2020北京各区一模数学试题分类汇编--统计与概率(教师版)

1、努力的你，未来可期!2020北京各区一模数学试题分类汇编一统计概率（2020东城一模）一排6个座位坐了 2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A. 12B 36C. 72D. 720【答案】C【解析】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有A；A；=36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有=2种情况，则有36x2 = 72种不同的坐法.故选：C.（2020朝阳区一模）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师 “停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）4 22-3仁9A. -B. -C. -D.35510【

2、答案】D【解析】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A，依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲， 丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件A所包含的事件数为b所以根据古典概型的概率公式可得P（A） = ' ,19再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为1 - P（A） = 1- -=.故选：D（2020石景山一模）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方 案有（）种.A. 72B. 36C. 64

3、D. 81【答案】B【解析】解：:将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人,-先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有=36.(2020海淀一模)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展 的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数 据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).(2)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；()从2010年至

4、2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的 分布列和数学期望：根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.【解析】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设 从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件A ,9/. P(A)=.(ID由题意得X的取值可能为0，1，2努力的你，未来可期!尸"=。)耳C1O >P(X = 1) =等C1O 7心2)咯=|Jo JX的分布列为X012P(X)295929

5、（in）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增 加，因此公司在发展的过程中重视研发.（2020西城一模）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语 水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：男女647357 90 3 865 61 4713 5 6581 8（I ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;（II）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试

6、成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期 望；（IH）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000）,并在每组中随机选取 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出，的最小值.（结论不要求证明）2【解析】（I）样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：±x5O = 5万人.20（0）8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X的可能取值为：0,1,2.C25CCX15C23(x=o) = ± = , p(x=l) = 4 =上，(X=3) = 4

7、= . '7 C；14v C；28v 7 C；28oo故分布列为:X012P51415283285153E(X) = 0x + lx + 2x )1428283410 11 Y（Hl）英语测试成绩在70分以上的概率为=痴=5 ,故190%,故加的最小值为4.（如如东城一模）为了解甲、乙两个快递公司 工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的 数据，制表如图：甲公司某员工4乙公司某员工83965833234666770144222每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公

8、司规定每件4.5元：乙公司规定每天35件以努力的你，未来可期!内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工H在这10天投递的快递件数的平均数和众数;（2）为了解乙公司员工8的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望:（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【解析】（1）甲公司员工,4投递快递件数的平均数为:7 ='(32 + 33 + 33 + 38 + 35 + 36 + 39 + 33 + 41+40) = 36,众数为33.（2）设。为乙公司员工8投递件数

9、，则当。=34时，X=136元,当。35时，X = 35x4+(。-35)x7元,的可能取值为 136, 147, 154, 189, 203,3P(X=136) = , P(X=147) = 23P(X=154)= , P(X=189) = P(X =203) = 'X13614715418920313231p一1010101010X的分布列为:E(X)= 136=165.5 (元).10101010132311655x + 147x + 154x + 189x + 203x =（3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入= 36x4.5x30 = 4860元，乙公司

10、被抽取员工该月收入=165.5 x30 = 4965元.（2020丰台一模）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务 类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与月，B, C三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B120403520251）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于,4社区，并且参与社区消毒工作的概率:（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求

11、X的分布列;（3）已知乂社区心理咨询满意率为0.85,3社区心理咨询满意率为0.95，。社区心理咨询满意率为0.9基=1,基=1，=1”分别表示乂，B, C社区的人们对心理咨询满意，“打=。，枭=°，勿=。”分别表示工B,。社区的人们对心理咨询不满意，写出方差。（蜃），。（右），。（攵）的大小关系.（只需写出结论）【解析】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于工社区，并且参与社区消毒工作”为事件外。）=30100 + 120+150 37所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于,4社区，并且参与社区消毒工作的概率为上.37（2）从上表三个社区的志愿者中各任

12、取1人，由表可知：/B, C三个社区负责现场值班值守的概率分别X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.7 2 2P（X = 0） = x 二x='7 10 3 328 _ 1490 = 45322712721-X X + X-X+ XX-=10331033103340 _ 490 = 9p（X = 2）=31232171119X-X + X X- + 一X-X-= 一10331033103390/八3 113IP（X =3）= x-x- =.'710 339030X的分布列为:X0123P1445491990130（3）。（之）。（）。（蜃）（2020朝阳区一模）某科研团队研发

13、了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了 80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结 果如下：非患者的检测结果人数患者的检测结果人数阳性1阳性76阴性99阴性4（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率:（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该

14、疾病的概率超过0.5?并说明理由.【解析】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为募=419(2)由题意可知X 85，p),其中 =3, p =X的所有可能的取值为0, 1, 2, 3ax=o）=c；喘）。得）、嬴io 157P(X=1) = C；()(±)2=- 3 202080001083=8000101P(X=2) = C；()(一 y 2020685980001O|ax=3)=c；(')3x(_L)o =3 2020所以X的分布列为X0123P 80005780001

15、08380006859800019 57故X的数学期望E(X) = P = 3x = （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下:由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为1O99000x一 + 1000x=990 + 950 = 1940,其中患者人数为950. 10020950070若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < = 0.5. 1940 1940所以此人患该疾病的概率未超过0.5.（2020石景山一模）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目， 考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目

16、中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个 科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例 如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为 其选考方案.某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200姓选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选

17、考生物的学生有多少人？（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率;(3)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量J =<10两名男生选考方案不同1两名男生选考方案相同分布列和期望.【解析】（1）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8 + 20 = 28人所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有28840x = 392 A60（2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人.设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件a（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物：有4人选择物

18、理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治.f的可能取值为0, L10P（4。）=）=所以g的分布列为:01P7To3 io（2020怀柔一模）某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定 测试成绩在85,100之间为“体质优秀”，在75,85）之间为“体质良好”，在60,75）之间为“体质合格、在 2,60）之间为“体质不合格”现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下：学生编号1234567高一年级60858065909175高二年级7985917560mn其中,几是正整数.（1）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级

19、“体质优秀”的学生人数:（2）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X的分布列及数学期望:（3）设两个年级被抽取学生测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时,写出阳，的值.（只需写出结论）【解析】解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中,3“体质优秀''的有3人，优秀率为二，将此频率视为概率, 7估计高一年级“体质优秀”的学生人数为280 = 120人.（2）高一年级抽取的7名学生中“体质良好''的有2人，非“体质良好''的有5人.所以X的可能取值为0/，2eye； iocc

20、 io所以P（X=o）=彳/=斤尸（乂=1）=中=才Vz?乙 1Vz-jN1c2c° 1P（X=2） = S/C； 21所以随机变量X的分布列为:X012P10211021121£(X) = 0x + lx + 2x =21212112-421 = 7(3) m = n = 78（2020密云一模）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居 环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的 陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常 生活习惯的有

21、关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类：（4） 心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概 率：（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况

22、类、膳食合理状况类”三类习惯 方而，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“媒=1 ”表示任选一位第左类受访者是习惯良好者，“多=°”表示任选一位第左类受访者不是习惯良好者（& = 1,2,3,45,6） .写出方差。刍，。彳3,吟,。4,。短的大小关系.【解析】(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A，有效问卷共有380 + 550+330+410 + 400 + 430 = 2500 (份)，其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400 x 0.65 = 260人，故尸(A) =- = 0.104： 2500(2)设该

23、区“卫生习惯状况良好者“，”体育锻炼状况良好者”、"膳食合理状况良好者”事件分别为A，B, C ,根据题意，可知P(A) =0.6,(B) =0.8, P (C) = 0.65 ,设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯”则 P(E) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + 0(ABC)=P(A)P(B)P(C) + P(A)P(豆)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)= 0.6 x 0.8 x 0.35 +0.6x 0.2 x 0.65 + 0.4 x 0.8 x 0.

24、65 + 0.6 x 0.8 x 0.65= 0.168+0.078+0.208+0.312= 0.766.所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.(3)。短=。&4。43。女.(2020顺义区一模)某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：30,40),40,50)90/00,整理得到如下频率分布直方图:(1)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数：(2)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率：(3)若规定分数在80,90)为“良好” .90,100为“优秀” .用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三 人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X求X的分布列和数学期望.【解析】(1)样本中男生有55人厕女生45人45估计总体中女生人数400x而=180人(2)设“不及格”为事件4则