k5开放性问题

1、知识就是力量知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有 仅供参考探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确 定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题.前者主要侧重于解题方法或策略的选择

2、和设计，后者主要是所给题目不完整，需要 解题者把题目补充完整，然后完成解答开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的 教育部在2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见中特别指出：数学考试“应设计一定结合情 境的问题和开放性问题”由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件， 使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立这两种情况所需补充的条件往往不惟一例1（ 1）如图7.1， ABC中，A

3、B=AC，D为AC边上的一点，要使 ABCBCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是 （只需填写一个你认为适当的条件即可）（2001年淄博市中考题）（2）如图7.2，在 ABC和厶FED中，AD=FC , AB=FE，当添加条 件： 时，就可得到 ABC FED （只需填写一个你认为正确的条件）.（2003年无锡市中考题）解：（1） BD=BC.（也可以是：/ ABC= / BDC ;或/ A= / DBC ;或 BC : CD=AC BC;或 BCf=AC?CD 中的某一个）（2）/ A=Z F.（或 BC=ED等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性第（1）小题中，我们只需给出能使

4、结论成立的一个答案即可y 2v 2例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,和，试y=4y =*写出符合要求的方程组 .（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x,又含y的一个二元一次方程和一个二元二次方程构造方程实际上就是寻找 x与y之间的关系解: y=2X，xy =8.说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A（2, 4）, B（-2 , -4 ）,则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）探索型问题一（开放性问题）1 （共8页）和一个二次函数的解析式

5、（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合一一一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一 个条件开放题，也是一个策略开放题.例3已知：如图7.3.1，四边形ABCD是O O的内接四边形，A是BD的中点，过 A点的切线与 CB的延长线交于点（1）求证:E.AB?DA=CDBE;（2）若点E在CB延长线上运动，点 A在BD上运动，使切线 EA变为割线EFA,其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图， 注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分

6、析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示（1）证明：连结 AC. / A是 BD 的中点， AB =AD , / ACB2 ACD./ EA切O O于 A./ EAB=/ ACB.又/ ABE=/ D,.A EABA ACD - AB： CD=EB AD AB?AD=CDBE.（2）解：如图7.3.2中，若有 EABA ACD则原结论成立，故我们 只需探求使 EABA ACD的条件.由于/ ABE=/ D,所以只要/ BAE=/ DAC即可，这只要 BF =CD即可. 所以本题只要BF =AD，原结论就成立.C图 7

7、.3.1AE-OB图 7.3.2D说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法一一分析法例4如图7.4, AB、AC分别是O O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE丄AB于点H,交O O于点E,交AC于点F, P为ED的延长线上一点.（1 ）当厶PCF满足什么条件时，PC与O O相切？为什么?（2 ）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD2=DE DF ?为什么?（2002年济南市中考题） 分析：（1 ）连OC.要使PC与O O相切，则只需/ PCO=90°即可.由/ OCA= / OAC，/ PFC= / AFH，即可寻找出 PCF所要满足的条件2A

8、D DF（2）要使AD =DE DF，即=，也就是要使 DAF DEA , DE AD这样问题就较容易解决了 .CDAH O图7.4B解：（1）当PC=PF （或/ PCF= / PFC,或厶PCF是等边三角形）时，PC与O O相切.连OC./ PC=PF, / PCF= / PFC, / PCO= / PCF+ / OCA= / PFC+ / OAC= / AFH+ / AHF=90 °, 探索型问题一（开放性问题）2 （共8页）知识就是力量 sinA=OF _ OBAO 5-OB图 7.5.1C PC与O O相切.（2）当点D是AC的中点时，AD 2=DE DF.连结 AE. /

9、 AD =CD，/ DAF= / DEA.又/ ADF= / EDADAF s DEA , AD DF 刚 2 ，即 AD =DE DF.DE AD说明：本题是探索性开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第小题中，若要PC与O O相切，则我们需要怎样的条件第小题也是如此、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论例5如图7.5.1，以等腰三角形 ABC的一腰AB为直径的O O交BC于D,过D作DEL AC于E,可得 结论DE是O O的切线.问：（1）若点0在AB上向点B移动，以0为圆心，0B长为半径的圆

10、 仍交BC于D, DEI AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由（2）如果 AB=AC=5cm, sinA= 3 ,那么圆心 0在AB的什么位置时，O 05与AC相切？（2001年黑龙江省中考题）分析：（1 ）连 0D. T 0B=0D0BD2 0DB2 C,. 0D/ AC,从而可得0DL DE结论仍然成立.（2）若O 0与AC相切，设切点为 F,连0F,则由Rt A0F中可求得 0F=X，即 0B=X.8 8解：(1)结论仍然成立.如图7.5.2，连 0D贝U OD=OB / OBDM ODB. 又 AB=AC B=ZODB=/ C, OD/ AC./ DEL AC, ODL

11、DE, DE是O 0的切线.（2）如图7.5.3 ,若AC与O 0切于点F ,连OF, 则OF丄AC即厶AOF是直角三角形，0B=即当0B4 时，O 0与AC相切.8说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题.第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用 方法.例6如图761 , O O的直径AB过半径 0A的中点G作弦CELAB,在CB上取一点D,分别作直线CD ED交直线 AB于点F、M.(1)求/ COA和/ FDM的度数;EF图 7.6.1CM（2）求证： FDMhA COM（3）如图7.6.2，若

12、将垂足 G改取为半径0B上任意A点，点D改取在EB上，仍作直线 CD ED分别交直线证明你的结论（2003年苏州市中考题）AB于点F、M.试判断：此时是否仍有厶 FDMhA COM(1)解：T AB是O O的直径，CELAB,. AC =CE , CG=EG.1 _ _ 1在 Rt COG, / OG=-OC, a/ OCG= 30 , a / COA= 60 .又/ CDE 的度数=-CAE 的度数=AC2 2的度数=/ COA=60 : a / FDM= 180 COA= 120 “(2) 证明：t/ COM= 180 _/ COA= 120 , a / COM= / FDM.在 Rt C

13、GM 和 Rt EGM 中，GM=GM , CG=EG ,a Rt CGM 也 Rt EGM ,a / GMC= / GME.又/ DMF= / GME , a / OMC= / DMF , FDM COM.(3) 解：结论仍然成立./ FDM= 180 -/ CDE ,a / CDE的度数=1 CAE的度数=AC的度数=/COAa / FDM=80 -/ COA= / COM./ AB 为直径，CEL AB，在 RtA CGM 和 Rt EGM 中，GM=GM , CG=EG ,a Rt CGM 也 Rt EGM ,a / GMC= / GME , FDM COM.说明：本题的第(3)小题是

14、在第(2)小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立.在探求时应寻着(2)的解题思路来进行.二、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）探索型问题一（开放性问题）5 （共8页）知识就是力量探索型问题一（开放性问题）# （共8页）知识就是力量:600-45 0，或 45°-30°,或 60°+45°-900 等

15、来得到A图7.8三个）(3)（2001年徐州市中考题）分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算” 150的角.解：如图所示.图7.7.1中就包含有两中构造方法, / ABD和/ ACD都等于 15 ;图 7.7.2 中，/ EFGW5 .请同学们试着拼出其它的图形说明：这类拼图组合，给出了一定的条件， 但解决问题的办法需要我们自己来寻找.通常解决这类问题的方法不惟一.用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到例8如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸

16、内（方 格为 1cmx 1cm）.（1） 不是正方形的菱形（一个）；（2） 不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）;（4 ）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力， 有利于充分发挥学生的想象力和创造力， 这对培养学生 的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（

17、每 个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1, 2, 3, 4,可以运算得（1 + 2+ 3）X 4= 24 （注意上述运算与 4X（ 1+ 2+ 3）应视作相同方法的运算） 现有四个有理数 3, 4, 6, 10,用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24,运算如下：（1） ； （2） ； （ 3） .另有四个有理数 3, 5,乙13,可通过运算式（4） ，使其结果等于24.（2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加.本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其探索型问题一（开放性问题）5 （共8页）实就是有理数的运算本题具有开放性，

18、答案是不唯一的解：(1)3X 4 +(6)+ 10 = 24;(2)4(6)十3X10= 24;( 3)(10-4) 3X( 6)=24.(4) ( 5)X( 13)+ 7 - 3= 24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性 四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题例10某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为 45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请将这道作业题补充完整，并列方程解答.(2001年吉林省中考题)分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们

19、可以考虑从时间上去把本题补完整解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x分钟，则40 一40 60二x , x=兰.35 45 丿21答：摩托车比运货汽车早到 40分钟21解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？设摩托车与运货汽车出发 x分钟后相遇，则(45+35)X上=40 , x=30.60答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需 色=8小时，摩托车走完全程需 40 小时，35745

20、9摩托车比运货汽车少用 8 _8小时.7 963.16109 门0,63 60126摩托车在运货汽车到达乙地前能追上解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x小时摩托车可追上运货汽车，则45x=40+35x，解得 x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.探索型问题一（开放性问题）9 （共8页）知识就是力量探索型问题一（开放性问题）# （共8页）知识就是力量一、填空题习题七1. （1 ）写出和为6的两个无理数 . （2003年绍兴市

21、中考题）（2）若关于x的方程x2+kx-12=0的两根均是整数，则 k的值可以是 .（只要求写出两个）（2001年浙江省中考题）2. 如图，在厶ABC中，以AB为直径的O O交BC于点D,连结AD,请你添加一个条件， 使厶ABDA ACD并说明全等的理由你添加的条件是. （2002年金华市中考题）二、解答题3做一做：用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）（2003年无锡市中考题）图14先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意

22、列出的方程为120 120 =1;x x 10（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际 （ 2001年青岛市中考题）5.同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等请你仿照方案（1）,写出方案（2）、（ 3 ）、（ 4） 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形方案（1）:若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等 （2000年广东省中考题）6. 如图，O O与O O完外切于点T, PT为其内公切线，AB为其外 公切线，A、B为切点，AB与TP相交于点P,根据图中所给出的已知条件 及线段，请写出一个正确结论，并加

23、以证明（ 2001年杭州市中考题）7. 如图，在 ABC中，点 D E分别在边 AB AC上，给出5个论断： CDL AB; BEL AC; AE=CE / ABE=30 CD=BE.（1）如果论断都成立，那么论断一定成立吗？答：;（2）从论断中选取 3个作为条件，将论断作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是（只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断作为结论，组 成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明（2003年徐州市中考题）AB=AE / ABC=/ AED BC=ED 点 F 是 CD的中点 求证：AFL CD 在你连接BE后，还能得出什么新的结

24、论？请写出三个（2002年江西省中考题）&如图,(1)(2)O第6题AE第7题C第8题探索型问题一（开放性问题）11 （共8页）知识就是力量NB（2001年广州市中考题）9已知在直角坐标系中，直线y - _ 3x 2 3与x轴、y轴分别交于点 A、点B,以AB为一边的等腰 ABC的底角为300，请在坐标系中画出 ABC并求出点C的坐标 （2000年北京市崇文区中考题）10.如图，已知直线 MN与以AB为直径的半圆相切于点 C,/ A=28 （1）求/ ACM的度数；（2） 在MN上是否存在点 D,使AB?CD=ACBC?为什么？参考答案:1. （ 1） .2 和 6- .2 （有无数多个）（2） 1,-1（或 4, -4 ;或 11, -11）2. 答案不唯一 添加的条件可以是： AB=AC ;/ B= / C;B