中考数学专题复习十一几何探究题类型3综合全等和相似三角形的几何探究题试题

1、类型3综合全等和相似三角形的几何探究题针对训练9. （2016 赤峰）如图，正方形 ABCM边长为3 cm,巳Q分别从B, A出发沿BC, AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/s, Q点的运动速度是 2 cms,连接AP并过点Q作Qa AP,垂足为 E.求证： ABS AQEA(2)当运动时间t为何值时， AB国AQEA(3)设4QEA的面积为y,用运动时间t表示 QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围).解：(1)证明：.四边形 ABC虚正方形， / ABP / BAD= 90° . / BA% / EAQ= 90° . QELAP,，/AEQ= 90° .

2、 / EAQF / AQE= 90° . / AB2 / AEQ= 90° , / BA2 / AQE. . ABW QEA.(2)当4AB国AQEA时，APAQ.由题意，得 BP= t, AQ= 2t , AB= 3, 在 RtABP中,AP2 = AB + BP2=9+t2.9+12= (2t) 2,解得 11 = 13, t2=-3(舍去).故当 t =。3时， AB眸 QEA.由得，4ABW AQEA .衿A=曙；，即/-= SA ABP APSA ABP又S aABP=1BP- AB= |t, AQ= 2t, AP2=9+t；2.10. （2015 .安徽）如图1

3、,在四边形的垂线，两垂线交于点 G,连接AGABCD43,点E, F分别是 AB, CD的中点，过点 E作AB的垂线，过点 F作CD BG CG DG 且/AGD= Z BGC.(2)求证：AD= BC;求证： AGDAEGF图1如图2,若AD, BC所在直线互相垂直，求解：（1）证明：£为AB中点，GEL AB, .GE是线段AB的垂直平分线.AG= GB. 同理可证GD= GC.AG= BG在 AAGD 和 BGC 中，4/AG乐 / BGC GD= GC. .AG国 BGC6A§.AD= BC.(2) -. ZAGD= / BGCAGB= / DGC. AG= BG

4、DG= CG 且 E, F 分别为 AB, CD中点,. /AGE= 2/AGB / DGF= /"GD. / AGE= / DGF 易证 RtAAGE RtA DGF.AG,/EGF攀GD GE GF. AGS EGF.延长AD交BC延长线于点 M. . AD, BC所在的直线互相垂直， /DA拼/ABC= 90° ,即 / DA即 Z ABO Z GBC= 90° . AG国 BG(C / GAD= / GBC. /DA拼 /ABGF /GAD= 90° ,即 / GABH Z GBA= 90° 又./GAB=/GBA，/ GAB= 45&

5、#176; .由(2)得AAG及AEGF，AD= 晶卷Er GE11. （2013 安徽）我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1,四边形ABCm为“准等腰梯形”，其中/ B= ZC.（1）在图1所示的“准等腰梯形” ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和AB BE dcT Ed若EB= EC,请问E不在四边形一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2,在“准等腰梯形” ABCD中，/ B= /C, E为边BC上一点，若 AB/ DE AE/ DG求证：（3）在由不平行于BC的直

6、线AD截4PBC所得的四边形ABCD43, /BAD与/ADC的平分线交于点 E, 当点E在四边形ABC酷部时（即图3所示情形），四边形ABC比不是“准等腰梯形”，为什么？若点 ABCg部时，情况又将如何？写出你的结论.（不必说明理由）图I图2图3解：（1）如图所示.(2)证明： AE/ CD AB/ EQ / AEB= / C, / B= / DEC. AB& DEC.AE BE薪.ZB= /C,/ AEB= ZB.DC EC . AB= AE.1.AB BEDCT EC.当点E在四边形ABC咕部时，四边形 ABC皿“准等腰梯形”.理由：过点 E作EH AB于点F, EGL AD于点

7、G, EHL CD点H. AE平分/ BAD 1- EF= EG. ED平分/ ADCEG= EH.EF= EH.EB= EC,RtABFE RtACHEHL） . ./ FBE= / HCE. EB= EC, .EBC= Z ECB. / FBE+ / EBC= / HCEF / ECB即 / ABC= / DCB.AD不平彳r于BC, 四边形ABC比“准等腰梯形”.当点E不在四边形 ABCErt部时，有两种情况：当点E在边BC上时，四边形 ABCM “准等腰梯形”；当点E在四边形ABCD勺外部时，四边形ABCM “准等腰梯形”.12. （2016 合肥瑶海区模拟 ）如图，在四边形 ABCM

8、, / ABC= / BCD= 60° , AB+ DC= BC.如配图3(1)如图1,连接AG BD,求证：AC= BR(2)如图2, / BAD与/ADC的平分线相交于点 E,求/E的度数；如图3,若AB= 6, CD= 3,点P为BC上一点，且/ APD= 60° ,试判断 APD的形状，并说明理由.解：(1)证明：在 CB上取CE= CD，连接DE, AE. AB+ DC= BC, .1. AB= BE.又. / ABC= Z BCD= 60° ,人8£与4 CDE均为等边三角形.AE= BE, DE= CE.，/AEB= / CE氏 60

9、76; . ./ BED= Z AEC= 120° .BE阴 AEC(SA$.AC= BD.(2)在四边形 ABCM, /B=/C= 60° , / BA> / ADC= 240° .AE, DE分另1J是/ BAD / ADC勺平分线，/EAM /EDA= 2( Z BAO / ADC尸 120°，故/ E= 60 ° .(3) 1.ZAPt 60° , ./ APB/CPD= 120° ./ BA巴/APB=120° ,/ BAR= / CPD.又. /B= /C= 60° ,ABF PCD.A

10、B_ BP_ AP6 BP一 PcT ClT 而 又A 6, CD= 3, BC= 9,厂际=了. BP(9-BP)=18.解得(BP) 1=3, (BP) 2= 6.,AP 一当(BP) 1=3 时，pd=1,即 A之 PD, /APD- 60° ,故4APD是等边三角形.当(BP)2=6时，PC= 3,易彳# ABP CD叫为等边三角形.AP= 6, DP= 3,即 AP= 2DP,取 AP的中点 E,连接 DE,彳导 PE= PD. /APD- 60° ,. EPD是等边三角形. ED- EP= EA. .D点在以AP为直径的圆上，故 APD是直角三角形.13. (2

11、016 马鞍山一模)如图1,在菱形 ABCD中，E是CD上的一点，连接 BE交AC于点O,连接DO并延长交BC 于点F.(1)求证： FO室EOC(2)将此图中的AQBE分别延长交于点N,彳EM/ BC交CN于点M,再连接FM即得到图2.求证： 等詈 FDCB BN=FM.证明：(1)二.四边形 ABCD菱形，BC= C口 / BCA= Z DCA BC/ AD.'BC= DC在 BCOA DCO中， / BC上 / DCAQC= OC.BC® DCO6A§. ./ CBO= Z CDO.rz CBO= / CDO在 ABEC 和 ADFC 中，$BC= CDU BCE= / DCF. BE黄 DFC(ASA.EC= FC.FC= eg在 FOC 和 EOC 中，4/BCA= /DCA OC= OC