数列题型及解题方法归纳总结

1、数列数列的概念两个基本数列数列的分类数列的通项公式数列的递推关系函数角度理解等差数列的定义 an 等差数列的通项公式 等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质an等比数列的定义an等比数列的通项公式等比数列等比数列的求和公式an1anSnan 1anSnamq(nd(na1 (n2)1)dn /(a12ap aq (man)nain(n 1)d2q)1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等 差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan (d， q 为常数) 例1、已知a n满足an

2、+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解/ an+1-an=2为常数 - an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11例2、已知an满足an 1an，而2= 是常数 an是首项为1,公差为a12，求 an = ?2)n 1a1qa1 an q1 qna1 (qai (11)1)等比数列的性质 anam a paq(m np q)2的等差数列g是以2为首项.公比为”的等比数列爺。(2)n-1 -(2)递推式为an+1=an+f公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用卄八其他例3、已知an中a1(n)12an 114n2 1，求 an.数列求和

3、解：由已知可知an 1an(2n1)(2 n 1)12n1)令n=1, 2,，(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) + +( an-a n-1 )(a3-a 2) + 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、 求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1广1飞=(1 14- ()+_2l 33 5-W an112n-3 2n -1_11、 4nC (1)2 2n 1 4n 2只要和f (1) +f (2) +f ( n-1 )是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以n=1

4、，2，(n-1 )代入，可得 n-1个等式累加而求 an。递推式为an+1=pan+q (p，q为常数 说明an+1-a n=3 (a n-a n-1 )a2-a 1= (3 x 1+2) -1=4 / an+1=3an+2/ 3an+2-a n=4 3n-1 即 a n=2 3n-1 -1n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a2=4 -3, 3n-2,解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减:因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为n-1an+1 -a n=4 3- an+1=3an+23an+2-a n=4 3解法二

5、：上法得a n+1-aa4-a 3 =4 3 ，, an-a n-1 =4 就是仏=(Q + 0) g+i 一 a #看则可从Tl+1于是a卄a an是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。把n-1/ an=2 3n-1-1r 等.：式一亠；累加得十一：(4)递推式为 an+i=p an+q【例5】己知中* an (p, q为常数)_51=6an 。略解在如二尹十2严一詣(化)2弓5+1,于是可得2 2 bn 1) 由上题的解法，得：bn 32()n3+ 1，-令b血=2n anP =卩P =-q则bbn 1n+lbn3(bnanbn3(2)n2(1)n说明对于递推式战Z =叽+ q可两边除

6、以产】，得嚮Q計打汀I辅助数列Z心幸申用(5) 递推式为 an 2pan 1 qanak+l2a + 0 = 3a B =-3凝两边减去珏+i，得2 1 71+1 = - “ + 亍乱15丿aj是公比为首项为a2 - at =啲等比数歹U。民=i+和-(冷)J(6)递推式为S与an的关系式自 1Cn = 1)b 1此类型可利用-解Cl)由得 *111& 1Sn(anan 1)(2n22* 1)1a n 1a na n 1n211an 1an22n(2)试用n表示an。上式两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2则2 5是公差为2的等差数列。 2nan= 2+ ( n-1) 2=2n适

7、用于数列(其中an等差)可裂项为： 1)an an 1 d an an 1等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列an的首项a10 ,公差d0 ,则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项an，则Sn最大an0an 10(i)若已知通项an，则Sn最小an 0an 10数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、 错项相减法：适用于差比数列(如果 an等差，bn等比，那么叫做差比数列)即把每一项都乘以 0的公比q，向后错一项，再对应同次 项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可

8、求和。(ii)若已知Sn pn? qn ,则当n取最靠近乞的非零自然数时 Sn最2p大；2、若等差数列 an的首项a1 0 ,公差d 0 ,则前n项和Sn有最小值2q(ii)若已知 Sn pn qn,则当n取最靠近的非零自然数时 Sn最2p小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即a1 a2 L an f (n)求an ，用作差法：aSi，(n i)anSn Sn i,(no2)已知 aiga2gL ganf （n）求an ,用作商法:an已知条件中既有 若 an ian （an an i ）（aai （n 2）。a已知4 f（n）求an，用累乘法：anSn

9、还有an，有时先求an f(n) 求n i an 2) L (a2Sn，anai)an再求an ；用anan if（i）,（ n i）2）。 f（n i）有时也可直接求an累an ian 2已知递推关系求 an ,用构造法（构造等差、等比数列）特别地，（i）形如ankan i b、a.kan i推数列都可以用待定系数法转化为公比为如an kan i kn的递推数列都可以除以生 ai (n 2)。 aibn （ k, b为常数）的递k的等比数列后，再求an ；形kn得到一个等差数列后，再求an。（2）形如an 也的递推数列都可以用倒数法求通项。kan i b（3）形如an i ank的递推数列都

10、可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8） 当遇到an i an i d或色 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an i能是分段形式。数列求和的常用方法：（i）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时， 常将“和式”中“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是 等差数列前n和公式的推导方法）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也

11、是等比数列前 n和公式的推导方 法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：J/i n(n k) Qn代）；4-)k2 k2 i 2 k i k ii i ii i .(k i)kk2(k i)k k i kn(n i)( n 2)i(n i)(n 2)(n i)!丄n!i(n i)!、解题方法:2G n - Tl)求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an（n i时，ai Si, n 2时,3、求差（商）法女口： an 满足一ar -2 a22 2解：n i 时，一 ai 2 i 5,2 ian S

12、n Sn i)inan 2n 5i2n二 ai i4得:1221尹an- an2n11 an 12n 1 5- an142* 1(n(n1)2)练习数列an满足SnSna14,求an（注意到an 1Sn 1Sn代入得:Sn 1Snn 2时，anSnSn 13n 144、叠乘法例如：数列an中, a13,an 1n +，求anann 1解：a2 a3.an12n 1. an 1? * *a a?a n 123na1n又a13，二an3n5、等差型递推公式由an an1f（n），a1ao，求an，用迭加法又S14，二Sn是等比数列，Sn 4nn 2时，a2 a1f(2)a3 a2 f (3)an

13、an 1 f(n)an a1 f(2) f(3)- an a0 f(2) f(3)练习数列 an , a11, an 3n1(an - 3n 1 )26、等比型递推公式an can 1 d c、d为常数,可转化为等比数列，设 ana n ca n 1 c 1 x令(c 1)x d，. x两边相加，得:an 是首项为a1c 1- an- ana1练习f(n)f(n)an 1 n 2，求 anc 0， c 1， d 0x c an 1 xdn 1a1 cc 1c为公比的等比数列数列an满足ai9, 3an i an4,求a.n(n + l)(2n+l)n 14(an 81)37、倒数法2a例如：a

14、11, an 1 n ，求 anan 2Is +23 +由已知得:1an 1an 21 丄2an 2 an【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。一 1解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=-n(n 1)2个奇数，1 2最后一个奇数为：1+ n(n +1)-1 x 2=n+n-12因此所求数列的前 n项的和为111an 1an21 +为等差数列,an(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 ( n2-2 2) +3 ( n2-32)

15、+ +n ( n2-n 2) 解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)= na* (n+1) -|na (n + l) =n3 Cn +13 Cn - D2 .数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前下公式对求和来说是有益的。1 + 2+ (2n _1)=nn项和公式求和，另外记住以(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3Cn 6C： L 3nC；例 10、解 Sn 0?C： 3C： 6C： L 3nC：又気二为C： + 3 Cn

16、- 1) C畀+0蹲 相加且运用= c严可得2S = 3n (C： + C： + 2“1 1例12、求和1?53?7求和1例孑丄L5?9(2n 1)(2n 3)11十 Sn=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数列1, 3x, 5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.2n 1解 设 S=1+3+5x+(2n-1)x -.当卫二1时，咎J +甞1)“ = ，可把和n-14十1* 5 3*7,9_1_ lz% C2a-l)0，前n项的和为S,若S=S (I m k)问n为何值

17、时Sn最大？(式多项)差的形式，然后前后相消。解依题意设F (性裂项法：把通项公式整理成两项常见裂项方法：1 1=n(n + k) kn(n + 1)(口 +2)ri n +11”= 2 nJ1_口 斗 1 n + 2此函数以n为自变量的二次函数。T a1 0 Si=Sk (I m k),. d v 0故此二 次函数的图像开口向下 / Sx = T时F G)最尢 f(11)中,n N*f (1 ) =f (k)i-:当l+k为偶数时，n = 时敢最大。当1卄肯宵勒时.n = 1 + k !时V最犬“符。2.方程思想【例14】设等比数列an前n项和为S,若S+S6=2S9,求数列的公比q。 分析

18、本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知1。如果q=1，则S3=3ai, S=6ai, S9=9ai。由此应推出 ai=0与等比数列不故巫+空二坐lgk 1 或IgkHPlga + l_gc = 21 gb b2=ac a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)、选择题数学5（必修）第二章：数列363整理得 q ( 2q -q -1 ) =0/ qz 0 2q6 -q3 -1 = 0 q；二 1舍，q| =-j厂亍1 .数列an的通项公式an.n n.,则该数列的前（1）项之和等于9。A. 98 B.99c.96 D.972.在等差数列an中,若S41, S84，则a仃a18a19a20的值为（)A. 9 B .12C.16 D173.在