2016年上海市虹口区高考数学二模试卷(文科)(解析版)(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设集合M=x|x2=x，N=x|log2x0，则MN=2已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，bR）的一个根，则a+b=3在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为5已知函数f（x）的对应关系如表：x21012f（x）3215m若函数f（x）不存在反函

2、数，则实数m的取值集合为6在正项等比数列an中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+an）=7已知f（x）=2sinx（0）在0，单调递增，则实数的最大值为8若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为9二项式（2x）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为10已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为11如图，A，B为椭圆+=1（ab0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若ABOC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为12若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆

3、（x4）2+y2=4相切，则直线l的方程为13设函数f（x）=（其中a0，a1），若不等式f（x）3的解集为（，3，则实数a的取值范围为14在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，xy）构成的区域的面积为二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15“a=3“是“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3

4、B4C3+4D2+417在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若SABC=（其中SABC表示ABC的面积），且（+）=0，则ABC的形状是（）A有一个角是30的等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形18已知抛物线y=x27上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A5BC6D三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19在锐角ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（B）（1）求角A的值；（2）若=12，求ABC的面积20如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为

5、直角梯形，ABC=BAD=90，AB=AD=AP=2，BC=1求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥PABCD的体积与侧面积21已知函数f（x）=log（）满足f（2）=1，其中a为实常数（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，求实数t的取值范围22已知直线y=2x是双曲线C：=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定

6、点T，使得TPTQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=|，试求直线l的方程23已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列设数列an的前n项和为Sn，且满足a4=S3，a9=a3+a4（1）求数列an的通项公式；（2）若akak+1=ak+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列an的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由2016年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号

7、的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设集合M=x|x2=x，N=x|log2x0，则MN=0，1【考点】并集及其运算【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可【解答】解：由M中方程变形得：x（x1）=0，解得：x=0或x=1，即M=0，1，由N中不等式变形得：log2x0=log21，即0x1，N=（0，1，则MN=0，1，故答案为：0，12已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，bR）的一个根，则a+b=3【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与

8、系数的关系，即可求出a、b的值【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，共轭虚数12i也是此方程的一个根，a=（x1+x2）=（1+2i+12i）=2；b=x1x2=（1+2i）（12i）=5；a+b=2+5=3故答案为：33在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参

9、加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为1261=125种；故答案为：1254已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为2【考点】复数求模【分析】设z=x+i（xR，x0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】解：设z=x+i（xR，x0），则|z|=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：25已知函数f（x）的对应关系如表：x21012f（x）3215m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为2，1，3，5【考点】反函数【分析】由已知可得：f（2）=3，f（1）=2，f（0）=1，f（1）=5

10、，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出【解答】解：由已知可得：f（2）=3，f（1）=2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：2，1，3，5，否则存在反函数实数m的取值集合为2，1，3，5故答案为：2，1，3，56在正项等比数列an中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+an）=【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，a1a3=1，a2+a3=，=1， =解得a1=3，q=则（a1+a2+an）=故答案为：7已知f（x）=2sinx

11、（0）在0，单调递增，则实数的最大值为【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得，由此求得实数的最大值【解答】解：f（x）=2sinx（0）在0，单调递增，求得，则实数的最大值为，故答案为：8若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为【考点】三阶矩阵【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合【解答】解：由题意得，f（x）=cos（+x）12（1）=cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：9二项式（2x）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数

12、之和为64【考点】二项式系数的性质【分析】T5=2n4xn6，令n6=0，解得n再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出【解答】解：T5=2n4xn6，令n6=0，解得n=6展开式中各项的二项式系数之和为26=64故答案为：6410已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为64【考点】球的体积和表面积【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最

13、大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=，故R=4，则球O的表面积为4R2=64，故答案为：6411如图，A，B为椭圆+=1（ab0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若ABOC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知得C（c，），A（a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率【解答】解：A，B为椭圆+=1（ab0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，ABOC（O为坐标原点），C（c，），A（a，0），B（0，b），bc=b2，b=c，a2=b2+c2=2c2，a=，直线AB的斜率k=

14、故答案为：12若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x1），即kxyk=0，直线l与圆（x4）2+y2=4相切，=2，解得k=直线l的方程为：y=（x1）故答案为：y=（x1）13设函数f（x）=（其中a0，a1），若不等式f（x）3的解集为（，3，则实数a的取值范围为（1，3【考点】指、对数不等式的解法【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案【解答】解：

15、a0，且a1，设函数f（x）=，若不等式f（x）3的解集是（，3，当x1时，|x22x|3，可得3x22x3，解得1x3；当x1，即x（，1）时，ax3，不等式恒成立可得1a3综上可得1a3实数a的取值范围为：（1，3故答案为：（1，314在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，xy）构成的区域的面积为4【考点】简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论【解答】解：由，得设M（s，t），则，解得，由，得作出不等式组对应的平面

16、区域，则对应平行四边形OABC，则A（0，2），B（2，0），C（2，2），则四边形的面积S=2，故答案为：4二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15“a=3“是“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线

17、（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论【解答】解：当“a=3”时，直线（a22a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a22a3=0，即a=3或a=1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a22a）x+y=0和直线3x+y+1=

18、0互相平行”的充分不必要条件故选：A16一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C3+4D2+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱该几何体的表面积=12+12+22=4+3故选：C17在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若SABC=（其中SABC表示ABC的面积），且（+）=0，则ABC的形状是（）A有一个角是30的等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】平面向量数量积的运算【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出A

19、FBC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出ABC的形状【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AFDE，且；AFBC；又DEAF；DEBC，且AD=AE；AB=AC，即b=c；延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；4c2a2=a2；a2=2c2=b2+c2；BAC=90，且b=c；ABC的形状为等腰直角三角形故选：D18已知抛物线y=x27上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A5B

20、C6D【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=x27化简可得 x2xb7=0，x1+x2=1，x1x2=b7，y1+y2=x127+x227=（x1+x2）22x1x214=1+2b+1414=1+2b，故AB 的中点为M（，b+），由点M在x+y=0上，即+b+=0，解得：b=1，x1x2=6，由弦长公式可求出丨AB丨=5，故答案选：B三、解答题（本大题共5题，满分

21、74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19在锐角ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（B）（1）求角A的值；（2）若=12，求ABC的面积【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出ABC的面积【解答】解：（1）在ABC中，=；又A为锐角；（2）；=20如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC=BAD=90，AB=AD=AP=2，BC=1求：（1）异面直线PC与AD

22、所成角的大小；（2）四棱锥PABCD的体积与侧面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）BC与PC所成的角PCB等于AD与PC所成的角，且BCPB，即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥PABCD的体积与侧面积【解答】解：（1）由已知，有BCAD，AD面PAB，故BC与PC所成的角PCB等于AD与PC所成的角，且BCPB因BC=1，易知，故故异面直线BC与PC所成角的大小为求得：，故由余弦定理，得；从而又，因此21已知函数f（x）=log（）满足f（2）=1，其中a为实常数（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等

23、式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，求实数t的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）根据f（2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，则tlog（）（）x在x2，3上恒成立，构造函数求出最值，可得答案【解答】解：（1）函数f（x）=log（）满足f（2）=1，log（）=1，=，解得：a=1，f（x）=log（）的定义域（，1）（1，+）关于原点对称；又f（x）=log（）=log（）=log（）=f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，则tlog（）

24、（）x在x2，3上恒成立，设g（x）=log（）（）x，则g（x）在2，3上是增函数g（x）t对x2，3恒成立，tg（2）=22已知直线y=2x是双曲线C：=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TPTQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=|，试求直线l的方程【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）求得

25、双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程【解答】解：（1）双曲线C：=1的渐近线为y=x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2=1，又AM的方程为y=（x1），

26、令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（m，n），直线AN的方程为y=（x1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TPTQ即有kTPkTQ=1，即为=1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2=1，即有=4，可得t2=4，解得t=2，故存在点T（2，0），使得TPTQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4k2）x24kx8=0，即有=16k2+32（4k2）0，即k28，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，由|+|=|=|，两边平方可得=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x