考研数学概率公式整理

1、概率公式整理1随机事件及其概率AAA吸收律： AAAA(AB) AA(AB)AABABA(AB)反演律： A BA BAB ABnnnnAiAiAiAii 1i 1i 1i 12概率的定义及其计算P(A)1P( A)若 ABP(BA)P(B)P( A)对任意两个事件A, B, 有P(BA)P(B)P( AB)加法公式：对任意两个事件A,B, 有P(AB)P( A)P(B)P( AB)P(A B)P( A) P(B)nnn( 1) n 1 P( A1 A2 An )P( Ai )P( Ai )P( Ai A j )P( Ai Aj Ak )i 1i 11 i j n1 i j k n3条件概率P

2、 BA乘法公式P( AB)P( A)P(AB)P(A)P BA(P( A)0)1 / 6P(A1 A2 An ) P( A1 ) P A2 A1P AnA1 A2An 1(P( A1 A2An 1 )0)全概率公式nnP( A)P( ABi )P(Bi ) P( A Bi )i1i1Bayes 公式P( ABk )P(Bk A)P( A)P(Bk )P( A Bk )nP(Bi ) P( A Bi )i 14随机变量及其分布分布函数计算P(aXb)P( Xb)P( Xa)F (b)F (a)5离散型随机变量(1) 01 分布P( Xk)p k (1p)1 k ,k0,1(2) 二项分布 B(n

3、, p)若 P ( A ) = pP( Xk)Cnk pk (1p)n k ,k0,1, n*Possion 定理lim npn0nl i mCnkpnk (1 pn )n kk有enk!k0,1,2,(3)Poisson 分布P()kP( Xk)e,k0,1,2,k!2 / 66连续型随机变量(1) 均匀分布 U (a,b)1,axbf (x)ba0,其他0,F (x)xa ,b a 1(2) 指数分布 E( )f (x)F (x)ex,x00,其他0,x01e x ,x0(3) 正态分布N ( ,2 )1( x)2e22xf (x)21x(t) 222F (x)ed t2* N (0,1)

4、 标准正态分布x 2(x)1e2x2t 2( x)1xxe 2 dt27.多维随机变量及其分布二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数xyF (x, y)f (u, v)dvdu边缘分布函数与边缘密度函数3 / 6FX ( x)xf (u, v)dvduf X ( x)f (x,v)dvyFY ( y)f (u, v)dudvfY ( y)f (u, y)du8. 连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G )1 ,( x, y) Gf (x, y)A0,其他(2) 二维正态分布1( x1 ) 2( x1 )( y2 ) ( y2 )212(1 2)222f (x, y)1

5、1 22e21212x,y9. 二维随机变量的 条件分布f (x, y)f X ( x) fY X ( y x)f X (x)0fY ( y) f X Y ( x y)fY ( y)0f X ( x)f (x, y)dyfY ( y)f (x, y) dxf (x, y)f X Y ( x y)fY ( y)f (x, y)fY X ( y x)f X ( x)f X Y ( x y) fY ( y)dyfY X ( y x) fX ( x)dxfY X ( y x) f X (x)fY ( y)f X Y (x y) fY ( y)f X ( x)10. 随机变量的数字特征数学期望4 / 6

6、E( X )xk pkk1E( X )xf ( x)dx随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩E( X k )X 的 k 阶绝对原点矩E(| X |k )X 的 k 阶中心矩E( XE( X ) k )X的方差E( XE(X )2 )D(X )X ,Y 的 k + l阶混合原点矩E( X k Yl )X ,Y 的 k + l阶混合中心矩E ( XE( X ) k (YE(Y) lX ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY )X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差E ( XE(X )(YE(Y)X ,Y 的相关系数E( XE( X )(YE(Y)D(X )D(Y)XYX 的方差5 / 6D (X ) = E (X - E(X)2)D(X)E(X2)E2(X)协方差cov( X , Y)E ( XE( X )(YE (Y)E(XY )E( X )E(Y)1 D(XY