带电粒子在匀强磁场中的运动12道经典例题精编版

1、3.5 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动 温故知新温故知新 判断下图中带电粒子（电量判断下图中带电粒子（电量 q，重力不计）所受洛，重力不计）所受洛伦兹力的大小和方向：伦兹力的大小和方向： - v B B v + F 图1 图2 1、匀速直线运动、匀速直线运动 2、匀速圆周运动、匀速圆周运动 3）粒子运动方向与磁场有一夹）粒子运动方向与磁场有一夹角（大于角（大于0小于小于90）轨迹）轨迹为螺线为螺线 图3 带电粒子做圆周运动的分析方法带电粒子做圆周运动的分析方法 一、圆心的确定一、圆心的确定 1.已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出射点分别作垂直与入射方向和出射方向的

2、直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心 O v M P v0 0 2.已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两 条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 O M P v 二、半径的确定和计算二、半径的确定和计算 利用平面几何的关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点： 粒子速度的偏向角等与圆心角，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）的倍即 =2=t 相对的弦切角 相等，与相邻的弦切角互补， O ( (偏向角）偏向角） v 即 v 三、运动时间的确定三、运动时间的确定 利用偏转角（即圆心角）与弦切角的关系，或者利用四边形的内

3、角和为 360，计算出圆心角 的大小,由公式 t?360?T 可求出粒子在磁场中运动的时间 . 一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定 例例1.如图所示，一束电子（电荷量为如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度）以速度v垂直射入磁感垂直射入磁感应强度为应强度为B、宽度为、宽度为d的匀强磁场中的匀强磁场中.穿过磁场时速度方向与电穿过磁场时速度方向与电子原来射入方向的夹角是子原来射入方向的夹角是30，则电子的质量为，则电子的质量为 ，穿过磁，穿过磁场的时间是场的时间是 . 分析：分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方本

4、题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径. 解解：因为速度方向改变：因为速度方向改变30，因此此段轨迹所对应的圆，因此此段轨迹所对应的圆心角为心角为30，如图所示，由几何关系可得：，如图所示，由几何关系可得： 半径半径 R=2d mv 再由半径公式再由半径公式 R=eB2deB 可以求出电子的质量可以求出电子的质量 m=v d= T 穿过磁场的时间穿过磁场的时间 t = . 2 3vd2deB 【答案答案】 v3v 【点评点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本

5、题的第二个关键点. 二、单边界问题二、单边界问题 例例2.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成角，则正负粒子在磁场中（角，则正负粒子在磁场中（ ） A.运动时间相同运动时间相同 B.运动轨迹的半径相同运动轨迹的半径相同 C.重新回到边界时的速度相同重新回到边界时的速度相同 D.重新回到边界时与重新回到边界时与O点的距离相等点的距离相等

6、解析：解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示示. (2 -2 )m2 m由此可知它们的运动时间分别为由此可知它们的运动时间分别为 t1=、t 2=BqBqmv；轨迹；轨迹R=半径半径 相等；射出速度方向都与边界成相等；射出速度方向都与边界成角；射出点与角；射出点与O点距离相等，为：点距离相等，为：d=2Rsin .故选项故选项B、C、D正确正确. Bq 方法概述方法概述 1： 带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型带电粒子垂直射

7、入单边界的匀强磁场中，可分两类模型分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的速率沿不同方向射入速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：无论哪类模型，都遵守以下规律： （1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线的交点确定圆心的位置线的交点确定圆心的位置. 角角. （2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹 三、双边界问题三、双边界问题 例例3.如图所示，宽度为如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为的有界

8、匀强磁场，其磁感应强度为B，MM和和NN是它的两条边界线是它的两条边界线.现有质量为现有质量为m、电荷量为电荷量为q的带的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界界NN射出，则粒子入射速率射出，则粒子入射速率v的最大值是（的最大值是（ ） A. qBdm 2+ 2 qBd?B. m C. qBd2m D. ?2- 2?qBdm 【解析】解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨迹与迹与NN相切时，粒子入射速率相切时，粒子入射速率v最大最大. 设此时轨迹半径为设此时轨迹半径为R，则有：

9、，则有： R+Rcos 45=d，解得：，解得： R =?2- 2?dmv2- 2 qBdR= 将上式代入将上式代入 Bq ，得：，得：v = . m? 【答案答案】D 【点评点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小. 方法概述方法概述2 2： 1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：与另一边界相切时轨迹的作图步骤： （1）作入射方向的延长线与）作入射方向的延长线与MN交于交于B点点. （2）过入射点作入射方向的垂线）过入射点作入射方向的垂线. （3）分别作）分别作ABN和和ABM的角的角平分线，两角平分线与入射方向的平分线，两角平分线与入射

10、方向的垂线的交点为垂线的交点为O1和和O2. （4）O1、O2分别为正负电荷临界分别为正负电荷临界偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射点可作出两临界轨迹，如图所示点可作出两临界轨迹，如图所示. d 2.与另一边界相切轨迹的半径与另一边界相切轨迹的半径 R=1?cos 四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题 例例4.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来实现的实现的.电子束经过电压为电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示磁场区，如图所示.

11、磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为半径为r.当不加磁场时，电子束将通过当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心M点点.为了让电子束射到屏幕边缘为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子点处需要加磁场，使电子束偏转一已知角度束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？应为多少？ 【解析解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心运动，圆心为为C，半径为，半径为R.以以v表示电子进入磁场时的速度，表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表分别表示电子的质量和电荷量，则：

12、示电子的质量和电荷量，则： eU=1mv2，evB =mv 又有又有 2rtan=2R2R1 2mU B = . tan由以上各式解得：由以上各式解得：re21 2mUtanre2 【答案答案】 【点评点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，利用几何知识及三角函数求出半径. 易犯的错误有：认为轨迹半径就是磁场的半径. 不能画出轨迹的示意图. 迹半径的关系. 不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度与轨-2m的圆形区域内有一匀强磁场，的圆形区域内有一匀强磁场，例例5.在真空中半径在真空中半径 r =310 不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度与轨磁场的磁感应强度磁场的磁感应强度B=0

13、.2 T，方向如图所示，一个带正电的，方向如图所示，一个带正电的迹半径的关系. 6粒子以粒子以v0=110 m/s的初速度从磁场边界上的的初速度从磁场边界上的a点沿直径点沿直径abq8= 1?10 C/kg 射入磁场，已知该粒子的比荷射入磁场，已知该粒子的比荷 例例5 5 图图55-1155-11甲在真空中半径甲在真空中半径 m m的圆形区域内的圆形区域内. ，不计粒子重力，不计粒子重力m（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径. 有一匀强磁场，磁场的磁感应强度有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B B=0.2 =0.2 T T，方向如图，方向如图55-1155-

14、11（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒甲所示，一个带正电的粒子以甲所示，一个带正电的粒子以v0v0=1=1106 106 m/sm/s的初速度从磁的初速度从磁子的方向应如何（用子的方向应如何（用v0与与Oa的夹角的夹角表示）？最大偏转角多表示）？最大偏转角多场边界上的场边界上的a a点沿直径点沿直径abab射入磁场，已知该粒子的比射入磁场，已知该粒子的比 大？大？ ，不计粒子重力，不计粒子重力. . 荷荷 解：解：（1）设粒子做圆周运动的半径为）设粒子做圆周运动的半径为R，则：，则： mv0v01?106R=m=0.05m8Bq

15、Bq0.2?10m （2）当粒子的速率一定时）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一粒子在磁场中的轨迹半径一定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角最大最大. 由图可知，弦长的最大值为：由图可知，弦长的最大值为： ab=2 r=610-2m 设最大偏转角为设最大偏转角为max，此时初速度方向与，此时初速度方向与ab连线的夹连线的夹 角为角为，则：，则： maxr sin=2 得：得：max=74 3=R5 所以所以 =max2= 37?当粒子以与当粒子以与ab夹角为夹角为37斜向斜向 右上方入射时，粒子飞离磁场右上方入射时，

16、粒子飞离磁场 时有最大偏转角，最大值为时有最大偏转角，最大值为74. 【答案答案】（1）0.05m （2）与）与ab夹角为夹角为37斜向上斜向上74 【点评点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，有最大的偏转角. 方法概述方法概述3 3： 带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹力作用的运动轨迹有以下规律：力作用的运动轨迹有以下规律： 1 1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出. . 证明：如图所示，连接证明：如图所示，连

17、接OO和和OB. 因为因为AO=BO，OO为两三角形的公共边，为两三角形的公共边，AO=BO 所以所以AOOBOO 所以所以OBOB 即即OB为为 AB的切线，的切线， 电荷射出的方向得证电荷射出的方向得证. 2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长则轨迹的弧长RRBq最长，偏转角有最大值：最长，偏转角有最大值： =2arcsin=2arcsinrmv 五、带电粒子射入环形磁场区域问题五、带电粒子射入环形磁场区域问题 例例6.在受控热核聚变

18、装置中，聚变原料有极高的温度，因而在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的带电粒子将没有通常意义上的“容器容器”可装，而是由磁场约可装，而是由磁场约束使其在某个区域内运动束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个现按下面的简化条件来讨论这个问题：图中是一个内半径问题：图中是一个内半径R1=1.0 m、外半径、外半径R2=2.0 m的环状的环状区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核已知氦核q7的比荷的比荷 ，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度B=0.4 =4.8?10 C/kgmT，不计氦核的重力

19、，不计氦核的重力.设设O点为氦核源，它能沿半径方向射出点为氦核源，它能沿半径方向射出 各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度v vm m. . 解：解：设速率为设速率为vm的氦核运的氦核运 动至外边缘时恰好与边界相切而返动至外边缘时恰好与边界相切而返 回，其轨迹如图所示回，其轨迹如图所示. 设设BOA=，由几何关系有：，由几何关系有： R3=R1tan R1 R 3=R2-cos 联立解得：联立解得： R22-R12R3=0.75 m2R2又因为氦核运动轨迹的半径又因为氦核运动轨迹的半径 解得：解得：vm=1.44107 m/s. 点评

20、点评：和前面各题型一样，求解粒子在环形区域的偏转半径，关键在于找出它与区域圆半径及各夹角之间的几何关系. 带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分 以下两种情形总结规律：以下两种情形总结规律： （1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为： 22 Bq(R -R )21 vm=2R2m （2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为：）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为： R2-R1Bq(R-R )2 1（即此时轨迹半径（即此时轨迹半径 r= ）. v = m22m 方法概述方法概述4 4

21、例例7.如图所示如图所示,在在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为度为B的匀强磁场的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处处以速度以速度v进入磁场进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与与x轴正方向成轴正方向成120角角,若粒子穿过若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负是则该粒子的比荷和所带电荷的正负是( ) 3v A. ,正电荷正电荷 2aBB. v ,正电荷正电荷 2aBC. 3v 2aB

22、D. v 2aB,负电荷负电荷 ,负电荷负电荷 【解析解析】带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示.根据左手定根据左手定则可知粒子带负电荷则可知粒子带负电荷. a-R由图可知：由图可知：sin 30 ? = ， R2可得可得 R = a32q3vmv又由又由 qvB = 得得 = ， Rm2aB 故选项故选项C正确正确. 【答案答案】C 六、有关临界问题的求解六、有关临界问题的求解 例8.质量为0.1 g的小物块，带有5104 C的电荷量，放在倾角为30的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于0.5 T的匀强磁场中，磁场方向如图所示，物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，物块

23、开始离开斜面(设斜面足够长，g10 m/s2)，问： (1)物块带电性质？ (2)物块离开斜面时的速度为多少？ (3)物块在斜面上滑行的最大距离是多少？ 解：(1)由左手定则可知物块带负电荷 (2)当物块离开斜面时，物块对斜面压力为0，受力如图所示，则：qvBmg cos300，解得v3.46 m/s. (3)由动能定理得：mgsin30L mv2，解得物块在斜面上滑行的最大距离L1.2 m. 七、带电体在洛伦兹力作用下的直线运动七、带电体在洛伦兹力作用下的直线运动 例9.如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁场方向垂直，与电场成

24、45角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小 解：假设粒子带负电，则所受电场力方向水平向左，洛伦兹力方向斜向右下方与v垂直，可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带正电荷，受力情况如图所示 根据合外力为零可得 mgqvBsin45 qEqvBcos45 由式可得 思维总结： 在电场、磁场中电荷的受力方向都与电荷的正负有关，一定要明确是正电荷受力，还是负电荷受力；另外，分析带电粒子的受力情况时，不要丢掉重力受力分析后，根据运动状态，列平衡方程或牛顿第二定律方程求解 例10.如图所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸

25、里，磁感应强度为B.一带负电的粒子（质量为 m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为.求： （1）该粒子射出磁场的位置； （2）该粒子在磁场中运动的时间 .（所受重力不计） 例例11.长为长为l 的水平极板间有如图所示的匀的水平极板间有如图所示的匀强磁场，磁感强度为强磁场，磁感强度为B，板间距离也为，板间距离也为l 。现有一质量为现有一质量为 m 、带电量为、带电量为 +q 的粒子从的粒子从左边板间中点处沿垂直于磁场的方向以速左边板间中点处沿垂直于磁场的方向以速度度 v0射入磁场，不计重力。要想使粒子射入磁场，不计重力。要想使粒子不不打在极板上，则粒子进入磁场时的速度打在极板上，则粒子进入磁场时的速度v0 应满足什么条件应满足什么条件? a v c b l d l 解：若刚好从解：若刚好从a 点射出，如图：点射出，如图： O R- l /2 R 若刚好从若刚好从b 点射出，如图：点射出，如图： a 2 2 2 R = l + ( R- l/2)r=mv1/qB= l/4 有有 v1=qBl /4m b l d R= 5 l /4=