六年级奥林匹克数学讲义三 新定义与新运算（一） 试题

1、三、新定义与新运算（一） 1.规定ab =,则2(53)之值为 .2.规定“”为一种运算,对任意两数a,b,有ab,若6x,则x= .3.设a,b,c,d是自然数,定义.则 3, 4, 1, 2 . 4.a表示自然数a的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成4=3.计算:= . 5.规定新运算:ab=3a-2b.若x(41)=7,则x= . 6.两个整数a和b,a除以b的余数记为ab.例如,135=3,513=5,124=0.根据这样定义的运算,(269)4= .7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x= .8.规定:62=6+66=72,23=2+22+222=246,14=

2、1+11+111+1111=1234.75= . 9.规定:符号“”为选择两数中较大数,“”为选择两数中较小数.例如:35=5,35=3.那么,(73)5×5(37)= . 10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,则计算结束时,a与b的和是 . 11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算如下: (a,b)(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算如下: (a,b)(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计算(1,2) (3,6)(5,

3、4)(1,3). 12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号表示羊羊=羊;羊狼=狼;狼羊=狼;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了. 小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示为羊羊=羊;羊狼=羊;狼羊=羊;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了. 对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果: 羊(狼羊)羊(狼狼). 13.表示成; 表示成.

4、试求下列的值: (1) ; (2); (3); (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求19912000,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x. 三、新定义与新运算（一）(答案）第1道题答案： .53=, 2(53)=2.第2道题答案： 8.依题意,6,因此,所以x=8.第3道题答案： 280. 原式.第4道题答案： 5.因为有个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式.第5

5、道题答案： 9.因为41=,所以x(41)= x10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.第6道题答案： 0.,269=8,又,故(269)4=84=0.第7道题答案： 6.因为,所以,故.第8道题答案： 86415.75=7+77+777+7777+77777=86415.第9道题答案： 25.原式=35×57=5×5=25.第10道题答案： 14. 第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.第11道题答案： (1,2)(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)(6

6、,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).第12道题答案： 原式=羊羊羊狼=羊羊狼=羊狼=狼.第13道题答案： (1); (2); (3)因为,所以; (4)令则. .第14道题答案： (1)19912000=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x3(因为x应大于余数2),所以x=3或9. 2) x>11,这时

7、11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19. 方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14. 当y=7时,分两种情况解19x=7. 1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x8,所以x=12. 2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45. 当y=14时,分两种情况解19x=14. 1) x<19,这时x除19余14, x整除19-