高等数学课件：2-9导数的概念

1、第九节 第二二章 一、实例分析一、实例分析二、导数的概念二、导数的概念四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系三、利用定义求导数举例三、利用定义求导数举例导数的概念 一、导数的概念一、导数的概念1. 定义定义2.1 设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的某邻域的某邻域 U(x0)内内有定义有定义.)(00 xUxx )()(00 xfxxfy 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若若(1)存在存在,)(xf则称函数则称函数在点在点 x0 处处可导可导, 并称此极限并称此极限值为值为 y = f (x)在点在点 x0 处的处的导数

2、，导数，记作记作)(0 xf xxfxxfx )()(lim000也可记作也可记作:;0 xxy ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 注注 1 若极限若极限(1)不存在，不存在，时时，当当 xxfxxfx)()(lim000)(xf则则称称此时，导数不存在；此时，导数不存在；处处连连续续，则则有有在在若若0)(xxf曲线上对应点有垂直于曲线上对应点有垂直于x 轴的切线轴的切线.几几何何意意义义：则称则称 f (x)在点在点 x0 处处不可导不可导. 特别地，特别地，在点在点 x0 处的导数为处的导数为无穷大无穷大 .hxfhxfh)()(lim000 .)()(lim000 xxxfxf

3、xx )(0 xf 2导数的其它形式导数的其它形式hx xxfxxfx )()(lim000 xxx 0.,0快快慢慢程程度度而而变变化化的的因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化它它反反映映了了处处的的变变化化率率在在点点在在一一点点的的导导数数是是因因变变量量x3例例1hfhfh2)3()3(lim0 (1)解解 原原式式)()3()(3)21(lim0hfhfh xfxfx )3()3(lim)21(01221)3(21 fxh 求求已知已知, 2)3( f(2)hhfhfh2)3()3(lim0 解解hfhffhfh)3()3()3()3(21lim0 原原式式)3()3()3()3

4、(lim210hfhfhfhfh )3()3(21ff . 2)3( f2. 单侧导数单侧导数在点在点0 x的某个的某个右右 邻域内有定义邻域内有定义,)(xfy (左左)设函数设函数若极限若极限)(0 xf xxfxxfx )()(lim000 xyx 0lim 则称此极限为则称此极限为)(xf存在存在,在在点点 x0 处的处的右导数右导数. 0 0(左左)3. 可导的充要条件可导的充要条件定理定理 R)()()()(000 AAxfxfAxf证证hxfhxfhF)()()(00 令令因为因为AhFhFAhFhhh )(lim)(lim)(lim000 定理成立定理成立.解解xy xyO,)

5、0()0(hhhfhf hfhfh)0()0(lim0, 1 hfhfh)0()0(lim0. 1 ),0()0( ff即即例例2.0)(处的可导性处的可导性在点在点讨论函数讨论函数 xxxf.0)(点不可导点不可导在在 xxfyhhh 0limhhh 0lim4. 区间上可导区间上可导若函数若函数 f (x) 在开区间在开区间 I 内每点都可导内每点都可导, 则称则称函数函数 f (x)在在 I 内可导内可导. 此时，对于任此时，对于任 一一 x I ,都对应着都对应着 f (x)的的 一个确定的导数值，一个确定的导数值，所构成的所构成的新函数称为新函数称为导函数导函数.记作记作;y ;)(

6、xf ;ddxy.d)(dxxf即即xxfxxfx )()(lim0)(xf 若若 f (x) 在开区间在开区间 (a, b)内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，则称都存在，则称 f (x) 在闭区间在闭区间a, b上可导上可导.注注.)()(00 xxxfxf 一般地，一般地，)(0 xf 如：如：，xxf )(1)( xf1)0( f但但. 00 )0( fxxfxfd)(d )(00 xyOxy 三、利用定义求导数举例三、利用定义求导数举例Cxf )(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解 y0lim0 xCCx即即0)( Cxxfxxf )()(0lim x例例3 求

7、函数求函数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例4 求函数求函数)N()( nxxfn.处处的的导导数数在在ax 解解axafxf )()(ax lim)(af axaxnnax lim(limax 1 nx2 nxa32 nxa )1 na1 nan注注一般地，对幂函数一般地，对幂函数 xy ( 为常数为常数) 1)( xx（以后将证明）（以后将证明）)( x)(21 x2121 xx21 例如，例如， x1)(1 x11 x21x )1( xx)(43 x4743 xhxhxhsin)s

8、in(lim0 例例5 求函数求函数xxfsin)( 的导数的导数. 解解,xh 令令则则)(xf hxfhxf)()( 0lim h0lim h)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh 22sinhhxcos 即即xxcos)(sin 类似可证得类似可证得xxsin)(cos h.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfxhaaxhxh 0limhaahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx xxee )(解解,xh 令令则则)(xf hxfhxf)()( 0lim h 当当 h 0 时时,11ln ahhea ,lnah)(xf hahahxlnli

9、m0 例例6ahxhln)1ln( 例例7 求函数求函数 hh1lim0 xxfalog)( 的导数的导数. 解解)(xf hxfhxf)()( 0lim hhxhxaahlog)(loglim0 hh1lim0 xhxa log即即0lim haxln1 ahxhhlnlim0 )1(logxha axxaln1)(log xx1)(ln四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 .)()(00处处连连续续必必在在处处可可导导，则则在在若若xxfxxf证证 设设)(xfy 在点在点 x 0处可导处可导,)(lim00 xfxyx 即即其中其中0lim0 xxxxfy )(0从而从而故故

10、， )(0 xfxy.)(0连续连续在点在点函数函数xxf0 x0可导可导连续连续例例9 .00, 10, 1)(处的可导性处的可导性在在讨论讨论xxxxxxf解解1)1(lim)0(0 xfx1)1(lim)0(0 xfx)0()0( ff.0)(处处不不连连续续，从从而而不不可可导导在在 xxfxyO注注1 问：对于问：对于例例9下面推导是否正确？为什么下面推导是否正确？为什么？，时，时，当当1)(0 xfx1)(lim0 xfx1)0( f答：答： 不正确不正确.错误原因：错误原因：.)()(lim00无无关关是是否否存存在在与与xfxfxx .)()(lim00存在存在存在存在xfxf

11、xx 2 讨论分段函数在分段点的可导之讨论分段函数在分段点的可导之步骤：步骤：(1) 先查分段点处的连续性先查分段点处的连续性. 若不连续，必不可导若不连续，必不可导.(2) 若在分段点处连续，则需从若在分段点处连续，则需从导数定义导数定义出发，讨出发，讨 论分段点处的可导性论分段点处的可导性.例例10处可导？处可导？在在为何值时，为何值时，问：问：设设0)(,0,sin0,0,)(2 xxfcbaxcxxbxaexfx解解处可导，必连续处可导，必连续在在0)( xxf 处连续处连续在在而而0)(xxf)0()0()0(fff ,1)(lim)0(20aaefxx , 0sinlim)0(0

12、cxfx,01ba 即即0, 1 babf )0()0()0(0)( ffxxf处可导处可导在在0)0()(lim)0(0 xfxffx而而 0,sin0, 1)(2xcxxexfxxexx0) 1(lim20 2 0)0()(lim)0(0 xfxffxcxcxx sinlim0. 2 c时，时，故当故当2, 0, 1 cba. 2)0(0)( fxxf处处可可导导，且且在在例例11).0(, 0)0()0(0, 00,1cos)()(fggxxxxgxf 求求且且，已知已知解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxgx01cos)(lim0 xxxgx1cos)(lim0 xxxg

13、x1cos0)(lim0 )0)0( g, 11cos x而而0)0()0()(lim0 gxgxgx. 0)0( fxxgxgfx1cos)0()(lim)0(0 内容小结内容小结1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. )(C )( x )(sinx )(cosxaxf )(02. axfxf )()(00 )(lnx;0;1

14、x;cosx;sinx x1增量之比的极限增量之比的极限;切线的斜率切线的斜率;Axf )(0Ahhxfhxfh 2)()(lim000？)(RA 思考题思考题1.解解 ()hhxfhxfIh2)()(lim000 0lim hhhxf2)(0 )(0 xf)( 2 )(0hhxf )(0 xf)(210 xf )(210 xf Axf )(0A 下述方法是否正确？下述方法是否正确？则则令令,0hxt htfhtfIh2)()2(lim0 )(lim0tfh )(0 xf 反例反例见见例例2:hhfhfh2)0()0(lim0 虽虽然然.)(点不可导点不可导在在但但0 xxxf()xxf )(

15、02lim0 hhhhxy xyO处处连连续续是是否否一一定定可可导导？在在0)(xxxf 答：答：不一定不一定. 反例反例见见例例2.2.3. 函数函数 f (x) 在某点在某点 x0 处的导数处的导数 f (x)(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系: 0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数若若),( x时时, 恒有恒有,)(2xxf 问问)(xf是否在点是否在点0 x处可导处可导?解解由题设由题设 )0(f00)0()( xfxfx 0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(l

16、im0 xfxfx0 故故)(xf在点在点0 x处可导处可导, 且且. 0)0( f4.时时当当0 x0备用题备用题例例1-1 ,lim000Axxfxxfx 若若解解Ahx hxfhxfh 00lim 0 xf 表表示示什什么么？问问A hxfhxfh00lim 解解 因为因为设设)(xf 存在存在, 且且, 12)1()1(lim0 xxffx求求).1(f xxffx2)1()1(lim0 所以所以. 2)1( fxfxfx2)1()1(lim0 )()1()(1lim210 xfxfx 1)1(21 f例例1-2例例1-3).()(,sin)()(lim)(2xFxftxxftxftx

17、Ft可导，求可导，求设设 解解00()( )sinlim,0txxf xf xttxxxtt ，00( ) 1,0 xfxxx ，( )( ).F x x fx )(xF1111例例8-1 问曲线问曲线3xy 上哪一点处的切线与直线上哪一点处的切线与直线131 xy平行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程.解解)(3 xy3231 x,13132x 令令,3113132 x得得,1 x对应对应,1 y131 xy平行平行.),1(311 xy)1(311 xy即即. 023 yx其方程分别为其方程分别为例例9-1.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在点在点讨论函

18、数讨论函数 xxxxxxf解解0lim, 11sin0 xxxxxxfxx1sinlim)(lim00 0 )0(f .0)(处处连连续续在在 xxf0)0()(lim0 xfxfxxxxx01sinlim0 xx1sinlim0 不存在不存在.0)(处不可导处不可导在点在点 xxf例例9-2性性在在整整个个定定义义域域上上的的连连续续讨讨论论函函数数3xy .0处处的的可可导导性性及及在在点点 x解解是基本初等函数，是基本初等函数，3xy 上连续，上连续，在其定义域在其定义域),(3 xy.0处连续处连续当然也在点当然也在点 x hfhfh00lim0 hhh0lim30 3201limhh

19、 , .)0(0)( fxxf处不可导，且处不可导，且在在3xy xyO铅直渐近线铅直渐近线例例9-3).(,2)(xfxfx 求求设设解解 0,20,22)(xxxfxxx上连续，且上连续，且在在易知，易知，),()(xf 0, 2ln20,21ln)21()(xxxfxxaaaxxln)( 0, 2ln20, 2ln2xxxx处，处，在在0 x012lim0)0()(lim)0(00 xxfxffxxx012lim0)0()(lim)0(00 xxfxffxxxxexx1lim2ln0 )2ln(2ln1lim2ln0 xexx012lim0)0()(lim)0(00 xxfxffxxx2

20、ln ，)0()0( ff.0)(处不可导处不可导在在 xxf2ln 解解.0,0,)(的的导导数数求求函函数数 xexxxfx)0( f)(lim0 xfx xx 0lim0 )0( f)(lim0 xfx xxe 0lim1 处处不不连连续续，在在点点0)( xxf.0 处处不不可可导导故故在在点点 x时时，当当0 x，)( x.0 时时当当 x，)( xe例例9-4)0()0( ff )(xf，1，xe解解.)(,1,1,)(2处处处处连连续续且且可可导导使使试试确确定定常常数数设设xfbaxbaxxxxf ,11时时及及当当 xx,)(处处处处连连续续且且可可导导xf.1)(,处处连连续续，可可导导即即可可在在使使故故只只要要确确定定 xxfba 连连续续在在1)(xxf )1(f )1(f, 1)1( f例例10-1 baxx1lim