解几离心率求解的基本方法

1、解几求解离心率的基本方法2 2，如果椭设椭圆X2 与 1 (a b a b圆上存在点P,使 f,pf2解法1:利用曲线范围设P(x，y)，又知F10)的左、右焦点分别为 Fi、90，求离心率e的取值范围。(c, 0), F2 (c, 0)，则FiP (x c，y)， F2P (x c，y) 由 FiPF2 90，知 FiP F2P， 则 FiP F2P 0，即(x c)(x c) y20222得xy c将这个方程与椭圆方程联立，消去2 2 2, 22 a c a bx2,2a b但由椭圆范围及知0y，可解得F1PF290可得2 2x a2 22, 2a c a b2a2 c从而得b2b2，即

2、c2c 2 ea所以e解法2:由椭圆定义知且 c2a2【I"，°利用二次方程有实根|PFj IPF2I 2a |PFj2 2IPF2I 2IPF1IIPF2I 4a又由 F1PF290，知|PFIPF2I2 IM 4c2 则可得 IPF1IIPF2I 2(a2 c2)这样，IPFJ与IPF2I是方程u2 2au 2(a2 c2)0的两个实根，因此4a28(a2c2)e2c21a2 2因此e2,1)解法3:利用三角函数有界性记 PF1F2，PF2 F1IPF1I IPF2IIFFIsin sin sin 90，由正弦定理有IPF1I IPF2Isin sinIF1 F2I又I

3、PF1I IPF2I 2a，IF1F2I 2c,则有c e -a1sinsin12 sin cos 2 21、2 cos2而0 I I 9045cos12从而可得解法4:利用焦半径由焦半径公式得| PF11 a ex， |PF2| a ex又由 |PF1|2 |PF2|2 |F1 F2|2，所以有2小222222a 2cx ex a 2cx ex 4cc 222c a2e且xa，则知0即a2 e2x2 2c2，x2又点P（ x，y）在椭圆上,x2a2，即2 22c a 2 2 a e2云，D解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有2a |PF1|IPF2I平方后得2 2 2 2 2 2 24a|P

4、Fi| IPF2I 2| PF1IIPF2I 2（|PFj 門| ） 2厅问 8c得与-所以有e 2， 1）a222解法6:巧用图形的几何特性由F1PF2 90，知点P在以厅汗2| 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有 c bc2 b2 a2 c2由此可得e 二，1）2水深火热的演练、直接求出在椭圆中，ea, c或求出a与b的比值，以求解ccc2，e 'aaa-2 2a b2ab22a1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于12.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为2213.若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0)

5、,则椭圆的离心率为 一24.已知矩形 ABCD AB= 4, BC= 3，则以A B为焦点，且过 C D两点的椭1圆的离心率为一。225.若椭圆笃ab 0)短轴端点为P满足PF1 PF2，则椭圆的离心率为e1 26.已知1 (mm n的的离心率为22 27.椭圆笃笃 1(aa b分别为M, N，若20.n20)则当mn取得最小值时，椭圆 二m0)的焦点为Fi , F2，两条准线与x轴的交点MN < F1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是8. 已知Fi为椭圆的左焦点，A B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF丄F1A,P0/ ABO为椭圆中心)时，椭圆的离心率为e 亠。222

6、9. P是椭圆于計(a> b >。)上一点，Fi、F2是椭圆的左右焦点，已知PFF2 , PFF 2 , F1PF2 3 ,椭圆的离心率为e V3 110. 已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若yf6PF1F215 , PF2F175 ,则椭圆的离心率为32 213.椭圆 笃 爲 1 (a>b>0)的两顶点为 A (a,0 ) B(O,b),若右焦点F a2b2到直线AB的距离等于1 I AFI，则椭圆的离心率是6。232 2x y14.椭圆二 三1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C D,若四边形 ABCDa b的内切圆恰好过焦点，则椭圆

7、的离心率是215.已知直线L过椭圆如果坐标原点到直线与 1 (a>b>0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b), b2aL的距离为一，则椭圆的离心率是22 216. 在平面直角坐标系中，椭圆务 当 1( a b 0)的焦距为2，以oa b2为圆心，a为半径作圆，过点,0作圆的两切线互相垂直，则离心c率 e=22X2y2117. 设椭圆二 2 1(a b 0)的离心率为e，右焦点为F(c,0),ab2方程ax2bxc 0的两个实根分别为x1和x2，则点PX, X2)(A )A.必在圆2 x2y2内B.必在圆x2 y22上C.必在圆2 x2y2外D.以上二种情形都有可能、构造a,c的

8、齐次式，解出e1 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于MN两点，椭圆的左焦点为Fi,直线 MF与圆相切，则椭圆的离心率是.313以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 0并且与椭 圆交于M N两点，如果I MFI = I M0，则椭圆的离心率是J3 14 设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.2 15 已知R、F2是椭圆的两个焦点，过 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF2是正三角形，则这个

9、椭圆的离心率是32 2b 0的左、右焦点，P是其右的点，且 rf2 f2p，则椭、口x y6.设F-|> F2分别是椭圆22 1aa b准线上纵坐标为 X 3c （ c为半焦距）圆的离心率是 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。0的点M总在椭圆umu uuuir1 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2内部，则椭圆离心率的取值范围是（0,）2F1PF290 ,2 已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且椭圆离心率e的取值范围为3已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2 60 ,一 1椭圆离心率e的取值范围为,122 24设椭圆笃 占 1 （a&

10、gt;b>0）的两焦点为R、F2,若椭圆上存在一点 Q a2b246使/F1QF=120o,椭圆离心率 e的取值范围为 一5 在 ABC 中，AB BC ,cosB经过点C，则该椭圆的离心率1838 '7 若以A, B为焦点的椭圆2八 、口x6 .设F1, F2分别是椭圆a右准线上存在P,使线段范围是_11,32y_b2Ph的中垂线过点0)的左、右焦点，若在其F2，则椭圆离心率的取值7.如图，正六边形ABCDEF勺顶点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是3 1关于双曲线离心率、利用双曲线性质设点P在双曲线2X2 a2§

11、1(a0,b0)的左支上，双曲线两焦b点为F、F2，已知|PR |是点P到左准线I的距离d和| PF2 |的比例中项,|PFi |d e 得:円|IPF1 |e ,由焦半径公式得：-eX e，则a ex(1 e)aa，即e2 2e 10,解得 1 eX 2e归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再2利用性质：若点P在双曲线务a2yy 1的左支上则x a ；若点p在双b2 2曲线Xy y1的右支上则a b例2X设点P在双曲线2ay b21(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2, | PF |4 | PF2 |，求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第定义得：IPF1

12、I IPF2 | 2a，与已知 | PF, | 4| PF2联立解得：22二、利用平面几何性质|PFi |8a,|PF2 | -a，由三角形性质 IPFJ IPF2IIF1F2I 得:332a3归纳:5。3求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角2c解得：1 e三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等 式。三、利用数形结合例3解析：|PFi |(同例2)由例2可知：82-a,|PF2 | -a，点P在双曲线右支上由图1可知：33求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设1PFI2和呵得：'7需。由双曲线第二定义| PF | c a，|PF-|8 5a

13、c,解得：1 e3四、利用均值不等式例4已知点P在双曲线2 X2 a2y-1(a0,b0)的右支上，双曲线两焦b-点为F、F-，巴门最小值是|PF-|8a，求双曲线离心率的取值范围。2解析：巴丄些d|PF-|PF-|-a)- |PF-|4a-4a 8a，由均值定理知：当且仅当| PF- | -a时取得最小值8a，又 | PF- | c a 所以c a，即3a c a,3a c a，两式相加得:-a c a，则 1 e 3。五、利用已知参数的范围例5( -000年全国高考题)已知梯形 ABCD中，| AB | - | CD |，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B2求

14、双曲线离心率的取值范围。为焦点，当-3解析：如图-建立平面直角坐标系，设双曲线方程为- -X- y? 1(a 0,b 0)，设 A( c,0)、B(c,O)、C(二h)、E(Xo,y。) a b-其中h是梯形的高，由定比分点公式得x0，把C、1E两点坐标分别代入双曲线方程得2 2c h2 24a b(2)®2 2a2h2两式整理得e21e4(1)2)2e4(1)2(1)22 21)1，从而建立函数关系式，由已知一231 3，解得门e 10。2 4六、利用直线与双曲线的位置关系2x例6已知双曲线 y21(a0)与直线I : x y 1交于P、Qa两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

15、解析：把(1 a2)y2 2ya20,1 a0时，直线与双曲线有两个不同的交点则4(1 a2)24a2(2 a2) 0，即 a2 2且 a 1，所以e22c2a23，即 ea22曲线方程和直线方程联立消去x得：七、利用点与双曲线的位置关系2X21(a°)上存在P、Q两点关于直线例7已知双曲线yax 2y 1对称，求双曲线离心率的取值范围。M(解析：设P(x1, y1), Q(x2, y 2)，弦PQ中点为 M，由点差法求得2 a12,2 当点M在双曲线内部时 a(a22)211，整理得：(a2 2)2a4 3a250 无解;当点M在双曲线外部时，点 M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：(a2 2)21(a2 2)20，即a21，则1 a2八、利用非负数性质例8已知过双曲线2 x 2 a2与 1(a0,b0)左焦点F1的直线l交b双曲线于P、Q两点，且OPOQ ( O为原点)，求双曲线离心率的取值范围。解析：设P(X1,yJ、Q(X22)，过左焦点F1的直线I方程