2019-2020学年吉林省长春市绿园区长春兴华高中高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、2019-2020学年吉林省长春市绿园区长春兴华高中高二上学期期末数学（理）试题、单选题1 . 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为【解析】试题分析：由三视图可知，上面是半径为三的半球体积为, 卜面是底面积为1,高为1的四棱锥，体积 【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能 力等.2 .下列命题中的假命题是（）A. x R, 21 x 0B. X0 R,4x02 XC.命题 若x2 2,则x 我”的逆否命题d.若p q为

2、假命题，则 p与q都是假命题【答案】c【解析】对于A,由指数函数的性质即可判定 A为真命题，对于B,根据方程JX02 x0 有解可判定B为真命题，对于 C,根据原命题与逆否命题同真假可判定 C是假命题.对 于D,根据p q的真假性即可判定 D为真命题.【详解】对于A, 21 x恒大于0 ,故A正确.对于B，方程JX02 x0,解得：xo 1或Xo 0,存在，故B正确.对于C,原命题若x2 2 ,则x 夜”为假命题， 所以逆否命题也为假命题，故 C错误.对于D,根据p q的真假性为 同假为假，有真为真”可判定D正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假性，同时考查了逻辑连接词，属于简单题 .3

3、.已知直线 li：ax 2y 6 0/2：(a 1)x 2ay 1 0,若 li I2,则实数 a ()A. 0B.3C. 0或 3D.0或 3【答案】D【解析】分别讨论k2的斜率存在和不存在情况下的11 12即可.【详解】 当k2的斜率不存在时，ki 0,即a 0, li I2.，一,a .alia当k2的斜率存在时，即 a 0, ki二，k2 二一.22 a 2aa i a因为li I2,所以kik2 i,解得a 3.2 2a综上a 0或a 3.故选：d【点睛】本题主要考查根据两条直线垂直求参数的值，同时考查了学生的分类讨论的思想，属于简单题.4.下列双曲线中，焦点在 x轴上，且渐近线方程

4、为 y 2x的是()2B. x2a 2 x .A . y i422C. y2 1D. x2 144【答案】B【解析】 首先根据双曲线的焦点在 X轴上，排除A和D,再计算B和C渐近线方程即 可.【详解】选项A和D的焦点在y轴上，故排除A和D.2选项B, x2 y- 1, a 1, b 2,渐近线方程为y 2x.4故选：B【点睛】本题主要考查双曲线几何性质中的渐近线，属于简单题5. “a1”是直线ax y 1 0的倾斜角大于一”的（）4B.必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】A【解析】 设直线ax y 3 0的倾斜角为，则tan1,可知倾斜角大于-

5、；由倾斜角大于一得41 或a 0,所以a1 ”是直线ax y 30的倾斜角大于 一”的充分而不必要条件，故选4A.6.设m, n是两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（第16页共22页A.若 ，m , n ，则 m nB.若 / , m , n,则 m/nC.若 m n , m , n ，则D.若 m , m/n , n/ ,则，故选D.【解析】试题分析：Q m【考点】点线面的位置关系7.已知圆C与直线x y 0及x y 4 0都相切，并且圆心在x y 0上，则圆C的方程为B.D.C. x方程a由题知,首先设出圆心坐标，根据圆C与直线x0都相切，得到d2,解方程即可求出圆心坐标

6、，再求圆的方程即可设圆心C为（a, a）.圆心C到直线x y 0的距离d12a圆心C到直线0的距离d22a 42因为d1d2 ，所以2a2a所以圆心C为(1, 1),d1圆C为:(x 1)2 (y1)22.故选：B本题主要考查直线与圆相切，同时考查了学生的计算能力,属于中档题8.过抛物线y2 4x的焦点F且倾斜角为60的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M ,B. 2Mc 2.3C.3【解析】设 Ax1,y1, Bx2,y2,则 OM1y1, ON 1y2, MN 1yly2,222联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解.【详解】1 一一 1设 A 为，

7、, B X2, y2 ,则 OM qM，ON 21y2 ，直线AB的方程为：y J3 x 1 ,联立 y2 后 X 1 ,可得 3y2 473y 12 0, y 4xy V2 4/3，y1 y24,. MN 1|y1 y 1,防述，故选 D. 22 . 33【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题2,9 .已知三棱锥S ABC的体积为友，各顶点均在以SC为直径的球面上BC3AB AC J2，则这个球的表面积为()B. 12C. 16D. 20【解析】首先根据题意画出图形，根据三棱锥S ABC的体积为丝3 ,可得

8、到3OO1 J3,再计算外接球的半径和表面积即可【详解】如图所示：因为 BC 2, ab ac 衣，即 AB2 AC2 BC2，所以AC AB .SVABC 1 V2 衣 1，2VS ABCSVABCSB 31sB 233' SB 2 3.所以OO13 .R12 ( ,3)2 2,S 4 R2 16故选：C 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，同时考查了三棱锥的体积，属于中档题10 .已知点A 3, 1 ,B 5, 2 ,点P在直线x y 0上，若使 PA 1PB 取得最小值,则点P的坐标为()A.1,1B.3, 3【答案】DC.13 13,5 5D.1313, 55【解析】

9、首先根据图形算出 A关于直线x y 0的对称点为C,求出直线BC,再联立直线BC和直线x y0即可求出P点坐标.如图所示:设A(3, 1)关于直线xy 0的对称点为C(x, y),口 1x 1得到 x 3x ,即 C(1, 3).x 3 y 1 0 y 3223 ( 2) 11 541),即 x 4y 13一一、，1直线BC为：y 3 -(x4x 4y 13 0即当1313、P（一, 一）时,55故选：D【点睛】13x 5135PA | PB取得最小值.本题主要考查点关于直线对称问题，数形结合为解题的关键，属于中档题11.过坐标轴上一点M X0,0作圆x21的两条切线，切点分别为 A, B,若

10、ABJ2 ,则X0的取值范围是(B.,3, J3C.D.AB首先根据题意画出图形，再根据直线与圆相切的性质得到2 AM2, x。2MCX0234r J2 ,解不等式即可.14由图知:B7 '因为为圆C的切线，所以AM AC.在 RTVAMC 中，MC21X0AC 1AM | J|MC|2 |AC|2 Jx。2 .又因为VAMC VBMC，所以AB A MC ,一、，1 .因为 AM gAC| -|AB gMC ,2 t32 AM 气。4 l所以 AB -J-I 4 <2lMCl 口7整理得：x。2 4 .即X。1或X。-y .故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的切线

11、问题， 档题.2212.已知点P为椭圆E： 41 a ba2 b2N为AB中点.数形结合为解决本题的关键，属于中0的下顶点，M , N在椭圆上，若四边形OPNM为平行四边形,为直线ON的倾斜角，且率的取值范围为()A.0,9B.0,13C.-.6 .33 , 2D.-.6 2 . 23 , 3【答案】A【解析】首先根据题意得P(0, a),则设点M(x,-), N(x, a),将N(x,国)代入 222椭圆匕 41得到N( b, a),求出k0N,根据 的范围即可得到a2 b222aJ3b1 ,再转化为离心率的不等式即可【详解】如图所示:因为OP在y轴上，且OPNM为平形四边形,所以OP/MN

12、，且M ,N的横坐标相等,纵坐标互为相反数N(x,1)a、由题意得P(0, a)则点M(x,a)22将N (x, a)代入椭圆当2a22 x b71得x23b243bb .2即N(.3 a kb, ) , kON22tana2&2.3b.1.因为2 a 3b22aZ21 23a 3c13 3e2解得：0、63故选：A本题主要考查椭圆中离心率的取值范围,根据题意找到关于 a,b,c的不等关系为解题的关键，属于难题.二、填空题13.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为【解析】首先根据题意得到2 r 122 ,解得r 1 ,再分别计算侧面积和底面积即可.【详解】1 _

13、设圆锥的半径为r ,由题知：2 r 22 ,解得r 1.2所以S底12, S侧-22 2 .2所以表面积S 23 .故答案为：3【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，同时考查了圆锥的侧面展开图，属于简单题16514.已知点M到定点5,0的距离和它到定直线 x 的距离的比是一，则点M的轨54迹方程为;22169【解析】 首先设M (x, y),再根据题意列出等式化简即可 .【详解】设点M (x, y),由题知(x 5)2 y24 (x 5)2 y216x 竺 5 '即(x ")225.5522整理得：-1.16922故答案为：-X 1169【点睛】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，根

14、据题意列出关于 x,y的等式为解题的关键， 属于中档题.15 .已知圆 C:x2 y2 6x 2ay a2 8 0和两点 A m,0 , B m,0 m 0 ,若圆C上存在点P ,使得 APB 90°,当m的最大值为6时，a =；【答案】4.【解析】首先设P(x,y),根据 apb 90°得到x2y2m2,即OP2 m2,再根据m的最大值即可求出a的值.【详解】由题知：圆 C: (x 3)2 (y a)2 1 .uuruuu设P(x,y), AP (x m, y), BP (x m,y), uuu uuu因为 APB 90o,所以 APgBP (x m)(x m) y2 0

15、.即 x2y2m2.2c cn._. . _因为OP x y m ,且m的取大值为6.所以(|OP)max OC| 1 6.即厅胃5,解得a 4.故答案为：a 4【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，同时考查了学生的转化能力，属于中档题16 .已知抛物线C:x2 4y的焦点为F ,平行y轴的直线l与圆：x2 (y 1)2 1交于A,B两点(点A在点B的上方)，l与C交于点D,则 ADF周长的取值范围是【答案】3,4【解析】 过点D作DM垂直与抛物线的准线，垂足为点 M ,由抛物线的定义得DF DM | ,从而得出 ADF的周长为 AM 1 ,考查直线 AM与圆 相切和过圆心F ,得出A、D、F

16、不共线时AM的范围，进而得出 ADF周长的取值范围。【详解】如下图所示：抛物线C的焦点F 0,1 ,准线为l : y 1,过点D作DM l ,垂足为点M ,由抛物线的定义得 DF| DM| ,圆 的圆心为点F ,半径长为1,则 ADF 的周长 L AD DF AF AD DM 1 AM 1,当直线l与圆 相切时，则点A、B重合，此时A 1,1 , AM 2；当直线l过点F时，则点A、D、F三点共线，则 AM FM AF 2 1 3。由于A、D、F不能共线，则2 AM 3,所以，3 AM 1 4,即3 L 4,因此， ADF的周长的取值范围是 3,4 ,故答案为：3,4。【点睛】本题考查抛物线的

17、定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。三、解答题17 .已知命题 p:3x 4 2,q:(x a)(x a 2) 0.(1)若a 1, p q为真命题，求x的取值范围；(2)若q是p的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.2【答案】(1)2,3 ；(2)0,3 .【解析】(1)首先根据题意分别解得 P真和q真时x的范围，再根据p q为真命题解 不等式组即可.(2)首先解出p和q,再根据q是p的

18、必要不充分条件解不等式组即可.【详解】一八八一八,一八2(1) p 真：3x4 2 或 3x42,即 p 真：x 2或 x-.3q： (x 1)(x 3) 0 , q真：1 x 3.因为p q为真命题，所以p , q都为真命题.所以x 2或x鼻，解得2 x 3.1 x 3_ . ,2-(2)由(1)知 p: - x 2, q: a x a 2.3因为q是p的必要不充分条件，2 , a22所以 30 a , a的取值范围是（0,2）.33a 2 2【点睛】本题第一问考查逻辑连接词，第二问考查充分不必要条件，属于中档题 18 .三棱柱ABC AB1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体

19、，BBi平面ABC , ABC 90o, BC BBi,E为棱BiC上的动点（不包含端点），平面ABE交AC于点F .（1）求证：EF/AB;（2）若点E为BiC中点，求证：平面 ABEL平面AiBiC .【答案】（i）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（i）首先根据AB / / ABi得到AB / /平面AiBiC ,再根据线面平行的性质即可 得至U EF /AB.（2）首先根据BBi AB , AB BC得到AB 平面BBQ ,从而得到AB BE ,根据AB /ABi得到BE ABi ,再利用BC BBi，点E为BiC的中点，得到BE B1c，最后在根据面面垂直的判定即可得到平面ABE

20、 平面ABC.【详解】（i）因为四边形 ABBiAi是平行四边形，所以 AB/AiBi,因为AB 平面ARC, AiBi 平面ABC,所以AB/平面ABC.又AB 1平面ABE ,平面ABEI平面A B1c EF所以 EF /AB.(2)因为BBi平面ABC,AB i平面ABC所以BB1 AB.因为 ABC 90°,所以AB BC.BCI BB1 B, BC,BB1 平面 BB1c ,所以AB 平面BBiC .又因为BE 平面BB1C ,所以AB BE .因为 AB/A1B1,所以 BE ABj因为BC BBi ,点E为BiC的中点，所以BE BC .B1C I A1B1 B1, B

21、1C,AB1 平面 ABC,所以BE 平面ABiC ,因为BE 平面ABE,所以平面 ABE 平面ABC .本题第一问考查利用线面平行的性质证明线线平行，第二问考查面面垂直的证明，属于中档题.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以 M为圆心的圆 M: x2+y212x14y+60=0及其上一点 A(2, 4).(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x= 6上，求圆N的标准方 程；(2)设平行于 OA的直线l与圆M相交于B, C两点，且BC = OA, 求直线l的方程.【答案】(1) (x6)2(y1)21 ；(2)2x y 50或2xy 15 0【解析】(1)化简得到圆M

22、的标准方程，求得圆 M的圆心坐标和半径，进而求得N的标准方程；(2)由题意得OA 2J5,%a2 ,设1 ： y 2x b ,则圆心M到直线l的距离，由此能求出直线l的方程.【详解】圆M的标准方程为(x 6)2+(y7)2 = 25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x 6上，可设N(6, y0).QN与x轴相切，与圆M外切， 0 yo 7,于是圆N的半径为y0 ,从而7 因此，圆N的标准方程为(x 6)2 (y 1)2 14 0(2) Q直线l /OA , 直线l的斜率为 一0 2 .2 0设直线l的方程为y 2x m ,即2x y m 0 ,则圆心M到直线l的距离12 6

23、7 ml |m 5d 5TQ BC 2 .5 ,h 22 BC 2而MC d()，2好(m 5)2人2555解得m 5或m 15.故直线l的方程为2x y 5 0或2x y 15 0；【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法及直线与的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，以及合理运用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力220.已知抛物线C ： y 2px p 0的焦点为F ,准线为l ,若点P在C上，点E在l上，且 PEF是边长为8的正三角形.(1)求C的方程；(2)过点1,0的直线n与C交于A,B两点,uiv uuv右FA FB

24、 23,求FAB的面积.【答案】(1) y2 8x ; (2) 2屈.【解析】1根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求;2设过点1,0的直线n的方程为x ty 1 ,联立直线方程与抛物线方程，得y2 8ty 80.利用根与系数的关系结合uuu uuuFA FB23求得t,进一步求出 AB与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解.【详解】1由题知，PF PE ,则PE l .设准线l与x轴交于点D,则PE/DF .又VPEF是边长为8的等边三角形，PEF 60°,C_1.EFD 60°,DFEFcos EFD8 -4 ,即 p 4.2抛物线C的方程为y2 8x

25、 ；2设过点1,0的直线n的方程为x ty 1 ,y2 8x联立 x ty 1 ,得 y2 8ty 8 0 .设 A x1，y1 , B x2,y2 ,则 y W8t , yy28.,2xx2ty1 1ty21t y1y22x x2tyy228t 2.uuu uur由 FA FB 23,得 x1 2,Y1x1x2 2 x1 x24 y1y2 1t y1 y21 1 .x2 2,y2x1 2 x2 2_ _ 2_2 8t 24 823,解得t 1 .不妨取t 1,则直线方程为x y 1 0.AB J t2 J(y1 y2)2 4yly2 72 48 32 8M.而F到直线x y 1 0的距离d1

26、 2 1.22展.本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题，解答二次方程此类题目，通常联立直线方程与抛物线(圆锥曲线)方程的方程组，应用 根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能 较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21 .在四棱锥 P ABCD 中，PD 平面 ABCD, AB/DC , AB AD ,DC AD 1, AB 2, PA与平面ABCD所成的角是45°，E是PA的中点,，, u r uuir uuiri：线段AB上，且满足cf bd 0.第23页共22页(1)求二面角F

27、 PC B的余弦值;若存(2)在线段PA上是否存在点Q,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是 3在，求AQ的长；若不存在，请说明理由【答案】(1) §； (2)存在满足条件的点uuuAQ12 ,理由见解析.10【解析】(1)首先根据PA与平面ABCD所成的角是45o得到PD AD 1,以D为坐标原点，DA , DC , DP分别为x, y , z轴建立空间直角坐标系,-uuur根据CFuuurBD一 11得到 t F(1,0). 22再分别求出平面FPC的法向量和平面BPC的法向量，带入二面角公式即可 . uuuv uuv(2)设AQAP ,0, ,0,1 ,利用向量法求出 FQ与平

28、面PFC所成角的正弦值，再解方程即可.【详解】(1)因为PD 平面ABCD ,所以 PAD为PA与平面ABCD所成的角.即 PAD 45°, PD AD ,所以 PD AD 1.以D为坐标原点，DA, DC , DP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系,P(0,0,1), C(0,1,0) , B(1,2,0), C(0,1,0),设 F(1,t,0).uuruuirCF (1,t 1,0), BD ( 1, 2,0),uuur umr11因为 CF BD 0,所以 1 2(t 1) 0,解得 t 1, F(1q,0).r设平面FPC的法向量为n (x1,y1,),uur 1uu

29、r又 CF (1, 2,0) , PC (0,1, 1).x11yl 0r所以 2 ，令X 1,得到n (1,2,2).y1 40ir设平面BPC的法向量为m (x2,y2,z2),uur又BC (uur1, 1,0), PC(0,1, 1).所以X2y2y2Z2r1,得到 n ( 1,1,1).所以cosur rm, nurmur-rm n；1 4 4g. 1 1 1_3_ J3 3/33 .又由图可知，该二面角为锐角，故二面角F PCB的余弦值为因为 A(1,0,0),uuuAPuuuv(1,0,1),设 AQ,0,0,1所以 Q（1,0,）,由（1）知平面FPCuuu/1FQ (,-,)

30、.2r的法向量为n (1,2,2)uur r 所以 Sin FQ,n1 214又因为FQ与平面PFC所成角的余弦值是所以其正弦值为一3,即3.33整理得：20 2 81 一或10（舍去）所以存在满足条件的点uuiTQ, AQ1 C 1、,0,)uuuAQ在101010第25页共22页本题第一问考查向量法求二面角的余弦值, 档题.第二问考查利用向量法求线面成角，属于中第30页共22页22.已知点_ 422底-在椭圆C:与4l3a ba b 0上，椭圆的右焦点F2V5,0，直线l过椭圆的右顶点 A,与椭圆交于另一点(1)求椭圆C的方程;(2)若P为弦AD的中点，是否存在定点Q ,使得OPEQ恒成立？若存在,求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由;(3)若 OM / /I ,交椭圆C于点M，求AD 3 AEOM的范围.1 ； (2)存在,4八一一,0 ； (3)5,3【解析】(1)设点为N J5,4，利用椭圆的定义及