2)根据等腰三角形的底边中线与底边垂直，得到BC AG和BC PG,再根据线面垂直的判定定理证明即可 .【详解】(1)在PAB中，由中位线可知 EF/AB ,又EF 平面ABC , AB i平面ABC ,所以EF平面ABC ;(2)由正三棱锥可知， VABC为等边三角形，

16、 PAB为等腰三角形，因为G为中点，所以BC AG, BC PG,且AG PG G,AG 平面PAG , PG 平面PAG，所以BOX平面PAG .【点睛】本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理，解题的关键是可以找到线线平行和线线垂直, 属于基础题17. (1)空；(2)槐2550【解析】【分析】3 一 一(2)由sin 3 上可以得到52(1)由sin0,-,解得cos ,再利用二倍角的正弦公式求解即可;0, , 20,进而求解出cos2 ,再利用两角差的余弦公式展开求解即可(1)由 sin35,0,所以 cos1 sin224所以sin 22sincos ；2545'2sin2-

17、7 ,252 7 2 竺 31、2V 25 -2 2550(2)因为 sin 9 sin 且 0, 5242所以 0,- , 20,-,所以 cos2 1所以 cos 2 cos cos2sin sin 2444【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用、二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式，解 题中注意根据题目条件求得角的范围，从而判断三角函数值的正负，属于基础题18. (1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)要证明AD BC ,先证明AD 平面BCC1B1 ,又因为BC 平面BCCB ,即可证明AD B1C ；(2)连AC交A。于O,连OE ,由中位线定理得B1C /OE ,再

18、根据线面平行的判定定 理证明即可.【详解】(1)由正三梭柱可知，BB1平面ABC, AD 平面ABC,所以BB AD,在等边VABC中，D为BC中点，所以BC AD ,且BC I BB B ,BC 平面 BCC1 Bi , BB1 平面 BCC1 Bi ,所以 AD 平面 BCC1 Bi ,又 BiC 平面 BCC1 Bi ,所以 AD B1c ；(2)连 AC 交 AC1 于 O,连 OE ,在VABC中，由中位线定理可知 B1C/OE ,且B1C 平面AEC1 , OE 平面AECi ,所以BC/平面AECi .【点睛】本题主要考查线面垂直的性质和线面平行的判定定理，注意中位线定理和等腰三

19、角形底边中点的应用，属于基础题.19. (1)证明见解析；(2)COS 2时，需要航行t 叵 h ；左侧，理由见解析 542【解析】【分析】uur uur uuu(1)利用|BC| |AC AB|,两边平方即可证明；(2)游船能到 A处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，得到V2 MCOS 180,从而解出cos ,再解出游船垂直江岸方向的速度，即可求得所需时间；判断游船水平方向上速度向左，即可判断游船到达A的左侧.【详解】(1)利用向量法证明余弦定理：uur uuur uuu在 VABC 中，| BC | | AC AB | ,两边平方可得：BC2 AC2 AB2 2AC ABcosA，222即 a b c 2bccosA,余弦定理得证；(2)若游船能到 A处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等,贝U有 v2 v1 cos 180 ，得 cos 180所以 cos cos 180因为0180，所以 sin21此时游船垂直江岸方向的速度vv1 sin2、21km/h时间t d旦42即当cos一时，游船能到达5A处，需要航行t 叵h422)120时，游船水平方向的速度大小为v1cos 1801km/ h ,方向水平向左，故最终到达北岸时游船