苏教版高中数学选修1-1导数测试题二

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达导数测试题二一.填空题1 .已知函数y=a(x 3-3x)的递增区间为(-1, 1),则a的取值范围是 。2 .设曲线y 土在点(3,2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a x 123 . f(x)=x sinx,贝U f (x) 。4 .点P的曲线y=x3-x+ -上移动，在点P处的切线的倾斜角为a ,则a的取值范围是315 .(湖北卷 7)若f(x)x2 bln(x 2)在(-1,+)上是减函数，则 b的取值范围24 Q6 .若函数y-x3 bx有三个单调区间，则 b的取值范围是37 .设函数 f(x) Ja,集合 M x|f(x) 0, P x|

2、f(x) 0,若 M P,则实数 x 1a的取值范围是。x 98 经过原点且与曲线 y=2 相切的方程是 。 x 59 .函数 f(x)=x 3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 10,贝U a=, b=。10 .已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=.11 .如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A, B,的坐标分别为(0,4) (2 0) (6 4),则函数f (x)在x 1处的导数f (1)12 .已知函数f x的导函数为f' x ,且满足f x 3x2 2xf'2 ,则f'5。13 .设 fo(x) cos

3、x, fi(x)fo'(x), f2(x) fi'(x),L , fn i(x) fn'(x) , n N,则f2008 (x) 14 . f (x) , g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当x 0时，f'(x)g(x) f (x)g'(x) 0,且g( 3) 0,则不等式 f(x)g(x) 0 的解集是二.解答题b15 .设函数f (x) ax -,曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线万程为7x 4y 12 0 .(I)求f (x)的解析式；(n)证明：曲线y f(x)上任一点处的切线与直线 x 0和直线y x所围成的三角形面 积

4、为定值，并求此定值.16 .利用导数求和 S=1+2x+3x2+一+nxnT(xw0, nC N*)17 .一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m,渠OC深为1.5m,水面EF品巨AB为0.5m.(1)求截面图中水面宽度；(2)如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试 求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？18 .已知函数f(x) x3 ax2 bx c,过曲线yf (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为 y=3x+1。(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 y f (x)

5、在3, 1上的最大值；(出)若函数y f (x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围19 .已知函数 f(x) = ln( x+1) x.1求函数f(x)的单调递减区间；若 x 1,证明：1 ln(x 1) x.x 1220 . (08年天津卷)已知x 3是函数f x aln 1 x x 10x的一个极值点。（n）求函数 f x的单调区间；（出）若直线y b与函数y f x的图象有3个交点，求b的取值范围。答案：1.2xsinx+x 2cosx.提示：利用积的求导法则。2.a<0.提示：y/=3a(x 2-1),当 xC ( -1 , 1)时,y/>0,故 a<0.

6、一, x 12213. -2. 提不：由 y - 1 -,y'2,y'|x3 -, a 2,a2。x 1 x 1 x 124. 0, U , tt.提示：设点P(x0,y 0),在点P处的切线的斜率为 k=tan a =(x3-x+ -)243'| x=x0 = 3x。-1 > -1,又: 0W ocWtt, a 0 0, U ,兀.24b5. b 1。提不：由题意可知 f (x) x 0,在x ( 1,)上恒成立，x 2即b x(x 2)在x ( 1,)上恒成立，由于x 1,所以b 1。6. (0,)。提示：y/=-4x2+b, =0+16b>0,b>

7、;0.7. 1,)提示：f (x) a 120 a 1,当 a 1时，f(x) 1,x 1 M , f (x) 0(x 1)满足 f (x) 0 P x|x 0 M P;当a 1时，M (1,a),P x|x 0M P ,故a的取值范围是1,）。8 y= x或y=,提示*25设切点为（x。, y。），则切线的斜率为k=20 , y' =（ -9 ）'9或 x02+18x0+45=0 x0(x0 5)x0x 54T ,故 v' (x0)= k,即工 -y0-(x 5)2(x0 5)2 x15 93得 xo =- 3, xo =-15,对应有 V。 =3, yo = ,15

8、 55因此得两个切点 N3, 3)或B(15, ), 54一41从而得 V (A)=大=1 及 y (B)= 一 ,(3 5)3( 15 5)225x由于切线过原点，故得切线 ：l a： y=x或l b： y=259. a=4,b=-11。提示：f1 (x)=3x 2+2ax+b,由题意知 f1 (1)=0,且 f(1)=10,即 2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10,解之得 a=4,b=-11 , 或 a=-3 b=3 。当a=-3 b=3时f1 (x)=3 (x-1 ) 2,在x=1附近两侧的符号相同，所以 a=-3 b=3舍去(易错)。a=4,b=-11。10. 11 或 18。提

9、示：f ' (x)=3x 2+2ax+b,由题意得 / °)一 "7(1) = io.二 4r '.f(2)=11 或 f(2)=18.b =-1 1.,3+2。+占二口.口 二m 一. i或+ / = L|11. 2。提示：实质就是直线 AB的斜率。12. 6 .提示：f'x 6x 2 f ' 2 , f ' 212 2f'2,f'212.f ' 56 5 2f ' 2 =6.13.cosx.提示：由题设得 f1 (x)sin x, f2(x)cosx, f3(x) sin x, f4(x) cosx

10、f2008 (x)f0(x) cosx。14. ( 8, 3)U(0, 3).提示:f'(x)g(x) f (x)g'(x) 0f(x)g(x)/ 0。.令F(x)= f (x)g(x),，F(x)是单调递增且是奇函数,f (x)g(x) 0F(x)<0= F(-3)=F(3)x<-3 或 0<x<3.二.解答题15. (I)方程 7x 4y 12 0可化为 y 7x 3.4一 1 一b当x 2时，y 一，又f (x) a o ,于是2x2_ b 12a 二二o 12 2解得 'b 7b 3.a ,4 4(n)设P(x0, y°)为曲线

11、上任一点，由y31 2知曲线在点P(x°, y°)处的切线万程为 x/3,、门口3y y。1-r (xXo),即y XoXox。/3 /、1 2 (x x0) , x。,从而得切线与直线x 0的交点坐标为x。o, £x。令y x得y x 2x。，从而得切线与直线 y x的交点坐标为(2x。,2x。).所以点P(x。，y。)处的切线与直线 x 。，y x所围成的三角形面积为 1 g|2x。6 .故曲线y f (x)上任一点处的切线与直线 x 。，y x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6 .16.解：(1)当 x=1 时，&=1+2+3+n=1n(n+1)

12、;2n 1当 xW1 时，x+x2+x3+- - +xn = x,1 x两边都是关于x的函数，求导得n 123 n , x x ,(x+x +x + - +x )=()1 x17.解：(1)建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x2=2(y+3),326. 一一当y=-S5 时，x=± ，水面范32.6EF=3m.(2)如上图，设抛物线一点M(t, -t2- 3) (t。)，22因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的士最少，所以只能沿过点由 y= 3x2- 3 ,求导得 y' =3x, 22，过点M的切线斜率为3t,切线方程为y-( 3t2- 3)=3t(x-t). 22M与抛物线相

13、切的切线挖土人1 t人 3 - t令 y=0,贝U xi=,令 y=,贝U X2=,2t22故截面梯形面积为 S=1 (2x 1+2x2) 3 = 3( X+t) 以2 , 22 2 2t 222当且仅当t=/2时所挖土最少，此时下底宽-2 m.答：故截面梯形白下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少.18. 解：(1)由 f (x) x3 ax2 bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax过y f (x)上点P(1, f(1)的切线方程为：y f (1) f (1)(x 1),即y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过y f(x)上P1, f(1)的切线方程为y 3

14、x 1.故32ab 3即2ab 0a c 3a c 3 y“*)在*2时有极值，故f ( 2) 0, 4ab 12 由得 a=2 , b=-4, c=5f(x) x3 2x2 4x 5.(2) f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2).2 一当 3 x2时，f (x) 0;当 2 x 时，f (x) 0;3当3 x 1 时,f(x) 0.f(x)-f(2) 13 又f 4, f(x间13。(3) y=f(x)在-2, 1上单调递增，又f (x) 3x2 2ax b,由知依题意 f(x)在2, 1上恒有 f (x)>0,即 3x2 bx b 0.当 x b 1 时，f(x)mi

15、n f(1) 3 b b 0, b 6； 6. b当 x 2时，f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b ；62当 2 6 1 时，f (x)min 12b b 0,则 0 b 6.b.3, 1上最大值是2a+b=0。b12奋斗没有终点任何时候都是一个起点综上所述，参数b的取值范围是0,)19.解：函数f(x)的定义域为(1,). f (x) =-1 = - x 1 x由 f (x)<0&x>1,得 x>0.当xC (0, +oo)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,十8).证明：由知，当xC ( 1, 0)时，f (x) >0

16、,当xC (0, +oo)时,f (x)V 0,因此，当x1 时，f (x) w f (0),即 ln( x 1) xw0. ln( x 1) x .人1令 g(x) ln(x 1) 1,贝Ug(x)x 1当 xe (1, 0)时，g (x)<0,当 xe (0,1x22 (x 1) (x 1)+ °°)时，g (x) >0.1-1当 x 1 时，g(x) > g(0),即 ln(x 1) 1 >0, ln(x 1) 1 x 1x 11综上可知，当x 1时，有1 ln(x 1) x.x 1【解】：(I)因为f' x a 2x 101 x所以

17、f 3- 6 10 04因此a 16(n)由(i)知，2f x 16ln 1 x x 10x,x1,2 x2 4x 3f x 1 x当 x 1,1 U 3, 时，f' x 0当 x 1,3 时，f x 0所以f x的单调增区间是 1,1 , 3,f x的单调减区间是 1,3(出)由(H)知,f x在 1,1内单调增加，在 1,3内单调减少，在 3,上单调信达增加，且当x 1或x 3时，f' x 0所以f x的极大值为f 116ln 2 9,极小值为 f 332ln2 21_2 _f e 132 1121f 3所以在f x的三个单调区间1,1 , 1,3 , 3, 直线y b有y

18、 f x的图象各有个交点，当且仅当 f 3 b f 1因此，b的取值范围为 32ln 2 21,16ln2 9。备选题：1 .函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 .5一 ./1 .(,),(1,)。提不：解 y >0 可信。32 .曲线y=x(x+1)(2 - x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是 2. 16j2。提示：y=-x3+x2+2x,y' =-3x2+2x+2.所求直线与直线 y=x 平行. 27k=1.令 y' =1,即 3x2 2x- 1=0,(3 x+1)( x 1)=0, x= 1 或 1, x=一工时， 33y=( - -)

19、+ -1 - =- 14 , x=1 时，y=-1+1+2 x 1=2.279327故切点为 A 1, 14 , B(1,2) o327切线方程为：l ： y+ " =x+ 1,即 xy =0, l 2: y 1=x 2,即 x-y +1=0, 27327=16 d27两切线间的距离为:d= 1_5_2723.已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x1处取得极值。讨论f(1)和f ( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值;过点A(0, 16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程。f (1) f ( 1) 0,即3.解： f (x) 3ax2 2bx 3 ,依题意,3a 2b 33

20、a 2b 30,0.解得a 1, b 0。f (x)x3 3x, f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)。令 f (x) 0 ,得 x 1, x 1。若 x (,1) (1,)，则 f (x) 0,故f (x)在(，1)上是增函数，f (x)在(1,)上是增函数。若x ( 1, 1),则f (x) 0,故f(x)在(1, 1)上是减函数。所以，f( 1) 2是极大值；f(1)2是极小值。3曲线万程为y x 3x,点A(0, 16)不在曲线上。设切点为M (x0, y0),则点M的坐标满足y0x3 3x0O22因 f (x0) 3(x0 1),故切线的万程为 y y 3(x0 1)(x

21、x°)注意到点A (0, 16)在切线上，有16 (x3 3x0)3(x2 1)(0 x。)化简得x38,解得x02。所以，切点为 M ( 2,2),切线方程为9x y 16 0。 1c4.(本小题满分12分)设函数f (x)- x 2ax 3a x b,0 a 1.3求函数f(x)的单调区间、极值.若当x a 1,a 2时，恒有| f (x) | a ,试确定a的取值范围.4.解：f (x) x2 4ax 3a2.令 f (x) x2 4ax 3a2 0,得x a或x 3a 由表xa3af一0+0一f递减4 3.-a b3递增b递减可知：当x (,a)时，函数f(x)为减函数，当x (3a,)时。函数f(x)也为减函数;当x (a,3a)时，函数f(x)为增函数.当x=a时,f (x)的极小值为-a3 b;当 x 3a 3x2 4ax 3a2a.时，f(x)的极大值为b.由|f(x)| a,得 a0<a<1, a 1 2a, f(x)2 ，4ax 3a 在a1, a 2上为减函数. f (x)max f (a 1)2