静电学问题的等效处理

1、静电学问题的等效处理本文探讨有关静电场的场强、电势和电荷分布等问题的处理方法.这 类问题山于数学计算的困难，能够用初等数学精确求解的只在一些具有很 强对称性的情况下例如点电荷及一对等量同种或异种点电荷形成的电场 的场强与电势分布；均匀带电球体内、外各点的场强与电势分布；孤立带 电导体球的电荷分布等等.它们所具有的基本规律已为我们所熟知，但我 们面对的各种具体问题，情况却复杂得多.解决这类复杂问题的一条重要 途径，便是依据静电场问题的唯一性原理进行等效处理，设法将复杂问题 化解为符合强对称性要求的基本问题，以便利用已知规律最终得解.等效处理的办法大致可分为两类：A. 对不具有对称性的带电体，用若

2、干具有对称性的带电体作等效替 代；或是对只具有弱对称性的带电体，用具有更強对称性的带电体进行等 效替代.这种方法可称之为“等效对称替代法”.B. 对实际导体面或电介质面上的不均匀分布的电荷，用虚设的点电 荷或均匀带电球进行等效替代，从而将一给定的静电场变换成另一易于计 算的等效静电场.这种方法可称之为“等效电像变换法”.现分类例析如 下：一、等效对称替代法示例例1如图1,将表面均匀带正电的半球，沿线df 分成两部分，然 后将这两部分移开很远的距离设分开后球表面仍均匀带电，试比较A 点与A点的电场强度的大小.分析与解 本题初看似乎无法比较这两个不规则带电体产生的电场强 度大小，故须设法作等效对称

3、替代，创造可运用已知规律的条件.如图2所示，设想有一表面均匀分布正电荷的球，沿线aa分成球 冠与球缺.根据均匀带电球面内任一点电场强度为零可知：球缺在A点 产生的电场强度E,和球冠在屮 点产生的电场强度E大小相等，故可用 E,替代E：.比较E,和球层在A点产生的电场强度E,显然有E,E：,故 E巳.例2如图3,在半径为R,体电荷密度为P的均匀带电球体内部挖去 半径为R的一个小球，小球球心0与大球球心0相距为“试求（T点 的场强，并证明空腔内电场均匀.分析与解 原题中给出的带电体山于空腔的出现而不具有球对称性， 故难以利用库仑定律求L处的场强，须作等效对称替代，将该带电体转 化成若干个具有球对称

4、性的带电体.设想空腔部分由体电荷密度为P和-P的两个小带电球复合而成，于 是原带电体便被体电荷密度为P、半径为R的均匀带正电大球与位于空腔 部分的、体电荷密度为-P、半径为R的均匀带负电小球替代，即：将 空腔中的电场等效为上述两个带电球的叠加电场山于两球的电场均具有 辐向对称性，故问题可解.体电荷密度为-P的小球在其球心0产生的 场强为零，体电荷密度为P的大球在0产生的场强大小E= P |兀/4兀 oa2 =尹,则3点的场強为；Eopa方问由O点扌旨向O点同理，设空腔内某点A距0为，距V为n,如图4所示则大球 在A点产生的场强大小P r： / 3 “方向由0点指向A点；小球在A点 产生的场强大

5、小E：= P r： / 3 o,方向山A点指向V点.利用矢量合成的 方法可得：A点的合场强即空腔内任一点场强大小、方向均与0点相同，故空腔内电场均匀.例3如图5,在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电 量为Q，AB是它的一条直径.如果要使AB上的场强处处为零，问：圆环 上的电荷应该如何分布？分析与解山于要求直径AB上的场强处处为零，而圆环只对圆心0具 有中心对称性，故可知满足本题条件的圆环上电荷分布是不均匀的，但无 法直接求其分布规律.容易想到，均匀带电球面内部场强处处为零，可满足题中要求.现对 球面内部某直径AB上场强的构成作一分析：如图6所示，在均匀带电球 面直径AB上任取一点此

6、 若用与AB垂直的平面分割球面，可得一系列圆 环小带.利用对称性可知：每一均匀带电小环带在M点产生的场强矢量必 在直径AB,且所有小环带在M点的合场强为零设想把原均匀分布在 每一小环带上的电荷对称地分配到该小环带上的两弧线元R和匕上，则M 点场强不变.原均匀分布在球面上的电荷经上述操作“折叠”到了以AB 为直径的一圆环上，它们在直径AB上的电场强度处处为零.如图7,圆环上任一点PJ处一小段弧长AL上分布的电量应等于半 径为R、电量为Q的均匀带电球面上相应一小环带所带电量之半，故Q詁乂急心斶淤芽也,即：圆环上电荷分布规律为：X = AQ/ AL=QsinO / 4R.本题求解的巧妙之处就在于将圆

7、环上电荷的不均匀分布与球面上电 荷的均匀分布相联系，这种联系是山于两者在直径上的场强等效而发生 的.二、等效电像变换法示例例1如图8, 无限大的接地导体板，在距板d处的A点，有一个电 量为Q的正点电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力.丿卜分析与解曲于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q的作用下， 板的右侧出现感应电荷，但其电量及分布未知，故无法直接求出它们对电 荷Q的作用力.然而，由于导体为一等势面，从点电荷Q发出的电场线应 与导体面处处正交而终止，因而导体极右侧电场电场线分布大致如图9 所示.这使我们联想到等量异种电荷的电场：两点电荷联线的垂直平分面 为一零电势面，电场线还包括图9中用虚

8、线画出的另一半.因此，导体板 上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称 的另一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对Q的作用亦等效变换为虚设电荷-Q对Q发生的作用.于是，由库仑定律易得，板上感应电荷对点电 荷Q的作用力大小厂Q2Q21二 二 _4兀 S 0（2）2 一6兀 皿2本题求解所用的方法，多用于接地导体或保持电势不变的导体外有一 个或多个点电荷的情况.通常根据导体面及点电荷的儿何位置关系，推断 在所考察地区外适当放置一个或多个量值合适的电荷，使之能够模拟导体 面上的给定的场强及电势条件.这些虚拟电荷称为像电荷，通过等效电像 变换的方法使实际问题易于计算.例2设在一接

9、地导体球的右侧P点，有一点电荷q,它与球心的距离 为d,球的半径为R,如图10所示.求导体球上感应电荷为多少？点电荷 q受到的电场力为多大？分析与解 山于导体球接地，球心0处电势为零.根据电势叠加原理 可知：导体球表面上的所有感应电荷 在0点的电势与点电荷q在。点 的电势之和为零，即：kq /R+kq/d二0.解得：q二-Rq/d.由于导体球上感应电荷非均匀分布，它们对点电荷q的作用力无法利 用库仑定律直接求解现作等效变换如下：用一点电荷q替代分布在接 地导体球表面上的感应电荷，使导体球外部电场分布不变，导体球表面电势处处为零，电场线正交地终止于球面.故此可知q必在PQ连线上, 设为距圆心0为

10、r的P点，如图11所示.则在M点有：qk亠+k丄 d+r R+r=0Tbp可解待 r =-丹,显然，球表面感应电荷对q的作用力等同于虚设电荷q对q的作用 力，即角a有关系,012图13例3如图12,在强度为E的均匀电场中放着一个均匀的金属球，其 半径为R山于感应，在球上产生了面密度为。的电荷，o和图上标出的分析与解 本题须求解金属球表面感应电荷的分布规律，因此对感应 电荷的等效电像变换不能再用点电荷模型考虑到球表面两侧带等量异种 电荷，可设想用两只半径为R、电荷体密度分别为P和-P的均匀带电球 来替代原金属球，即如图13所示.球体A均匀充电-Q,球体B均匀充电 Q,两球心沿外电场E方向错开一小距离d,则在两球公共部分电荷完全 中和，形成空腔”.空腔”内部由两虚设带电球引起的场强大小为： E尸Pd/3,方向与题给外电场场强E相反（解法参见例2）.当d-0 时，“空腔”区域趋近于半径为R的球，不重叠区域电荷趋向所求的表面 电荷山于静电平衡时金属球内场强为零，故只须设两虚设带电球电荷体 密度满足P =3 cE / d （此时E尸E）,即可等效替代实际金属球上感应电 荷对