三中值定理应用.

1、第三章微分中值定理与导数的应用§ 1内容提要一、介值定理1、定理1 (零点定理) 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b) ：0，那么在开区间(a,b)内至少有一点使 f( ) =02、定理2 (介值定理)设函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f(a)=A及f(b)=B, A=B 那么对于A与B之间的任一个常数 C，开区间(a,b)内至少有一点使f ( HC, (a：b)二、微分中值定理1、定理3 (费马(fermat)引理)设函数f(x)在点xo的某邻域U(x。)=(x° -Xo )内有定义，并且在 Xo处可导，如果对任意的 x w U (x0)，有 f

2、(x)兰 f (x0) ( f (x)亠 f (x0)，那么 f "(x0) =0。注：费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。一阶导数等于零的点称为函数的驻点。2、定理4 (罗尔(Rolle定理)如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(aH f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(a： ：b)，使得f ( )=0。3、定理5 (拉格朗日(Lagrange定理)如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点(a： : b)，使得 f(b)-

3、f(a) = f( )(b-a)。4、定理6如果函数f(X)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数。5、定理7 (柯西(Cauchy定理)如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一 (a,b), F(x) =0,那么在(a,b)内至少有一点 a：b)，使得 f（b）-f（a）_（）。F（b） -F（a） F（）6、定理8 （泰勒（Tayloi）定理）畀（x_x°）n 尺（X）， n!如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a,b）内具有直到n，1阶的导数，则对x（a,b）,有f(X)二 f(Xo) f

4、 (X°)(X -Xo) f 2：0)&_沧)1,厂(0,1)，使 f( 1)= f( 2)=0。(提示：同例 3)题型二证明存在，使f(n)( )=0 (n =1,2l()解题提示：用罗尔定理(或多次利用罗尔定理)例5、设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1)，f(2) =3,f (3) =1 o试证必存在：(0,3)，使f ( ) 0 。(提示：只需证明存在一点c 0,3)， 使f (c)二f (3) =1然后应用罗尔定理即可。由条件 f(0) ff(2) =1，问题转 川f 5卑）岸）其中Rn（x）- （X - Xo）""

5、;，这里'是x与Xo之间的某个值，此公式也称为带有拉格（n +1）!朗日型余项的n阶泰勒公式。（1）当 |Rn（X）=0 （XXo）"时，f(X)二 f (Xo)f (X°)(X -Xo)字(xmd2!n!(X-X°)n 0|_(X-Xo)n称为带有皮亚诺（Pea no）余项的n阶泰勒公式。（2）在泰勒公式中，如果取 xo=0，则二在x与0之间，此时可令上=日x（0<Tc1）下面两公式分别称为带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式和带有皮亚诺余项的n阶麦克劳林-|H-f (o)xn 0(xn). n!公式：f（x）=f（O）fg譽x2皿晋八行xn1

6、67; 2典型题型与例题分析题型一证明存在匕使f（t） = o（。厂何牛解题提示：用介值定理。唯一性由f （x） 7 （或f （xb： O ）确定。例1、设f（x）在a：）上连续，当x a时，f （x） KO（ K为常数）。试证明：若f(a) ： O，则方程 f(x)=O 在 a, a罟上有且仅有一个实根。（提示：由拉格朗日中值定理在 a, 二中先找到一点，使f （ ） O，然后再用介值定理，注意唯一性）例2、设f （x）在a,b上连续，且f（x） O，证明在（a,b）内存在唯一的，使得直线x二' 将曲线y二f （x）和直线x二a,x二b以及y = O所围成的平面图形分成面积相等的两部

7、分。例 3、设函数 f(x)在0,二上连续，且 ：f(x)dx = 0,' f (x)cos xdx = 0。试证：在(0,二)内至少存在两个不同的点1,2，使f ( 1)= f2)=0.分析：证明介值问题，一般两种情形：(1)要证的结论与某函数在一点的函数值f ()有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理(如例1，例2)；( 2)要证的结论与某函数在某一点的导数值 f(J或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)(题型二将详述)。本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，rxx实际上应用微分中值定理

8、解决， 根据.f(t)dt i； -f (x)，利用变限积分的函数.f (t)dt作 £_a辅助函数。本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：xF(x) f (t) dt显然有F (0) = F (二)=0，但要证本题结论，还需要找F (x)的一个零a点，这要由第二个条件o f (x)cos xd 0来实现，为了与F(x)联系起来，可将其变换为0二(x)cosxdx二J： cosxdF(x)再通过分部积分和积分中值定理就可达到 目的。1例4、设f(x)在0,1上连续，° f(x)dx =0, g(x)在0,1上有连续的导数且在可以三次用罗尔定理)例

9、7、设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，且 f(a)二 g(a), f(b)二 g(b)，证明：存在 (a,b)，使得 f ( g ()。(本题综合考查介值定理和罗尔定理。 提示：令F(x) = f (x) - g(x)，只需对F (x) 用罗尔定理。)题型三 证明存在，使f(n)(J=k (k=0)解题提示：构造辅助函数，利用中值定理)步骤：(1 )将换为x ；( 2)恒等变形，便于积分；(3)积分并分离常数：F(x,f(x) =C,则F(x, f(x)即为所需的辅助函数。例8、设f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足1f(1)

10、 = k 0kxe1f(x)dx (k 1)，证明至少存在一点(0,1)，使得f)= (1-*)f ()。(提示：将要证关系式怕=(1亠)心中的浪x，并作恒等变形得谓心，两边积分后得xe»f(x) =C故可作出辅助函数F(x) =xef (x)，对已知条件使用积分中值定理，然后对辅助函数应用罗尔定理即可。)例9、设f(x)在0,1内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，但当x (0,1)时,f(x) 0，求证对任意自然数在(0,1)内存在，使nf ()f()f (1-)f(1-)(提示：将所证结论中改为x，两边积分后，可作出辅助函数F(x)二f(x) f(1-x)。例10、设f

11、(x)在a,b上可导，且a,b同号，证明：至少存在一点(a,b)，使af(b)-bf(aK f(f ()。(提示：令 F(x)=3,G(x) J，注意到 a,b 同a -bxx号，故用柯西中值定理)。1例 11、设 f(x)在0,1内上连续，在(0,1)内可导，且 f(0) = f (1) = 0, f() =1，21证明：(1)存在(丁1)，使f ()二;(2)对任意自然数，必存在：(0,)，使f ( ) - f() - 胡(提示：(1)直接用介值定理即可；(2)令F(x)二e-'xf (x) x利用罗尔定理)例12、假设函数f(x)和g(x)在a, b存在二阶导数，并且g(x) =

12、 O,f (a) = f (b)二 g(a) = g(b)二 0，试证:(1 )在开区间(a,b)内 g(x) = 0 ；(2)在开区间(a, b)内至少存在一点'，使丄£2。g(®g)(提示：对f (x)g (x)g(x)f (x) =0等式积分可令辅助函数为F(x) = f(x)g (x) -g(x)f (x)。再利用罗尔定理即可 )题型四双介值问题，要证存在两个中值,满足某种关系的命题解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f (a) = f(b)= 1

13、，试证：存在,(a,b)，使得 e _f( ) f ()丨-1.(提示：将要证结论改写为 ef (口)+ f U) = e.即证_exf(x* xM = e7。令F (x)二ex f (x)，对其应用拉格朗日中值定理。)评注：对双介值问题(证明 ',(a,b)，使H，)=0)般按以下步骤证明：(1) 与，化 H( , ) =0为 f( f()。(2) 若容易找到F(x)，使F'(x)=f(x)(或g(x)，则对F(x)应用拉格朗日中值定理，得 F(b) - F(a)二卩()=f()。ba(3) 应用微分中值定理，证明F(b) _ F(a)壮()。ba例14、设f (x)在a,b

14、上连续，在(a,b)内可导，且f(x)=0，试证：存在',-(a,b)，f ?t) eb _ea n使得e；(提示：应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。)f( ) b-a例15、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) =0, f(1)=1，试证(1)存在：(0,1),使得 f( ) =1 -(2)存在两个不同的点，二(0,1)，使得f ( ) f)=1(提示：第一问用闭区间上连续函数的介值定理；第二问为双介值问题，考虑用拉格朗日中值定理，并注意用第一问已得结论。)题型五不等式的证明解题提示：不等式的证明方法很多，一般有：利用单调性证明不等式；利用 极值与最值证明不等

15、式；利用凹凸性证明不等式；利用拉格朗日中值定理证 明不等式；利用泰勒展开式证明不等式。这里只简要叙述两种方法，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名，将其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来，如果辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至 二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时也可考虑用泰勒公式证明。类型一 利用微分中值定理证明不等式例16、设f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(x) <1,又f (0) = f (1),求证：对11任意X1,X20,1,必有f (xj f(X2)c (提示：当X2X1兰一在X1,x2上利用拉格221 朗日中值定理证明。当

16、X2-X1 在0, X与X2, 1上分别利用拉格朗日中值定理证明)2例17、设f (x)在0, a上二阶可导，且在(0, a)内达到最小值，又在f"(x)兰M。证明：f (0)| +| f (a)兰 Ma.(提示：存在c(0, a)使(c) =0在0, c与c, a上分别使用f "(x)兰M)类型二 利用泰勒公式证明不等式 适用于二阶以上可导的情形。例18、设f (x)在0,1上具有二阶导数，且满足条件f(x)兰a, f “(x) E b，其中a, b都是非负常数，证明：对任意(0,1),必有f"(x)兰2a+.f"心 2(提示：f(t) = f(x)

17、f (x)(t -x)(t -x) 2x (0,1), (1 -x) x <1.)例19、设f(x)在0,1上具有二阶导数，且f (0) = f(1) =0, f (x)在0,1上的最小值等于-1，试证：至少存在一点(0,1),使 f ( ) -8.(提示：a (0,1), f(a)=-1, f (a) = 0,再将t =0, t =1分别代入相减。并注意2!在点a处泰勒展开，并将x =0, x =1分别代入。)题型六中值定理的综合应用例20、设f(x)在(_L, L)内连续，在x = 0处可导，且f (0) =0.(1)求证：对任意给定的0 : x L,存在 0 ： v ： 1,使x.

18、 x0f(t)dt 0 f(t)dt = xf (松)-f Gx).(2)求极限lim日.(2 )由(1)得x_x(提示：(1 )令F(x) = j f(t)dt o f (t)dt,对其应用拉格朗日中值定理;x_x-再令两边分别取极限)0 f (t)dt 0 f(t)dt _ f(*)_ f(“x)2 2x2*例21、设f(x)在-1,1上具有三阶连续导数，且f (_1) = 0, f(1)=1, f (0) =0,证明在 (-1,1)内至少存在一点，使得=3.(提示：将f (x)在x=0展成二阶麦克劳林公式， 令x=-1,x=1得到两式相减，对f lx)用介值定理。)附：01-07年天津市

19、大学生数学竞赛中与该部分内容有关的题目1、设f(x)在区间a, ：具有二阶连续导数，且f (x)兰 M 0, 0f "(x)| 兰 M2, (a 兰x v +=c)证明：f "(x)兰 2(M0M 2. (01 年试题)12、设f(x)在区间0,1上连续，在(0,1)可导，且4.3 f(x)dx二f (0)，求证：在(0,1)内至4少存在一点在，使得f ( ) =0 o(01年试题)3、 设f(x)具有二阶连续导数，且f(0) =0, f (00, f (0) 0.在曲线y = f (x)上任意取一点(x, f (x) (x = 0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作

20、丄，求：lim ZU >T Af(X)(03年试题)4、设f(x)在区间0,1上连续，在(0,1)可导，且f(0) =0, f(1)=1，试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的和，使得 一ab a b.f) f ?)(03年试题)5、设正整数n . 1 ,证明方程x2n - ahx2n- a?.x -仁0至少有两个实根。(04年试题)6、设函数f(x)在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得fa + b '111+ f (b)I 2丿f (a) _2f二厂(。(05年试题)7、设函数f (x)在闭区间-2,2上具有二阶导数，f(X)

21、< 1且f (0) f + If *(0) f =4，证x _2明：存在一点'(一2,2)，使得f( ) f ( 0。( 05年试题)&证明：当 x 2 时，(x-2)e2 -xeX 2e ： 0。(07 年试题)兀029、设f (x)在a,b连续，在(a,b)可导，且有ef(x)1arctan xdx , f(1) = 0，则至少存在一点匚 (0,1)，使(12)arctanf ( ) = -1。( 07 年试题)答案提示1、对f (x)进行泰勒展开。2、先利用积分中值定理，再利用罗尔定理。3、过点(x, f (x)的曲线 y 二 f (x)的切线方程为：Y - f (x)二 f(x)(X - x),注意到：由于f (0) = 0, f (0)0，在x = 0的邻域内当x = 0时f (x) = 0。因此，此直线在x轴上的截距为f(x) f (x)，且 limlimx )0x >0x-lim3x)0 f (x)=0。利用泰勒公式将 f (x)在X二0点展开，得到1 1f(x)二 f(0) f (0)x ? f ( 1)x2f ( 1)x21 在 0 与 x之间1f(J = J ( 2)Q 2在0与之间代入得2f (0)_if (0) f (0) 一 24、 提示：取数(0,1)，由介质定理知，存在(0,1)，使得f(c)m二，在区间0, c与C, 1