初三数学中考第一轮复习⑴数与式华东师大版知识精讲

1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。初三数学中考第一轮复习 数与式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 中考第一轮复习 数与式二. 重点、难点扫描： 1. 有理数的意义：数轴，相反数，倒数，绝对值，近似数与有效数字；2. 有理数的运算：加减乘除，乘方，有理数的大小比较；3. 数的开方：平方根，立方根，实数；毛4. 二次根式：二次根式的乘除法、性质、运算. 5. 代数的初步知识：代数式的概念，列代数式，求代数式的值.毛6. 整式的概念：单项式：系数、次数； 多项式：项数、次数、同类项、降、升幂排列；7. 整式的加减：合并同类项，去、添括号；8. 幂的运算性质：同底数幂的乘法；幂

2、的乘方；积的乘方；同底数幂的除法；零指数与负整指数幂；科学记数法； 9. 整式的乘除：单项式乘以单项式；多项式乘以单项式；多项式乘以多项式乘法公式；因式分解；单项式除以单项式；多项式除以单项式；10. 分式：分式的有关概念：分式，有理式，最简分式，最简分母；分式的基本性质分式的运算.三. 知识梳理：有理数1. 有理数的有关概念 要准确把握有理数的概念，特别是负数和绝对值的概念是难点，要深刻理解，并结合数轴理解这两个概念，用数形结合的思想，使抽象的概念具体化，再就是近似数的有效数字的概念也是非常重要的，要理解透彻。 2. 有理数的运算 灵活运用有理数的运算法则、运算律、运算顺序以及有理数的混合运

3、算，利用运算律简化运算一定要熟练掌握，运算中的符号问题是易出错的地方，要特别注意，再就是要掌握好减法转化成加法，除法转化成乘法这种转化思想。实数1. 掌握平方根、立方根的概念和性质 学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念， 再就是懂得平方根和立方根的符号所表示的含义.注意区分平方根和算术平方根.2. 掌握实数的分类，掌握实数可按性质和正负两种方法分类 或 代数式1. 正确列代数式 首先要注意审题，弄清问题中的基本数量关系，然后把数量关系用代数式表示出来，再就是要把代数式和等式区分开，书写代数式要注意格式. 2. 迅速求代数式的值 求代数式的值通常要先化简再求值比较简便，当所代的数是负数时

4、，要特别注意符号. 3. 公式的探求与应用探求公式时要先观察其中的规律，通过尝试，归纳出公式，再加以验证，这几个环节都是必不可少的，再就是灵活运用公式解决实际问题.整式1. 正确理解整式的有关概念 整式的系数、次数、项、同类项等概念必须清楚，是学习方程、整式乘除、分式和二次函数的基础. 2. 掌握合并同类项、去（添）括号法则 要处理好合并同类项及去（添）括号中各项符号处理，式的运算是数的运算的深化，加强式与数的运算对比与分析，体会其中渗透的转化思想。3. 熟练地运用幂的运算性质进行计算幂的运算是整式的乘法的基础，也是考试的重点内容，要求熟练掌握.运算中注意“符号”问题和区分各种运算时指数的不同

5、运算.4. 熟练运用整式的乘法法则进行计算整式运算常以混合运算出现，其中单项式乘法是关键，其他乘除都要转化为单项式乘法.乘法公式的运用是重点也是难点，计算时，要注意观察每个因式的结构特点， 经过适当调整后，表面看来不能运用乘法公式的式子就可以运用乘法公式，从而使计算大大简化.5. 区分因式分解与整式的乘法它们的关系是意义上正好相反，结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法.对于给出的多项式，首先要观察是否有公因式，有公因式的话，首先要提公因式，然后再观察运用公式还是分组.分解因式要分解到不能分解为止.6. 幂的除法运算性质的计算以及整

6、式的混合运算 同底数幂的除法公式是进行除法运算的基础，也是中考的必考内容，运算时要注意符号问题，同时系数、指数也要分清.整式的混合运算是考查的重点，多项式除以单项式通常转化为单项式除以单项式.整式的乘除要与整式的加减区分开来，切勿混淆.因此要牢记运算法则. 7. 零次幂与科学记数法 理解零次幂的意义，会判定零次幂的底数的取值范围，会求非零代数式的零次幂.会用科学记数法表示一个绝对值较大或较小的有理数，这也是中考的常考内容.分式1. 弄清分式有意义，无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零；无意义的条件是分母为零；值为零的条件是分子为零且分母不为零，弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点

7、. 2.分式基本性质 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分，这是分式运算的基础，利用分式的基本性质时，要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式. 3.分式的四则运算 分式的四则运算主要出现在化简中，与通分、约分、分式的基本性质联合，要保证最后结果为最简分式. 4.可化为一元一次方程的分式方程的应用 会根据具体情景列出分式方程，并会求解，注意验根这一步不可少.【典型例题】例1. 将下列各数填入相应的集合内，并用“<”号将下列各数连接起来. ， 有理数集合 ； 无理数集合 分析：实数的分类关键是要理解相关概念；实数的大小比较可借助大小比较法则进行比较，并能估计无理数的大致范围.解：有理数集合

8、，无理数集合 ，<<<<<.说明：实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；如=，=，=.实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较.例2. 已知：=0，求的相反数的倒数.分析：两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a、b的值.解：由题意得解得=-3， =-6=-，它的相反数为.它的相反数的倒数是2.说明：完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并运用这一特征解题，本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等. 例3. 计算：；. 分析：式中因为，所以可提取再进行运算； 式中将各部分分别求值，再将它们求和. 解：说明

9、：正确进行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幂的运算、特殊三角函数值的计算等.例4. 计算：；. 分析：中可将看作一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式进行运算；中先将化为，再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法.解：原式=. 原式=. 说明：整式运算时要注意能灵活运用乘法公式.例5. 若代数式的值为8，求代数式的值；若为实数，说明代数式大于0.分析：中由条件可知的值，可将作为整体求的值，就可得的值.中运用配方法可确定代数式值的正负. 解：=8， =2 =-7 . 为实数，. 说明：注意整体思想在代数式求值中的运用；配方法是常见的数学方法，在验证代数式的值、根的

10、判别式、二次函数化成顶点式等情形中有较为广泛的运用. 例6. 图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2；再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题： 将下表填写完整：图形编号12345三角形个数159 在第n个图形中有_个三角形(用含n的式子表示). 分析：根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题. 解决这类问题，首先要从简单的情形入手，其次抓住“编号”，“序号”等与其他数量之间的关系，从而寻找出规律. 本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点，就多出四个小三角形区域. 解：图形编号12345三角形个

11、数1591317 4n-3说明：本题还可从函数的角度去考虑，因为三角形个数y随着图形编号x的变化而变化，可猜想它们之间存在一次函数关系，可设y=kx+b用待定系数法求k、b，再选出其他组数的值代入验证，若猜想不成立，可再尝试用二次函数或反比例函数关系式。（当两个变量的积为常数时）例7. 在二次根式，是同类二次根式的是. A. B. C. D. 分析：解答本题的关键是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与是否为同类二次根式. 解：. 与是同类二次根式的是，故答案选C. 说明：最简二次根式、同类二次根式是本节内容的两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前

12、提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练.例8. 把下列各式因式分解： 分析：本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用分组分解法.在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解.把化为，把化为，然后直接利用立方差公式来进行因式分解.对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解.解：原式. 原式(2x)3-=(2x-)(4x2+. 原式. 说明：华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低.事实上，掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程

13、、解一元二次不等式等非常有用.另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解.对于立方和（差）公式，能直接运用即可.例9. 化简：. 分析：在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的. 对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简. 解：原式. 说明：分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视. 例10. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少

14、施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务.设原计划每天铺设管道x米，则可得方程( )A. B. C. D. 解析：设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道(x10)米原计划时间为：，后来所用的时间为：. 后来所用时间原计划时间20，即原时间后来时间20所以正确方程为选项D. 例11. 已知，求代数式的值.分析：由于、均为可化简的二次根式，应先将、进行化简.而多项式的次数较高，且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化. 解：，. 说明：本题考查学生的数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用的数学思想是：转化思想、

15、整体思想.在复习时要注意运用相关数学思想和数学方法.例12. 先化简，再求值：.分析：化简本题时可先利用公式来化去根号，然后通过分子、分母因式分解约分化简.解：原式. 说明：本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性.另外，值得注意的是化简结果后求值的方法技巧，不要用通分这种繁琐的方法去求值.例13. 已知的值. 分析：有效利用配方法，由已知条件求出a+b，ab的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b，ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果. 解：，.说明：利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论，的值是解决此题的突破口.利用通分和完全平方公式来

16、把未知分式转化为已知，的式子，体会整体思想方法和转化思想方法. 【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 如果与2的差为0，那么是 （ ）A. 2B. C. D. 22. 已知分式的值是零，那么的值是 （ ）A. 1B. 0C. 1D. ±13. 2007年，中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空，飞向月球.已知地球距离月球表面约为38400千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）A. 千米 B. 千米C. 千米 D. 千米4. 下列运算中，正确的是 （ ）A. B. C. D. 5. 实数0. 1010

17、010001中，无理数有 （ ）A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 一批货物总重，下列可将其一次性运走的合适的运输工具是 （ ）A. 一艘万吨级巨轮 B. 一架飞机 C. 一辆汽车 D. 一辆板车7. 下列运算正确的是 （ ）A. B. C. D. 8. 二次三项式可在整数范围内因式分解，那么整式的取值可以有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个9. 已知为实数，且1，设，则M，N的大小关系是（ ）A. MN B. MN C. MN D. MN10. 若化简的结果为，则取值范围是 （ ）A. 为任意实数 B. C. D. 二. 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30

18、分）11. 当m3时，. 12. 计算：. 13. 方程的解是 . 14. 用“”定义新运算：对于任意实数，都有例如，74417，那么53 ；当m为实数时，m（m2） . 15. 写出一个有理数和一个无理数，使它们都是大于2的负数：_ . 16. 把分解因式的结果是_ . 17. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为 . 18. 化简： . 19. 依法纳税是公民应尽的义务. 个人所得税法规定：每月总收入减去1600元后的余额为应纳税所得额，应纳税所得额不超过500元的按5%纳税；超过500元但不超过2000元的部分按10%纳税，若职

19、工小王某月税前总收入为2000元，则该月他应纳税_元. 20. 已知，且，则的值等于 . 三. 解答题（第1题每小题5分，第2题6分，第3题、4题每题7分，第5题10分，共40分）1. （1）计算：；（2）化简，求值：，其中，. 2. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” . 如，因此4，12，20这三个数都是神秘数. （1）28和2012这两个数是神秘数吗？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数）. 由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？3. 老师在黑板上写出三个算式：，王华接着又写了两

20、个具有同样规律的算式：，（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性. 4. 已知A，B2，C，其中1. （1）求证：AB0；（2）试比较A、B、C三者之间的大小关系，并说明理由. 5. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题

21、，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案. 例如，求1+2+3+4+n的值，其中n是正整数. 对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论. 如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求1+2+3+4+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1，2，3，n. （1）依照上述数形结合的思想方法.设计相关图形，求1+3+5+7+（2n1）的值，其中n是正整数.（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+（2n1）的值，其中n是正整数. （要求：画出图形，