因式分解知识点总结

1、第一讲 因式分解一，知识梳理1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式 几个整式的积111 例： ax bx x(a b)333因式分解，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：(1) 提公因式法：定义：如果多项式的各项有

2、 公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母， 也可以是一个单项式或多项式。例： 12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2 的公因式是12、-8 、6，它们的 解析：从多项式的系数和字母两局部来考虑， 系数局部分别是 最大公约数为 2； 字母局部 a3b3c,a3b2c3,a4b2c2 都含有因式 a3b2c ，故多项式的公 因式是 2a3b2c.提公因式的步骤第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提

3、公因式后剩下的另一个因式。注意： 提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把 12a2b 18ab 2 24a3b3 分解因式 .解析：此题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab，故公因 式为 6ab 。解：12a2b 18ab 2 24a3b3例 2：把多项式 3(x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于 4 x (x 4) ，多项式 3(x 4) x(4 x ) 可以变形为 3(x 4) x(x 4) , 我们 可以发现多项式各 项都含有公因式 ( x 4), 所以我们可以提取公因式 ( x 4) 后, 再将

4、多项式写成积的形 式.解： 3(x 4) x(4 x)=3(x 4) x(x 4)=(3 x)(x 4)例 3：把多项式 x2 2x 分解因式解：x2 2x= (x2 2x) x(x 2)(2) 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 假设多项式是二项式可考虑平方差 公式；假设多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1 ：因式分解 a2 14a 49解： a2 14a 49 =(a 7) 2例 2 ：因式分解 a2 2a(b c) (b

5、c) 2解： a2 2a(b c) (b c) 2 =(a b c)2(3) 分组分解法 ( 拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式 ab a b 1 分解因式解： ab a b 1 =(ab a) (b 1) =a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 将多项式分组后能运用公式进行因式分解 .例：将多项式 a2 2ab 1 b 2 因式分解解： a2 2ab 1 b 2=(a2 2ab b 2) 1 (a b) 2 1 (a b 1)(a b 1)2(4) 十字相乘法 ( 形如 x2 (p q)x pq (x p)(x q) 形式的多项式，可以考虑运 用此种方法 )方

6、法：常数项拆成两个因数 p和q,这两数的和pq为一次项系数 例：分解因式 x2 x 30 分解因式 x2 52x 100补充点详解 补充点详解我们可以将-30分解成p X q的形式，我们可以将100分解成pX q的形式,使 p+q=52, p X q=100,我们就或 q=2,p=50。所以将多项式x2 p qx pq可解为x使 p+q=-1, p X q=-30,我们就有 p=-6,有 p=2, q=5 或 q=-6,p=5 。 q=50 所以将多项式 x2 p qx pq可以分以分解为x px q3. 因式分解的一般步骤：XZ 5、/2-6x/ 50如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因

7、式的多项式就考虑运用公式法；假设是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。 因此，可以概括为：“一提、“二套、“三分组、“四十字。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否那么就是不完全的因式分解，假设题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式。一、 例题解析 提公因式法 提取公因式： 如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母或多项式因式一一取各项都含有的字母 或多项式因式的最低次幂【例1】分解因式：稳固】分解因式：(x y)2n 1 (x z)(x y) 2n2(y x) 2n(y z)，n为正整数.例2】先化简再求值,2y x y x y x y x 2，其中x 2，y 1 .稳固】求代数式的值：(3x 2)2(2x 1) (3x 2)(2x 1) 2 x(2x 1)(2 3x)，其中 x 2 3