运筹学线性规划的标准形式

1、第三节第三节 线性规划的标准形式线性规划的标准形式n为什么要转化为标准形式？为什么要转化为标准形式？n标准形式的特点：标准形式的特点：n1、目标函数求最大值（max）；（不一定）n2、所有的约束条件均由等式表示（=）；n3、所有的决策变量限于非负值（xj0）；n4、每一个约束条件等式的右端常数均为非负值（bi0)。 （不一定） 数学模型如下 0,.max21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcS改造方法（改造方法（1）n、若目标函数求最小值，则在函数式前加上“”号，转化为求最大值。转化后目标函

2、数的最优解不变，最优值差一个符号最优解不变，最优值差一个符号。n例：jjxcFminjjxcFSminmax改造方法（改造方法（2）n2、若约束条件中，某些常数项bi为负数，则可先在约束条件等式或不等式两边乘上“-1”，使得bi0。n例： 3jijxa3jijxa改造方法（改造方法（3）n3、若约束条件不等式符号为“”，则在不等式左边加上一个非负变量（称为松弛变量松弛变量），把不等式改为等式。n例：ijijbxaimmjjijbxxa11新设一个非负变量改造方法（改造方法（4）n4、若约束条件不等式符号为“”，则在不等式左边减去一个非负变量（称为剩余变量剩余变量），不等式改为等式。n例：iji

3、jbxaimmjjijbxxa11新设一个非负变量改造方法（改造方法（5）n5、若约束条件中，某些决策变量没有非负要求：nxj0，则令新变量xj=-xj；nxj无符号限制，则可增设两个非负变量Vk0,Uk0，令原变量Xk=Vk-Uk，代入原线性规划问题的目标函数及约束条件。例1无符号限制43214321432143214321,0,0,02232142224.5243minxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxF步骤1：min max43215243minxxxxF43215243minmaxxxxxFS步骤2：bi02244321xxxx2244321xxxx步骤3：“” “=“n引入

4、新变量(松弛变量）x50，将约束条件不等式变为等式。1424321xxxx14254321xxxxx+ 松弛变量松弛变量步骤4： “” “=”n引入新变量（剩余变量）x60，将约束条件不等式变为等式。22324321xxxx223264321xxxxx 剩余变量剩余变量步骤5：满足变量非负条件n设新变量x70，令x7=-x2，带入目标函数和约束条件中。n设两个新变量x80， x90， 令x4=x8-x9，带入目标函数和约束条件中。 整理得整理得：整理后数学模型为：9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 3 , 1, 022232142224. .0055243max69837159837198

5、3716598371jxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxSj松弛变量与剩余变量松弛变量与剩余变量n概念：n松弛变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“”，则在不等式左边加入一个非负变量，这个非负变量成为松弛变量。n剩余变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“”，则在不等式左边减去一个非负变量，这个非负变量成为剩余变量。理解松弛变量的实际含义n例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：n工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使

6、得获利最多？甲产品乙产品资源限制设备11300台时原料A21400kg原料B01250kg建立数学模型：n设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：0,02504002300.10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC图解法30021 xx400221 xx2502x10020030040010020030040001005021xxOA可行解域为OABCD最优解为B点（50，250）最优解的解释n最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙产品生产250个单位时，获利最大。n此时，资源利用情况资源利用情况为（代入约束条件）：n设备台时利用量=1*50+1*2

7、50=300=资源限制量n原料A使用量=2*50+1*250=350最低要求125n原料加工时数=2*250+100=600=最高限制n进一步计算剩余变量和松弛变量:nX3=0，表示正好达到最低要求；nX4=125，表示超出最低要求，多购进125吨；nX5=0，表示工时数被全部利用。n关于松弛变量和剩余变量的信息也可以从图解法中获得。另外，DBC松弛变量x3=0,x4=50,x5=030021 xx400221 xx2502x10020030040010020030040001005021xxOA可行解域为OABCD最优解为B点（50，250）132松弛变量x3=0,x4=50,x5=0n最优解在B点。B点是第1、第3个约束条件对应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件加入的松弛变量为0，而第2个约束条件加入的松弛变量不为0（与B点还有一点距离）。剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=035021 xx1251x600221 xx10020030040050060010020030040050003221 xxBAC可行解域为ABC最优解为C点（250，100）12