高等数学课件：7 空间曲线的曲率和挠率

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1空间曲线的曲率空间曲线的曲率弧微分公式弧微分公式曲率的概念与曲率的计算曲率的概念与曲率的计算曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy弧长元素(弧微分) :xyd1222)(d)(ddyxs一、一、弧微分公式弧微分公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :tttd)()(2222)(d)(ddyxs注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)2007年8月南京航空航天大

2、学 理学院 数学系4曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大, 转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短, 弯曲程度越大弯曲程度越大1. 曲率的定义曲率的定义1 )注注: :曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比, ,与弧长成反比与弧长成反比. .二、曲率概念及其计算公式二、曲率概念及其计算公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5) S ) .M .MCyxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲

3、线C是光滑的，是光滑的，, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系72.曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany

4、,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds .dsdK 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8,)()(),(),(二阶可导二阶可导，设曲线方程为设曲线方程为tttytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9例例. .?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物

5、线的顶点又又aacbab .最最大大抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10例例: 。处的曲率处的曲率在顶点在顶点求摆线求摆线)0()cos1()sin(attayttax解：解：2sin1)cos1sin(1()1(,cos1sin32/322/32tttytty 2sin41)1(,2sin1412/324tayyKtay 代入公式代入公式.41aKt 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点

6、称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系121.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注注: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越

7、大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14空间曲线的曲率空间

8、曲线的曲率 运用微分学的理论运用微分学的理论, 研究曲线和曲面研究曲线和曲面的性质的数学分支的性质的数学分支微分几何学微分几何学.预备知识预备知识1. 弧微分公式与弧长计算公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15(1) 平面曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy弧长元素(弧微分) :xyd1222)(d)(ddyxs弧微分公式弧微分公式因此所求弧长xysbad12xxfbad)(122007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16解解12,yx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17(2

9、) 平面曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :tttd)()(2222)(d)(ddyxs注:可将上述公式推广到空间的情形因此所求弧长tttsd)()(222007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18tayttaxcos1sin例例2 求旋轮线求旋轮线一拱的弧长。一拱的弧长。20toa2解解 由公式得由公式得dttatal2022)sin()cos1 (dtta20cos12dtta202sin2.8a2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19推广推广: 空间曲线弧空间曲线弧. (p.107)().(),(),(: ttztytx222( )( )(

10、) ()sdsttt dt弧长元素(弧微分) :222( )( )( )dtttt222d(d )(d )(d )sxyz(p.109) 例 6.5, (p.119) 5因此所求弧长2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20预备知识预备知识2. 空间曲线参数方程与一元向量值函数空间曲线弧空间曲线弧. (p.101):( ),( ),( ).()xtytztt 可看作是从区间可看作是从区间 到到 的一元向量值函数的一元向量值函数, 3R ( ( ),( ),( )rr tttt ( ( ),( ),( )rr tttt ( ),( ),( )rr ttttt 称为一般参数称为一般参数切向

11、量切向量 : 切线的方向向量切线的方向向量T 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21用向量的语言来表示弧微分与弧长计算公式弧长元素(弧微分) : 222( )( )( )ddttttr tt222d(d )(d )(d )sxyz ( ( ),( ),( )rr tttt(p.107) 222( )( )( ) () =sdsttt dtr t dt因此所求弧长2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意

12、点动画开始或暂停2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系231. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为

13、 0 .M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 o)(trT2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25预备知识预备知识3. 空间曲线的一般参数与自然参数 (p.109-110)空间曲线弧空间曲线弧:( ),( ),( ).()xtytztt 可看作是从区间可看作是从区间 到到 的一元向量值函数的一元向量值函数, 3R ( ( ),( ),( )rr ttttt 称为一般参数称为一般参数弧长元素(弧微分) : 222d( )( )( )ddsttttr tt2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26 222d( )( )( )dstttr t

14、t 说明弧长s与一般参数t之间具有某种联系,s可以看作t的函数 ,t也可以看作s的函数 ,它们互为反函数. 利用复合的思想,可得 s t t s ( (),(),()(,)rr st st st sx sy sz s以弧长s作为参数的空间曲线方程,s称为自然参数.( )(,)drdxdy dzr sdsdsds ds切向量切向量 : 切线的方向向量切线的方向向量T 22222222( )(,)d rd xd y d zrsdsdsdsds2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27以弧长s作为参数的优点 (p. 110)( )(,)drdxdy dzr sdsdsds ds切向量切向量

15、: 切线的方向向量切线的方向向量T 222( )1dxdydzr sdsdsds利用弧微分公式可得 说明: 选用弧长作为参数后,空间曲线在任意一点处的切向量均为单位向量.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大, 转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短, 弯曲程度越大弯曲程度越大1. 曲率的定义曲率的定义1 )注注: :曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比, ,与弧长成反比

16、与弧长成反比. .曲率概念及其计算公式曲率概念及其计算公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29S M .MC.MMKs弧段的平均曲率为（设曲线设曲线C以弧长以弧长s作为参数作为参数, sMM （.MM切线转角为定义定义0limsKs 曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率下面探讨曲率与切向量的下面探讨曲率与切向量的 的关系的关系( )(,)drdxdy dzTr sdsdsds ds 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30以弧长s作为参数的优点: (p. 110) 选用弧长作为参数后,空间曲线在任意一点处的切向量均为单位向量.因此可由引理(p. 126)得0lim1sT

17、 定理7.1 (p. 127) 选用弧长作为参数后,空间曲线在任意一点处的曲率为 rr s( )( )T ss r 说明:选用弧长作为参数后,空间曲线在任意一点处的曲率为 的二阶导数的模,或单位切向量的导数的模,理解为切线方向对弧长的转动率. r s2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31 通常情况下, 所给的空间曲线为一般参数方程形式 ( ( ),( ),( )rr tttt 因此要将弧长参数的曲率计算公式转化为一般参数的曲率计算公式 引理 (p. 99, 习题5.5, 题4) 空间曲线( )1( )( )r sr srs 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32 利用上述引理,可得如下计算公式 推论 (p. 127) 选用一般参数后,空间曲线 在任意一点处的曲率为 rr t3( )( )( )tttrrr 例 7.4 (p. 129) 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33空间一般参数曲线：空间一般参数曲线：3( )( )( )tttrrr平面曲线平面曲线 ：3/222 ( )( )x yy xxy( ( ), ( ),0)x ty tr平面曲线平面曲线 ：( , ( ),0)x y xr3/221( )yy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34例例. .?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛