2020-2021中考数学反比例函数-经典压轴题

1、2020-2021中考数学反比例函数-经典压轴题一、反比例函数1如图，点A在函数y=（x0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y=（x0）图象上运动时，ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC的面积，若变化，请说明理由（3）试说明：当点A在函数y=（x0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等【答案】（1）解：点C在y=的图象上，且C点横坐标为1，C（1，1），ACy轴，ABx轴，A点横坐标为1，A点在函数y=（x0）图象上，A（1，4），B点纵坐标为4，点B在

2、y=的图象上，B点坐标为（，4）；ABC=ABAC=，（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），AB=a=a，AC=，ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，ABx轴，ABCEFC，=，即=，EF=a，由（2）可知BG=a，BG=EF，AEy轴，BDG=FCE，DBGCFE中DBGCEF（AAS），BD=EF【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得ABC的面积；（3）可证明ABCEFC，利用（

3、2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明DBGCFE，可得到DB=CF2如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3PAB的面积【答案】（1）解：当x=1时，a=x+4=3，点A的坐标为（1，3）将点A（1，3）代入y=中，3=，解得：k=3，反比例函数的表达式为y=（2）解：当y=b+4=1时，b=3，点B的坐标为（3，1）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示点

4、B的坐标为（3，1），点D的坐标为（3，1）设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（1，3）、D（3，1）代入y=mx+n中，解得：，直线AD的函数表达式为y=2x+5当y=2x+5=0时，x=，点P的坐标为（，0）（3）解：PABABDBDP=222=【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数

5、表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合PABABDBDP，即可得出结论3如图，已知抛物线y=x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y=（3x12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m3），将抛物线y=x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为_；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN，直接写出a的取值范围【答案】（1）

6、把D（3，m）、E（12，m3）代入y=得，解得，所以双曲线的解析式为y=；（2）2（3）解：把（6，n）代入y=得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=（xa）2+9，把（6，2）代入y=（xa）2+9得（6a）2+9=2，解得a=6即a的值为6；（4）抛物线G2的解析式为y=（xa）2+9，G与G有两个交点，把D（3，4）代入y=（xa）2+9得（3a）2+9=4，解得a=3或a=3+把E（12，1）代入y=（xa）2+9得（12a）2+9=1，解得a=122；123+a122，设直线DE的解析式为y=px+q，；或a=12+2把D（3，4），E（12，1

7、）代入得，解得，G的对称轴分别交线段DE和G于M、N两点，直线DE的解析式为y=x+5，21M（a，a+5），N（a，），MN，a+5，整理得a213a+360，即（a4）（a9）0，a4或a9，a的取值范围为9a122【解析】【解答】解：（2）当y=0时，x2+9=0，解得x1=3，x2=3，则B（3，0），而D（3，4），所以BE=故答案为2；=2【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m3）代入y=得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程x2+9=0得到B（3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先

8、利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=（xa）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=（xa）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+a122，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=x+5，则M（a，a+5），N（a，），于是利用MN得到a+5，然后解此不等式得到a4或a9，最后确定满足条件的a的取值范围4已知：O是坐标原点，P（m，n）（m0）是函数y=（k0）上的点，过点P作直线PAOP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（am）设OPA的面积为s，且s=1+（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=

9、AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k，求OP2的最小值【答案】（1）解：过点P作PQx轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s=，a=（2）解：解法一：OP=AP，PAOP，OPA是等腰直角三角形m=n=1+=an即n44n2+4=0，k24k+4=0，k=2解法二：OP=AP，PAOP，OPA是等腰直角三角形m=nOPQ的面积为s1则：s1=mn=（1+），即：n44n2+4=0，k24k+4=0，k=2（3）解：解法一：PAOP，PQOA，OPQOAPOPQ的面积为s1，则=即：=化简得：化简得：2n4+2k2kn44k=0（k2）（2kn4）=0，k=2或k=（舍去），当

10、n是小于20的整数时，k=2OP2=n2+m2=n2+又m0，k=2，n是大于0且小于20的整数当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+=9+=，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、619时，OP2的值分别是：42+、52+、62+192+，192+182+32+5，OP2的最小值是5【解析】【分析】（1）利用OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PAOP，可得OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法

11、就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,在n的范围内求出OP2的最值.5如图，在平面直角坐标系中，平行四边形点坐标为.的边，顶点坐标为，（1）点的坐标是_，点的坐标是_（用表示）；（2）若双曲线（3）若平行四边形【答案】（1）（2）解：双曲线过平行四边形与双曲线；过点的顶点和，求该双曲线的表达式；总有公共点，求的取值范围.和点，解得，点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，双曲线表达式为（3）解：平行四边形与双曲线总有公共点，当点当点在双曲线在双曲线，得到，得到，的取值范围.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相

12、差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围6【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为0，所以0，所以2，只有当时，等号成立【获得结论】在2（a、b均为正实数）中，若为定值，则2，只有当时，有最小值2（1）根据上述内容，回答下列问题：若0，只有当=_时，_（2）【探索应用】如图，已知A（3，0），B（0，4），P为双曲线有最小值（0）上的任意一点，过点P作

13、PCx轴于点C，PDy轴于点D求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状【答案】（1）1；2（2）解：设P（x，），则C（x，0），D（0，），CA=x+3，BD=+4，S四边形ABCDCABD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12x0，0，x+2=6，只有当x=，即x=3时，等号成立，S26+12=24，四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，四边形ABCD是菱形【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+2，且当m=时等号，当m=1时，m+2，即当m=1时，m+有最小值2故答案为：1，

14、2；【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出P,C,D三点的坐标，进而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。7如图，已知A（3，m），B（2，3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点（1）求

15、直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得OBC的面积等于OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y=，把B（2，3）代入，可得k=2（3）=6，反比例函数解析式为y=；把A（3，m）代入y=，可得3m=6，即m=2，A（3，2），设直线AB的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（2，3）代入，可得，解得，直线AB的解析式为y=x1（2）解：由题可得，当x满足：x2或0x3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C如图所

16、示，延长AO交双曲线于点C1，AO=CO，OBC的面积等于OAB的面积，OBC的面积等于OAB的面积，点A与点C关于原点对称，111此时，点C1的坐标为（3，2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，OBC2的面积等于OBC1的面积，2由B（2，3）可得OB的解析式为y=x，可设直线C1C2的解析式为y=x+b，把C1（3，2）代入，可得2=（3）+b，直线CC的解析式为y=x+，解得b=，12解方程组，可得C2（）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则OBC3的面积等于OBA的面积，设直线AC3的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=x，把A（3，2）代入，可得2=3

17、+解得=，3，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（3，2），（）【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。8如图，正方形AOCB的边长为4，

18、反比例函数y=（k0，且k为常数）的图象过点E，且AOE=3SOBE（1）求k的值；（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y=x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y=（x0）的图象于点N，求N点坐标【答案】（1）解：AOE=3SOBE，AE=3BE，AE=3，E（3，4）反比例函数y=（k0，且k为常数）的图象过点E，4=，即k=12（2）解：正方形AOCB的边长为4，点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4点D在反比例函数的图象上，点D的纵坐标为3，即D（4，3）点D在直线y=x+b上，3=（4）+b，解得b=5直线DF为y=将y=4代入y=x+5，x+5，得4=x+5，解得

19、x=2点F的坐标为（2，4），设直线OF的解析式为y=mx，代入F的坐标得，4=2m，解得m=2，直线OF的解析式为y=2x，解N（，得，2）【解析】【分析】（1）根据题意求得E的坐标，把点E（3，4）代入利用待定系数法即可求出k的值；（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标，然后根据待定系数法求得直线OF的解析式，然后联立方程解方程组即可求得9如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴

20、于点C，点A（数y=的图象上，1）在反比例函（1）求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得AOP=AOB，求点P的坐标；（3）若将BOA绕点B按逆时针方向旋转60BDE直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上【答案】（1）解：点A（k=1=，1）在反比例函数y=的图象上，反比例函数表达式为y=.（2）解：A（，1），ABx轴于点C，OC=，AC=1，OAOB，OCAB，A=COB，AOB=4=2，=AOB=，tanA=tanCOB=，OC2=ACBC，即BC=3，AB=4，AOP设点P的坐标为（m，0），|m|1=，解得|m|=2，P是x轴的负半轴上的点

21、，m=2，点P的坐标为（2，0）（3）解：由（2）可知tanCOB=，COB=60，ABO=30，将BOA绕点B按逆时针方向旋转60BDE，OBD=60，ABD=90，BDx轴，在AOB中，AB=4，ABO=30，AO=DE=2，OB=DB=2，且BC=3，OC=，OD=DBOC=，BCDE=1，E（，1），（1）=，点E在该反比例函数图象上【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得A=COB，利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC，可求得BC的长，可求AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件

22、可求得ABD=90，则BDx轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可10如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为（0180）.（1）当直线l与直线y=x+平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，求线段AC的长；直接写出旋转角的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当ABDACD、BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线yb，直线l经过点C（1，0），x平行时，设直线l的解析式为yx0bb，

23、直线l的解析式为yx（2）解：对于直线yx，令x0得y，令y0得x1，A（0，），B（1，0），C（1，0），AC，如图1中，作CEOA，ACEOAC，tanOAC，OAC30，ACE30，30（3）解：如图2中，当15时，CEOD，ODC15，OAC30，ACDADC15，ADACAB，ADBADC是等腰三角形，OD垂直平分BC，DBDC，DBC是等腰三角形；当60时，易知DACDCA30，DADCDB，ABDACDBCD均为等腰三角形；当105时，易知ABDADBADCACD75，DBCDCB15，ABDACDBCD均为等腰三角形；当150时，易知BDC是等边三角形，ABBDDCAC，AB

24、DACDBCD均为等腰三角形，综上所述：当15或60或105或150ABDACDBCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为yxb，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；如图1中，由.CEOA，推出ACEOAC，由tanOAC，推出OAC30，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可11已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P

25、的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）；（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x24x+3），则点H（x，x+3），则SPBCPHOB（x+3x2+4x3）（x2+3x），0，故SPBC有最大值，此时x，故点P（，）；（3）解：存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为

26、30的直线CH，过点A作AHCH，垂足为H，则HQCQ，Q+QC最小值AQ+HQAH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：yx+3则直线AH所在表达式中的k值为，则直线AH的表达式为：yx+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y联立并解得：xx+，故点H（，），而点A（1，0），则AH，即：AQ+QC的最小值为.【解析】【分析】（1）将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标.（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x，x24x+3），则点H（x，x+3），求出x的值即可.（3）存在，过点C作与y轴夹角为30的

27、直线CH，过点A作AHCH，垂足为H，则HQCQ，Q+QC最小值AQ+HQAH，求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.12如图，已知一次函数y=x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N.当N与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、QAPQCDE相似时，求点P的坐标.【答案】（1）解：当x=0时，y=4，A（0，4），OA=4，当y=0时，-x+4=0，x=3，B（3，0），OB=3，由勾股定理得：AB=5（2）解：如图1，过N作NHy轴于H，过M作MEy轴于E，tanOAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，M（3x，-4x+4），由旋转得：AM=AN，MAN=90，EAM+HAN=90，EAM+AME=90，HAN=AME，AHN=AEM=90，AHNMEA，AH=EM=3x，N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NGx轴，NG=OH，则5x=3x+4，2x=4，x=2，M（6，-4）；如图2，由知N（8，10），AN=DN，A（0，4），D（16，16），设直线