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1、二项式定理一、基本知识点n 0n 1n 1,1r n r rnn,1、一项式止理:(a b)Cnaga bCna bCnb (n N )2、几个基本概念(1)二项展开式:右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式(2)项数:二项展开式中共有n 1项(3)二项式系数:Cn (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数(4)通项:展开式的第r 1项,即1Cnran rbr (r 0,1, ,n)3、展开式的特点(1)系数 都是组合数,依次为C;,C2cn,Cn(2)指数的特点a的指数 由n *0(降幕)。b的指数0fn (开幕)。a和b的指数和为n。(3)展开式是一个恒等式,a,
2、 b可取任意的复数,n为任意的自然数。4、二项式系数的性质:(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 C1 Cnm(2)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值n当n是偶数时,中间一项取得最大值 Cn2当n是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值 Cn2 =Cn2C0 C1C2CkC n2n(3)二项式系数的和:Cn CnCnCnCnC0+C2+L =C1+C3 + L =2n-1奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即二项式定理的常见题型一、求二项展开式1. ”(a b)n”型的展开式例1.求(36 工)4的展开式;a x2. ”(a b)
3、n”型的展开式1例2.求(3人 一)的展开式; x3. 二项式展开式的“逆用”例3.计算 1 3C: 9C2 27 C:.(1)n3ncn;二、通项公式的应用1 .确定二项式中的有关元素例4.已知(a J*)9的展开式中x3的系数为9 ,常数a的值为 x 1 242 .确定二项展开式的常数项例5. (、& ;)10展开式中的常数项是 x3 .求单一二项式指定幕的系数例6. (x2 工)9展开式中x9的系数是 2x三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数例7. (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中,x2的系数等于例8. (x2 1)(x
4、2)7的展开式中,x3项的系数是 四、利用二项式定理的性质解题例9.求(Jx1Vx)10的展开式的中间项;2. 求有理项例10.求(后 4)1°的展开式中有理项共有 项;3 x3. 求系数最大或最小项(1)特殊的系数最大或最小问题例11.在二项式(x 1)11的展开式中,系数最小的项的系数是5(2) 一般的系数最大或最小问题例 12.求(.x品)8展开式中系数最大的项;(3)系数绝对值最大的项例13.在(x y)7的展开式中,系数绝对值最大项於五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和例 14.若(2x 3344 a。2则(a0 a2 a4)例 15.设(2x 1)6 a6X6234a1xa2xa3xa4x ,(a1 a3)2的值为5a5x .axa。,a6 ;六、利用二项式定理
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