高等数学课件：8-1多元函数的基本概念

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院高等数学（下）高等数学（下）第八章 多元函数微分学 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第一节 多元函数的基本概念 高等数学（下）高等数学（下）开区间,闭区间的研究4点P0的 邻域4内点,外点,边界点,聚点(极限点),孤立点4边界,开集,连通集,有界集,开(闭)区域一元函数的定义:)(:.:.,xfyxyyfDxfRDyx 记记为为的的函函数数是是称称与与之之对对应应总总有有确确定定的的惟惟一一的的据据某某规规则则非非空空集集实实变变量量 高等数学（下）高等数学（下）（1）邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP

2、.)()(| ),(2020yyxxyx一、多元函数的概念 高等数学（下）高等数学（下）（2）区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如例如，即为开集即为开集 高等数学（下）高等数学（下）的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个

3、邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE.)(的外点为，则称中）不包含在（使得，的某一邻域且存在，若点EPEPUPUPEPEP 高等数学（下）高等数学（下）是连通集连结起来，则称集合内的连续曲线都可用一条完全在内任何两点，集合如果对于DDD 高等数学（下）高等数学（下）连通的开集称为开区域简称区域连通的开集称为开区域简称区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo又如，又如， 1, 0, 0| ),(1y

4、xyxyxD0| ),(2xyyxD 高等数学（下）高等数学（下）0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx| ),(22MyxyxD 高等数学（下）高等数学（下）（3）聚点聚点 内点一定是聚点；外点一定不是聚点内点一定是聚点；外点一定不是聚点边界边界点可能是点可能是E的聚点，也可能不是的聚点，也可能不是10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0 , 0) 是边界点也是聚点是边界点也是聚点 若点若点P的某一邻域内除了点的某一邻域内除了点P外其余各点都外其余各点都不属于不属于E，则称，则称点点P为为E的的孤立点孤立点；孤立

5、点是边；孤立点是边界点但不是聚点界点但不是聚点聚点聚点 高等数学（下）高等数学（下）（4）n 维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称 n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为 n维维空空间间，而而每每个个 n元元数数组组),(21nxxx称称为为 n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第 i个个坐坐标标. 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如, , 1| ),(22 yxyx边界上的点边界上的点 都是聚点都是聚点也都属于该集合也都属于该集合 高等数学（下）高

6、等数学（下）),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n 维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域邻域设两点为设两点为 n 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n 维空间的记号为维空间的记号为;nR 高等数学（下）高等数学（下）（5）二元函数的定义二元函数的定义 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三

7、元以上函数 高等数学（下）高等数学（下）一元函数的定义:)(:.:.,xfyxyyfDxfRDyx 记记为为的的函函数数是是称称与与之之对对应应总总有有确确定定的的惟惟一一的的据据某某规规则则非非空空集集实实变变量量 高等数学（下）高等数学（下）多元函数的定义: ),(:.,:.,:2yxfzyxzzfDyxfRDzyx 记记为为的的函函数数是是称称与与之之对对应应总总有有确确定定的的惟惟一一的的据据某某规规则则非非空空集集实实变变量量二二元元 ),(:.,:.,:3zyxfuzyxuufDzyxfRDuzyx 记记为为的的函函数数是是称称与与之之对对应应总总有有确确定定的的惟惟一一的的据据某

8、某规规则则非非空空集集实实变变量量三三元元 ),(:.,:.,:21212121nnnnnxxxfuxxxuufDxxxfRDuxxxn 记记为为的的函函数数是是称称与与之之对对应应总总有有确确定定的的惟惟一一的的据据某某规规则则非非空空集集实实变变量量元元 高等数学（下）高等数学（下）例例1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 高等数学（下）高等数学（下）注注 为什么要研究二元函数？为什么要研究二元函数？如如:平面、球面等平面、球面等),(yxfz

9、自然界中的许多现象，都可用多元函数表示自然界中的许多现象，都可用多元函数表示 . .如：温度如：温度 T 随地点随地点（x，y，z）、时间（、时间（t）而变，故而变，故 TT（x，y，z，t）四元函数四元函数. .二元函数的图形二元函数的图形: : 对于对于 , ,以以 为横坐标为横坐标),(yxfz x),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 二元函数的图形二元函数的图形. . 高等数学（下）高等数学（下）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. . 高等数学（下）高等数学（下）xyzoxyzsin 例如例如, ,图形如右图图形如右图. .2222azyx 右图球面右图球

10、面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :例如例如, , 高等数学（下）高等数学（下）4一元函数推广到二元函数是飞跃,二元函数推广到三元函数乃至多元函数只是平移.4一元函数的自变量可以比较大小-有序.4多元函数的自变量不可以比较大小-无序.多元函数与一元函数的区别: 高等数学（下）高等数学（下）二、多元函数的极限 高等数学（下）高等数学（下）例例2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 当当 时，总有时，总有 22) 0() 0(0yx 01sin)(2

11、222yxyx原结论成立原结论成立, 0 高等数学（下）高等数学（下）说明：说明：（1 1）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（2 2）二重极限与）二重极限与二次极限不同二次极限不同例如例如)1sin1sin(limlim)1sin1sin(lim0000 xyyxxyyxxyyx 0 不不存存在在 高等数学（下）高等数学（下）例例3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222

12、200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 高等数学（下）高等数学（下）求极限方法与一元类似:4不同处:洛必达法则,单调有界法则不再有用;4相同处:四则运算,夹逼,有界与无穷小,连续等.4可代换u=h(x,y)化成一元;4不能用y-y0=k(x-x0)代入来求极限.2lim)3;sinlim)2;2lim)1:4220002222200yxxyyxyyxxyyxyxyxyx例 高等数学（下）高等数学（下）注注: :二元函数要比一元复杂得多二元函数要

13、比一元复杂得多. .关键在于一元中关键在于一元中 方式简单方式简单; ;而二元中而二元中 的方式的方式 是任意的；这可用来证明二重极限不存在是任意的；这可用来证明二重极限不存在. .0PP 0 xx 高等数学（下）高等数学（下）例例4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化， 故极限不存在故极限不存在 高等数学（下）高等数学（下）对于对于 n 元函数的极限，有类似定义：元函数的极限，有类似定义： 高等数学（下）高等数学（下）三、多元

14、函数的连续性定义定义3000,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf， 高等数学（下）高等数学（下）例例5 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在 (0 , 0) 的连续性的连续性解解 取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随 k 的不同而变化，极限不存在的不同而变化，极限不存在故函数在故函数在 ( 0, 0) 处不连续处不连续0limlimlimlim22002200 yxxyyxxyyxxy.:关关二二重重极极限限与与二二次次极极限限无无说说明明 高等数学（下）高等数学（下）4一

15、点上连续的概念可推广到在集合上连续。4设D是开集，若D上每一点函数都连续，则 称该函数在D内连续。4设P0D是边界点，当任意的动点P P0且 动点PD时, 对应函数的极限等于P0点处的 函数值，则称函数在P0点连续。4设D是闭区域，若无论P0D是内点还是边 界点，函数在P0点都连续，则称该函数在D 上连续。4设D是定义域，若函数在D上连续，则称该 函数为连续函数。 高等数学（下）高等数学（下）连续函数的运算性质连续函数的运算性质 多元连续函数的和多元连续函数的和、差差、积均为积均为连续函连续函数数，商也是连续函数商也是连续函数（1）四则运算性质四则运算性质（2）复合运算性质）复合运算性质 多元

16、连续函数的复合函数多元连续函数的复合函数也是连续函也是连续函数数 高等数学（下）高等数学（下）闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，上的多元连续函数，在在D上必有最大值和最小值上必有最大值和最小值 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，上的多元连续函数，如果在如果在D上取得两个不同的函数值，则它上取得两个不同的函数值，则它在在D上取得介于这两值之间的任何值至少上取得介于这两值之间的任何值至少一次一次（1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2）介值定理介值定理 高等数学（下）高等数学（下）多元初等函数多元初等函数：由常数和多元基本初等函：由常数和多元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的多