对磁场中双杆模型问题的解析(精)

1、对磁场中双杆模型问题的解析（精）对磁场中双杆模型问题的解析南京市秦淮中学 汪忠兵 研究两根平行导体杆沿导轨垂直磁场方向 运动是力电知识综合运用问题， 是电磁感应部分 的非常典型的习题类型， 因处理这类问题涉及到 力学和电学的知识点较多， 综合性较强， 所以是 学生练习的一个难点， 下面就这类问题的解法举 例分析。在电磁感应中，有三类重要的导轨问题： 1发电式导轨； 2电动式导轨； 3双动式导 轨。导轨问题，不仅涉及到电磁学的基本规律， 还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方 面的知识，以及临界问题，极值问题。尤其是双 动式导轨问题要求学生要有较高的动态分析能 力电磁感应中的双动式导轨问题其

2、实已经包 含有了电动式和发电式导轨， 由于这类问题中物 理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多， 关键是能抓住状态变化过程中变量 “变”的特点 和规律，从而确定最终的稳定状态是解题的关 键，求解时注意从动量、能量的观点出发，运用 相应的规律进行分析和解答。双杆一、在竖直导轨 上的 滑动”问题1.等间距型如图 1 所示，竖直放置的两光滑平 行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁 场中，两根质量相同的金属棒 a 和 b 和 导轨紧密接触且可自由滑动， 先固定 a，释放 b， 当 b 速度达到 10m/s 时，再释放 a，经 1s 时间 a 的速度达到 12m/s，则：A、当 va=12m/s 时，

3、vb=18m/sB、当 va=12m/s 时， vb=22m/sC、若导轨很长，它们最终速度必相同D、它们最终速度不相同，但速度差恒定【解析】因先释放 b，后释放 a，所以 a、b 一开 始速度是不相等的， 而且 b 的速度要大于 a的速 度，这就使 a、b 和导轨所围的线框面积增大， 使穿过这个线圈的磁通量发生变化， 使线圈中有 感应电流产生， 利用楞次定律和安培定则判断所 围线框中的感应电流的方向如图所示。 再用左手 定则判断两杆所受的安培力， 对两杆进行受力分 析如图 1。开始两者的速度都增大，因安培力作 用使 a 的速度增大的快， b 的速度增大的慢，线 圈所围的面积越来越小， 在线圈

4、中产生了感应电 流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生， 此时的安培力也为零， 所以最终它们以相同的速 度都在重力作用下向下做加速度为 g 的匀加速 直线运动。在释放 a 后的 1s 内对 a、b 使用动量定理， 这里安培力是个变力， 但两杆所受安培力总是大 小相等、方向相反的，设在 1s 内它的冲量大小 都为 I ，选向下的方向为正方向。 当 棒先向下运动时，在 和 以及导轨所组成的 闭合回路中产生感应电流，于是 棒受到向下的 安培力， 棒受到向上的安培力，且二者大小相 等。释放 棒后，经过时间 t，分别以 和 为研究 对象，根据动量定理，则有：对 a 有： ( mg + I ) t =&

5、#183; m va0, 对 b 有： ( mg I ) t· = m vbm vb0 联立二式解得： vb = 18 m/s，正确答案为： A、 C。在 、 棒向下运动的过程中， 棒产生的加速度 ， 棒产生的加速度 。当 棒 的速度与 棒接近时，闭合回路中的 逐渐减 小，感应电流也逐渐减小， 则安培力也逐渐减 小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为 g 的匀加速运动。2. 不 等间距型图中 a1b1c1d1和 a2b2c2d2 为在同一竖直平面内的金 属导轨， 处在磁感应强度为 B的匀强磁场中， 磁 场方向垂直导轨所在的平面 （纸面） 向里。导轨的 a1b1段与 a2b2段是竖直

6、的距离为小 l1，c1d1段与 c2d2段 也是竖直的，距离为 l2。 x1y1与 x2y2为两根用不可伸 长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m1 和 m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。 两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R。 F 为作用 于金属杆 x1y1上的竖直向上的恒力。 已知两杆运动 到图示位置时， 已匀速向上运动， 求此时作用于 两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功 率。 （04 全国 2）5- 2【解析】 设杆向上运动的速度为 v，因杆的运动， 两杆与导轨构成的回路的面积减少， 从而磁通量 也减少。 由法拉第电磁感应定律， 回路中的感应 电动势的大小E B(l2

7、l1)v回路中的电流 电流沿顺时针方向。 两金属杆都要受到安培力作 用，作用于杆 x1y1的安培力为f1 Bl1I方向向上，作用于杆 x2y2 的安培力f2 Bl2I方向向下。 当杆作匀速运动时， 根据牛顿第二 定律有F m1g m2g f1 f2 0 解以上各式，得F (m1 m2)gB(l2 l1)F (m1 m2)g22B2(l2 l1)2作用于两杆的重力的功率的大小P (m1 m2)gv电阻上的热功率Q I 2R由、F (m1 m2)g22B2(l2 l1)2R(m1式，可得m2)g92F (m1 m2)g RB(l2 l1) R二、在水平导轨 上的“双杆 滑动”问题一、等间距水平导轨

8、， 无水平外力作用(安培力除外)够长的固定的平行金属导轨位 于同一水平面内，两导轨间的距 离为 l ，导轨上面横放着两根导体 棒 ab 和 cd ，构成矩形回路， 如图2 所示，两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R ， 回路中其余电阻不计， 整个导轨平面内都有竖直 21向上的匀强磁场，磁感应强度为 B，设两导体棒 均可沿导轨无摩擦的滑行，开始时棒 cd 静止， 棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0, 若两导体棒在运 动中始终不接触，求：1、运动中产生焦耳热最多是多少？2、当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd 棒的加速度是多少？【解析】 ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨

9、构成 的回路的面积变小，穿过它的磁 通量也变小，在回路中产生了感 应电流，用楞次定律和安培定则 判断其方向如图 3 所示，又由左手定则可判断 ab 棒受到的与运动方向相反的安培力作用，作 减速运动， cd 棒受到安培力作用作加速运动， 在 ab 棒速度大于 cd 棒的速度时，两棒间的距离 总会减小，回路中总有感应电流， ab 会继续减 速， cd 会继续加速，当两棒的速度相等时，回 路的面积保持不变， 磁通量不变化， 不产生感应 电流，两棒此时不受安培力作用， 以相同的速度 向右作匀速直线运动。1、从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统受外力之和为零， 系统的总动量 守恒，有： mv

10、0 = 2mv，所以最终作匀速直线运 动的速度为： v = v0 /21）两棒的速度达到相等前， 两棒机械能不断转 化为回路的电能， 最终电能又转化为内能。 两棒 速度相等后， 两棒的机械能不变化， 根据能量守 恒定律得整个过程中产生的焦耳最多时是两棒 速度相等时，而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能：1 2 1 2 1 2 Qmv0(2m)vmv02 0 2 4 02、设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4时，cd 棒的速度为 v' ，又由动量守恒定律得：3'mv0 m v0 mv 0 4 0因 ab 和 cd 切割磁感线产生的感应电动势方向相反，所以此时回路中的感应电动势

11、为：E Eab Ecd Bl 43v0 Blv' （2）由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为： I 2ER （3）此时 cd 棒所受的安培力为：F = BI l ，联立解得加速度为：Bl 2v04mR、不等间距水平导轨， 无水平外力作用 (安培力除外)如图所示， 光滑导轨 、 等高平行放置，间宽度为 间宽度的 3 倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。 、是质量均为 的金属棒，现让 从离水平轨道高处由静止下滑， 设导轨足够长。 试求： (1) 、棒的最终速度； (2) 全过程中感应电流产生的焦耳热。【解析】 下滑进入磁场后切割磁感线， 在 电 路中产生感应

12、电流， 、 各受不同的磁场力作 用而分别作变减速、 变加速运动， 电路中感应电 流逐渐减小，当感应电流为零时， 、 不再受 磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。(1) 自由下滑，机械能守恒： 由于 、 串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 ，故它们的磁场力为： 在磁场力作用下， 、 各作变速运动，产生 的感应电动势方向相反，当 时，电路中感 应电流为零 ( ) ，安培力为零， 、 运动趋于 稳定，此时有：所以 、 受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：联立以上各式解得： ，(2) 根据系统的总能量守恒可得：三、等间距水平导轨，受水平外力作用(安培力除外)两根平行的

13、金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 ，两根质量均为 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动， 滑动过程中与导轨保持垂直， 每根金属杆的电阻为 。在 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为 0.20N 的恒力 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。 经过 ，金属杆甲的加速度为 ，求此时两金属杆的速度各为多少？【解析】 设任一时刻 两金属杆甲、乙之间的距 离为 ，速度分别为 和 ，经过很短时间 ，杆 甲移动距离 ，杆乙移动距离 ，回路面积 改变由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：回路中的电流：杆甲的运

14、动方程：由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相 等、方向相反， 所以两杆的动量变化 （ 时为 0） 等于外力 F 的冲量：联立以上各式解得代入数据得 8.15m/s1.85m/s三、绳连的“双杆滑动”问题两金属杆 ab 和 cd 长均为 l ，电 阻均为 R，质量分别为 M 和 m， M>m ，用两根质量和电阻均可忽略 的不可伸长的柔软导线将它们连成 闭合回路，并悬挂在水平光滑不导 电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图 4 所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强 磁场中，磁感强度为 B，若金属杆 ab 正好匀速向下运动，求运动速度。【解析】 设磁场垂直纸面向里， ab 杆匀速向下

15、 运动时， cd 杆匀速向上运动，这时两杆切割磁 感线运动产生同方向的感应电动势和电流， 两棒 都受到与运动方向相反的安培力，如图 5 所示， 速度越大，电流越大，安培力也越大，最后 ab 和 cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。 回路中的感应电动势： E E1 E2 2Blv回路中的电流为：E BlvI2R Rab 受安培力向上， cd 受安培力向下，大小都为：F BIl22B l v设软导线对两杆的拉力为 T ，由力的 平衡条件：对 ab 有：T + F = Mg对 cd 有：T = mg10F所以有：2B2l 2vR(Mm)g ，解得：(M m)gR222B2l2小结：从以上的分析可以看

16、出处理“双杆滑动” 问题要注意以下几点：1、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时， 要注意是同向还是反向， 可以根据切割磁感线产 生的感应电流的方向来确定， 若同向， 回路的电 动势是二者相加，反之二者相减。一般地，两杆 向同一方向移动切割磁感线运动时， 两杆中产生 的感应电动势是方向相反的， 向反方向移动切割 磁感线时，两杆中产生的感应电动势是方向相同 的，线圈中的感应电动势是“同向减，反向加” 。2、计算回路的电流时， 用闭合电路欧姆定律时， 电动势是回路的电动势， 不是一根导体中的电动 势，电阻是回路的电阻， 而不是一根导体的电阻。3、要对导体杆进行两种分析，一是正确的受力 分析，根据楞次定律可知安培力总是阻碍导体杆 的相对运动的。 也可先判断出感应电流方向， 再 用左手定则判断安培力的方向。 二是正确的进行 运动情况分析。这两步是正确选用物理规律基 础。4、合理选用物理规律，包括力的平衡条件、动 能定理、动量定理、机械能守恒定律、能量守恒 定律、欧姆定律、焦耳定律、楞次定律、法拉第 电磁感应定律等。 处理这类问题可以利用力的观 点进行分析， 也可以利用能的观点进行分析， 还 可以利用动量的观点进行分析。 在利用能的观点进行分析时， 要注意导体克服安 培力作功的过程是把其它形