各种有趣的分形

1、各种有趣的分形作者:日期:各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什 么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学 概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等 的点的集合，等等。但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么？“这是山，没错, 山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象 山的东西。可是，山到底是什么？它既不是三角形，也不是球，我们甚至 不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈 的山的印象？分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让我们先来 熟悉几个典型的分形。分维

2、及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来 测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。 分形的主要几何特征是关于它 的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复 杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要 性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉 伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信 息载

3、体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为 ，在分 形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规 则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不 小于它的拓扑维，即Ddo维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个 .2 .、 .边长为1、面积为l的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面 一一 、. .一一 4积。如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用1去测这块面 积，结果就是零。这就表明，用n维的标准体l 11去测量一个几何对象， 只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。如果 nvd,就会得 到无穷大；如果n d,

4、则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。 由于分形的复杂性有多种不同类型 ，所以可以提出不同定义的分维概 念，从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一 条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长 度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了 空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又 小于二维，它的容量维为1.261 8,这看来是理所当然的。海岸线的分维 数通常在1 .15到1.2 5之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说， 即使在不同的尺度上，用

5、分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是 一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表 征的正是大自然的规则的不规则性。 一个分形的曲线意味着一种有组织 的结构,这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。分数维概念我们知道0维是点,一维是线，二维是 I1面，三维是空间。那I么，谁能告诉我1.5维是什么？ 一条直线段是一维的,由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测 量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍， 因此我们把直线段长度单位减 小到原单

6、位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍 ，正方 形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式 ：10g4/ 1 og2 = 2 l o g8/1 o g 2=3这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义 ：测度维的 概念。为了定量地描述客观事物的 非规则”程度，1 9 1 9年，数 学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。如果某图形是由把原图缩小为1/人的相似的b个图形所组成，有：入人D=kd即维数 D=log k /log入其中的人为线度的放大倍数 苫为“体积”的放大倍数。回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长

7、度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之 一的直线段来近似曲线。 这时，海岸线长度增加程度近似于一个 固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为2. 7 ,而l o g 2 .7/l o g2=1.4 1,1. 41就是英国海岸线的维数。1.4 1由于是一个 分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。 还有其他一些分数 维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的 基本参数之一。自然界的山，其分形维数在2.2维左右，但从2 .1维到2 .5维 画出来的都有一定的山的效果.下面详细介绍分维及计算1 ）新的维数（全维数:整数维十分维）a.由欧氏几何的整数维u引出的非欧几何

8、一一-分维：a）.欧氏几何的整数维欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支，他是以规整几何 图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点，直 线，平面图形（曲线，空间图形的维数（欧氏维数）都是整数维，分别为0, 1 ,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度 ，面积和体积的测量.则上述 两类几何图形的测量结果，可以归纳简化表述为如下两点：i .长度=l,面积=/，体积=l3ii .长度（半径尸J ,面积二- 2,（球）体积=（4/3） k 3上述各种关系的量纲分别是长度单位 l的1,2 ,3次方,即这些方次恰 与该几何图形的欧氏维数相等，并且是整数.归结上述两点，各类几何

9、图形的测量都是以长度 l为基础的.所以，欧 氏几何中对规整几何图形的测量，可以概括表述为长度=1面积A=al2体积V=bl3式中a和b为常数，称为几何因子，他与具体的几何图形的形状有 关.如圆a=九球b=4冗/3.以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形，其维数关系也就不那末规整了，即欧几里得测度-长度，宽度，厚度不能抓住不规则形状的本质，于是曼德勃罗特转向新的想法，即关于维数的新想法.b ）.非欧几何的u分维欧氏几何中的空间是3维的，平面是2维的，直线是1维的，而点是0 维的.那末，一个线团的维数如何呢？这与观察方法有关.远看，他是一个点， 是。维；近些看，象球，有空

10、间3维感;再近看，就看到了绳子，又成为1维 的了.引发人们注意到几何中也具有相对关系，以及维数的多样性.曼德勃罗特越过了 0,1,2, 3 ,.的”传统整数维u （同时也超越了传统 观念），进入了看起来象是不可能的分数21数，分维出现了 .从概念上说， 这是一场走钢丝表演，是冒险.对于非数学家，外行，（年轻的）新手， 生手,即开拓创新者（或所谓的“半瓶子醋”），他要求先自愿地暂停疑虑（思 考）,再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家，可能会不懈一顾，不予考虑，不许生疑，被传统所限制束缚住，以至难有大突破.而事实证明前 者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.分维与古典的欧几里得维数是有联系

11、的.将欧氏维数统一扩展成M= 1 d则由对数定义可知，指数 d可以表示为以l为底的，M的对数，即 d=lo g iM经用换底公式换底，就可以得到关于维数的解析通式，分维中广泛使用的关系式 d=l nM/lnl他可以被看成是各种维数的综合表达式，即广义维数（欧氏维数及各种分维）的由来或基准式.分维是一种测度，是用其它方法不能明确定 义的一些性质-一个对象粗糙，破碎或不规则程度-的手段.即对某 种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点 就是使在不同的尺度上（放大或缩小）不规则（图形，功能等）的程度保持恒 定.2 ）.拓扑维和豪斯道夫维一一维数的定义连续空间的概念，空间维数是

12、连续的，不是间断离散的.对数，换底， 拓扑维数是比分形维数更基本的量，以Dt表示，它取整数值，在不作 位相变换的基础上是不变的，即通过把空间适当地放大或缩小，甚至扭转， 可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是1 .所以，拓扑维数就是几何对象的经典维数D t =d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺r去度量，则可得到一确定的数值 N;若用低于它维数的尺去量它，结果为 无穷大;若用高于它维数的“尺”去量它，结果为零.其数学表达式为：N（r） r-Dh.上式两边取自然对数，整理后可得Dh= 1

13、 n N （r）/l n （1 / r ） 或 D h=l i m lnN （1）/ln （ 1/ ） （T 0式中的Dh就称为豪斯道夫维数，它可以是整数，也可以是分数.欧氏 几何体，它们光滑平整，其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物 体称为分形，把此时的Dh值称为该分形的分形维数，简称分维.也有人把 该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.维数的其它定义(1)信息维数 Di = l i m (EP i InP i /l n (T) (T -0(2)关联维数 Dg = lim (In C (1)/h (1/(T )0(3)相似维数 Ds = lnN/ln (1/

14、r)(4)容量维数 Dc = lim ( lnN( s) / 1 n(1/)(T -0DOD h(5)谱维数 D (分形子维数)一一是研究具有自相似分布的随机 过程，如随机行走的粒子的统计性质，可用渗流模型来描述的多孔介质，高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类蚂蚁在迷宫中”的问题.(6)填充维数 一 p 由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密 的填充定义的维数称之为填充维数(Packing D i mensio n ).(7)分配维数 Dd一可以看成是利用两脚间隔距离为的两脚规测量曲线C所得的U长度U .即定义为D d =1 im (ln M (T ( C)/ ( -ln (t)(T -0曲线的

15、分配维数至少等于盒维数.(8)李雅普诺夫(Lyapunov)维数Dl 是作为混沌的吸引子维 数，他是利用Lyapu n ov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分 形构造的(经络的断面切片)，因此就可以测定其分形维数.分形维数的测量1 .基本方法分形维数的定义有很多，但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的，所以要区别对待，物适其用.实际的测定分形维数的方法，大致可以分成如下五类：(1)改变观察尺度求维数：是用圆和球，线段和正方形，立方体等 具有特征长度的基本图形去近似分形图形.(2)根据测度关系求维数：这个方法是利用分形具有非整数维 数的测度来定义维数的.(3)根据相关函

16、数求维数；C (r)0cr-a, a=d-D(4)根据分布函数求维数；p(r) 0cp ( Xr ) p ( r )r-D(5 )根据频谱求维数.2 .盒维数(计盒维数,Kolmogorov嫡，嫡维数，度量维数，对岷数 密度等)3 .函数图的维数4 .码尺与分形维数的关系-一分形维数的不确定性对实际分形 体而言，测量的分形维数值随码尺而变化，？也就是说，对同一分形体由于 选取的码尺不同，会得到不同的分维值.原因是，结构层次不同，自相似的 程度不同.测量时要注意.分形定义分形难下确切的定义。分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为碎形。分形是研究自然和社会中广泛 存在的零碎而复杂

17、，无序，不规则，非线性，不光滑，具有自相似，自 仿射和标度不变性的复杂系统，图形 ，构造，功能，性质和复杂现 象，及隐藏在这些复杂现象背后的，具有精细结构，内在随机性，局 部与整体本质联系的，被传统线性科学（物理，欧氏几何学）排斥在 外的不规则病态，不可微的事体，形体.在尺度变换（放大，缩 小）下具有u自相似性和标度不变性（无特征长度）的,从有限 认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分（局部）以某种方式（结 构,?信息，功能等广义分形）与整体相似的形体，事物，或现象;或在 多个层次上，适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个 精细结构，形态，性质等不因此而发生改变（统计）的形体，体系、分

18、 形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性 的集合，是非线性变换下的不变性 ，是整体观（统一观，共性观，非 二分法的产物，是有规则的不规则性。分形是没有特征长度 ，但具 有一定意义（广义）下的自相似图形，结构，性质和形态的总称。分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都 在特征上和整体相似。除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限 的细致性。即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。 但是每次放大的图形却弁不和原来的图形完全相似。这告诉我们其实，分形弁不要求具有完全的自相似特性。分形的数学定义定义1如果一个集合在欧氏

19、空间中的豪斯道夫维数D h恒大于其拓扑维数D t,即 D h Dt则称该集合为分形集，简称为分形。（D h Dt）这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出 了一个实用的定义。定义2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。它突出了分形的自相似性，反映了自然界中广泛存在的一类 事物”的基本属性：局部与局部，?局部与整体在形态，功能，信息，时间与空 间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的相似不同.上述定义还不是严密，精确的定义.要完整地理解分形还必需知道它的一些特性。分形的特征和产生机制分形特征大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。一般地说，分形具有以下一些特征

20、：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节 （无限可分性）；该集合整体与局部间有某种 自相似性；分形集合的分形 维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如 此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的.。具体的说有下 面几个特征。1） 1）自相似性是复杂系统的总体与部分，这部分与那部分之间的精细结构或性质 所具有的相似性，或者说从整体中取出的局部 （局域）能够体现整体的基 本特征.即几何或非线性变换下的不变性 ：？在不同放大倍数上的性状相 似

21、.包括几何结构与形态，过程，信息，功能,？性质，能量，物质（组份）,时间，空间等特征上，具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示为： f （狂）=入f（ r ）,或f（r） r 2其中入称为标度因子,所为标度指数（分维）, 它描述了结构的空间性质.函数f（r）是面积，体积，质量等占有数，量等性质 的测度。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺 度或时间尺度来看都是相似的，？或者某系统或结构的局域性质或局域结 构与整体类似.另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自 相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是，

22、表征自相似系统或结构的定量 性质如分形维数，并不会因为放大或缩小等操作而变化这一点被称为伸 缩对称性，所改变的只是其外部的表现形式 .自相似性通常只和非线性 复杂系统的动力学特征有关。人们在观察和研究自然的过程中，认识到自相似性可以存在于物理， 化学,天文学，生物学，（中医,针灸,经络）材料科学，经济学，以及社会科学等众多学科中，可以存在于物质系统的多个层次上 ，?他是物质运动，发展的 一种普遍的表现形式，即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正 把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一 ，二十年的事。2） 2 ） 标度不变性（无特征长度）一个具有自相似性的物体（系统，事物）必定

23、满足标度不变性，或者 说这类物体没有特征长度。标度不变性是指在分形上任选一局部区域 ， 不论将其放大或缩小，它的形态，复杂程度，不规则性等各种特性均不会 发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称性.标度不变性（无特征长度）:具有自相似性的系统，物体，事物必定满足 标度不变性，或者说这类形体没有特征长度一一没长短，面积，体积等。特 征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度，？如空间的长，宽，高，及时 间的分，秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域，不论将其 放大还是缩小，它的结构，形态，性质（功能，复杂程度，不规则性等各种 特性均不会发生变化（或是统计性的，故标度不变性又称为伸缩对称性.此

24、空间称无标度空间，其内是分形，范围以外就不是分形了，它有有 限与无限之分。对于实际的分形体来说，这种标度不变性只在一定的范围内适用。人 们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间. 在此范围 以外，就不是分形了。3） 3）层次性，递归性自相似性是不同尺度上的对称，是跨层次的共性观（分形元，不变性）-同样形态在不同尺度，不同层次上的相同，或相似结构的重复构建与 变换，其结构套着结构，特征或结构隐含嵌套，具有多层次性和递归性。4） 4 ） 自仿射性自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放，拉伸的拷贝，其比例都是同一的，是常数.而自仿射系统，其在各方向上的伸缩，拉放拷贝的比 例不同。5）

25、5）分形元初始元-生成元是构成分形整体，相对独立的，放大与缩小均不改变，及共同相似 的基本部分，即相似单元，相似单位，或是变换中不变性（共性）的共同的，最 基本的，简单的结构，性质的单位或单元，是整体与局部共性的统一体.分形性就是分形性质的统合 ，如自相似性和标度不变性，分数维性 等。6）分形元支（枝，肢），岔（叉，杈）如五行的 金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五 杈；阴阳有两个分形元支等。分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述。 现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的 是相似维数。一般地说，如果某图形是由把全体缩小为 1/a的aD个

26、相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义。此维数被称之为相似维 数。相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限。所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的。Hausdor f f维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N (r)将满足下式：N(r ) = Crxr-DH式中的C为常数，则该集的维数为D h,该维数称为Hausdor ff维数。不过,Hausdor ff维数在许多情况下难以用计算的方 法来计算或估计。因此，在实际应用中较少采用 Hausdor ff维数，而 采用便于计算的相似维数等。分形原

27、理(1)自相似原理(2)积和原理：对S 1 A S2=0的分形子集Df = D 1 +D2.(3 )加和原理： 如果分形子集 S1A S2=S,则D f = D1 + D 2 -d.(4)合并原理：分形集 S= S a + Sb ,DaDb,贝(J Ds= Da.(5)匹配原理：若想 S1U S 2S,需D 1 = D2 (=Ds).(6 )级差原理：SiC S,i是级次(层次).(7)自仿射原理* (8)互补原理：SUS=U=1,S nS=05与 S互补.分形几何与解析几何的关系(经络定位 )分形几何与欧氏几何类似，是研究或考察物体形状的几何学， 不象解析几何可以通过坐标A (x,y,z)进

28、行定位.不过将来的u解析分形 几何”应该可以有双重作用.生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂 系统。如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统。所 有复杂系统都存在三个基本特征：1、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。2?、每个细胞的状态只 有极少数几种。3、每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定。例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形 态。生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演 示繁衍过程。在繁衍过程中产生大量的艺术图案。产生分形的物理机制一般认为非线性，随机性，以及耗散性是出现分形结构的必要物理条 件.非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代，状态演化(相空间轨迹)发生分支，是混沌的根本原因.随机性分为两大类，即噪声热运动和混沌， 它们反映了系统的内在随机性.而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性，研究嫡变的过程和机制，即传统的无序嫡增过