第一章函数、极限与连续小结

1、第一章函数、极限与连续微分小结一、概念部分：1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念；2、函数极限的定义；无穷大量与无穷小量的概念；极限的法则；两个重要极限；3、函数连续的概念；连续的判断；间断点的判断与分类；初等函数的连续性； 闭区间上连续函数的性质。二、运算部分：1、求极限(1)利用极限的四则运算法则；(2)对于分式的极限，利用无穷大量与无穷小量的关系；(3)对于分式的极限，若分子分母的极限都为零，进行因式分解，消去公因式；(4)对于 区费卜 其中P(X)，Q(x)为X的多项式，可以利用公式 Ao(5)利用两个重要极限公式；(6)利用函数的连续性；(7)利用无穷大量与无穷小量的性质；(8)

2、利用替换等价无穷小量的办法；(9)对于分段函数，在分段点的两侧比较左右极限的办法;(10)对于不定型的极限应用洛必达法则(留待下一章介绍)三、典型题例：(一)、选择题:1、函数y = f(x)在点x0处有定义是lim f(x)存在的()XX0A、必要非充分条件;C、充分必要条件；B、充分非必要条件;D、无关条件。2、2sin mxlim2-x 0x2(m为常数)等于()2A、0 ;B、1 ; C、m ;D、2。m3、lim (1 -k)x =e2,则 k =等于()Xf) xA、2;B、一2;C、一 ；D、 一 o224、当xt 0时，下列()为无穷小量A、B、sinx；C、sin xD、si

3、n1。 xx(x T)、x 15、在x趋近于()时，yr不是无穷小量。x -1A、+比；B、1 ;C、0 ;D、1。26、设 f(x)=e* -1, g(x)=x ,当xt 0时，()A、f (x)是g(x)高阶无穷小量；B、f(x)是g(x)低阶无穷小量；C、f (x)是g(x)等价无穷小量；D、f(x)是g(x)同阶、而等价的无穷小量。J_x 2, x 07、设 f(x)=x2 +a,0x1 在(-o,+=c)内连续，则 a, b 分别为()bx,1 x JA、0,0;B、2,3;C、3,2;D、1,1。,1,f(0) = ，则 a =2D、 一 2。x T 8时，函数一 sin ax .

4、8、设 f (x) =sn-ax(x 0)在 x =0处连续，且 xA、2;B、一 ；C、一 一 22（二卜填空题:1、设 lim g(x) =3,lim h(x) =3,且 g(x) f (x) h(x),则 lim 3x24f (x)= x 1x 1x 11.八 -、f (x) ,则 lim 2xf (x)=xx3、设f (x)=4、设f (x) =:二 02 -x0, x = 01 -x , x 02,则吗f (x)=ex, x 0在点x = 0处连续，则a =_ 25、设+ 2叫 f (x),则 f (x)=f/ 、3 2x 1f(x)=x -x 1（三卜简答题:1、设 limX 1x

5、2ax b1 -x=5,求 a, bo2、设吗-b) =0,求 a, bo3、求下列函数的间断点，并判断其类别:x2 -1 f(x)=7T?(2) f(x)= sin x(3) f(x)=:-3x -4sin x7、lim (sin Jx +1 sin &);x)二x -1 )o1 - x2 人,8、lim(令 tx-1 sin 二x四、习题解答:（一）、选择题：1、函数y = f（x）在点x0处有定义是lim f（x）存在的（D） x x-QA、必要非充分条件；B、充分非必要条件；C、充分必要条件；D、无关条件。2,2、lim2（m为鬲数）等于（m）x21A、0 ;B、1 ;C、m ;D、一

6、2。mk v3、lim（1 ） =e ,则 k =等于（B）A、2;B、-2; C、1；D、- o224、当XT 0时，下列（B）为无穷小量“_xsin xA、e ；b、sin x ；c、；D、sin5、在x趋近于(B)时，y =不是无穷小量。A、十2 ;B、1 ; C、0 ;D、1。2c6、设 f (x) = e-1, g(x) = x，当 xt 0时，(D)A、f (x)是g(x)高阶无穷小量；B、f(x)是g(x)低阶无穷小量；C、f (x)是g(x)等价无穷小量；D、f(x)是g(x)同阶、而等价的无穷小量。x 2, x _ 07、设 f(x)=x2 +a,0x1 在(-,+)内连续，

7、则 a, b 分别为(B)bx,1 x JA、0,0;B、2,3;C、3,2;D、1,1。sin ax 一8、设f (x) =(x 0 0)在x =0处连续，且xA、2;B、一 ；C、一一；22、1f (0)= ,则 a = (C) 2D、 2 o、填空题:1、设 lim g(x) = 3,lim h(x) =3,且 g(x) f (x) h(x),则 lim 3x24f (x) = 12。，一 , 、12、当 xT 00 时，函数 f (x)=,则 lim 2xf (x) = 2 x x,x 0、24、设f(x)ex, x 0 ,f(2) = (2 -3)(2 -1) 0 ,; 在区间1,2

8、上，f(1)f(2)0,，在区间1,2上，至少存在一点x1，使得f(x1)=0,; 在区间2,3上，f(2)f(3)0,，在区间2,3上，至少存在一点x2,使得f(x2)=0,因为二次函数至多有二个实数根，因此可知x1与x2,即为所求的两个实数根，且分别在区间(1,2),(2,3)内。35、判定万程x +x-3 =0至少有一个正根。解：令 f(x) = x3 x -3二 f(0) = -3 0,; 在区间0,2上，f(0)f(2)0,，在区间0,2上，至少存在一点之,使得f仁)=0,即至少存在一个正根。14 .6、设 f (x)在x =2处连续，且 f(2)=3,求 hmf(x)(- 2)。x

9、 义 x-2 x -4解：: f(x)在x=2处连续，且f(2)=3,.lim2 f(x) = f (2) =3lxm2 f (x)(1x -24x2 -414=limf(x)lim(-2)x-2x 2 x -2 x -4x 2-4. x-23= 3lim =3lim=-x 2(x 2)(x -2)x 0(x . 2)(x -2)433 x7、右当 x t 0时，ax tan 一，求 a。2解:3tan lim 32J0 axtan 2a2a12 x - 叫一)四、计算题:2 1x1则(12)x2e22x 5lim -2x)2x -x 1x2 - x 3lim 3= 0 ;x 丘3x3 2x

10、43x3 2x 4x始二2-x -x 3ln(1 2x)sin xtan3x2x3xx)COt x一 x(1 x)tanx(1 x)x5、.n2 - 3n limf ： 2n 17、(1 -x)tanx(1-x)xe，limn 、二6、limx3 23J3x - 4sinx=limxi 二3-4sin xlim (sin . x 1 - sin x)lim 2cos x-jsinc - x 1- x . x 1 - x2 cossin.x 1 - , x sin(m(x 1 -x)=x=1)；8、limx 11 - x2 t = x -1sin x1 -(t 1)2sin 二(t 1)二网t(t 2)sin 二 tx2 1 axx 12x 2x 5lim ；;x: