§9.3平面向量的数量积

1、§93 平面向量的数量积预备知识对功的概念的理解 平面向量的概念、运算及运算法则 平面向量的直角坐标及运算 重点两向量的角概念平面向量的数量积的定义、性质及运算 平面向量数量积的坐标运算及综合应用 难点向量数量积与向量的区别 一个向量在另一个向量上的正投影 学习要求理解两向量角的定义、求法 理解向量数量积的含义，掌握它们的运算及性质 掌握向量数量积的坐标运算以及解决相关问题功是你所熟悉的一物理量初中物理中对功的描述是这样的：一个物体在大小为 F 的 力的作用下，发生了大小为 S 的位移，则 F 对物体位移作功(1)W=FS力F和位移S是向量，所谓力、位移的大小，实质上是F和S的模：F

2、=|F|,S=|S|,因此 更严格的写法应该是W=|F|S|.SS -图 9-24(1)图 9-24(2)注意(1)或(2)其实隐含了一个前提：力 的作用方向与物体的位移方向一致 (见 图9-24(1).若此前提不成立，如图 9- 24(2)那样，F与S之间有一个角=(FAS)，则仅F分解在位移方向的Fi才对位移作功.因为 |Fi|=|F|cos , 据F对位移作功W为W=|F|S|cos =|F| |S|cos(FAS).(3)向量之间类似于以(3)为结果的运算，在实际中经常遇到，故给予一个名称，叫做向量 的数量积.1. 向量的数量积(1) 平面向量所成的角图 9-25给定两个非零平面向量a

3、 ,b，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(aAb)(见图9-25);为了使两个非零向量所成的角唯一，规定 0 (a Ab).零向量0与任何向量所成的角认为可以任意.为了方便有 时也把(aAb)叫做向量之间的夹角.从向量所成角定义，立即可知(a Ab)=0 a/b (即 a ,b 共线);(a Ab)= a =-b (即 a ,b 互为相反向量).特别地，当(aAb)=_，则我们说a与b垂直，记作a b .2(2) 向量的数量积已知向量a ,b, a ,b的数量积是一个以下式定义的数量：a b=|a|b|cos(aAb),(9-3-1)其中

4、(a Ab)表示向量a ,b之间所成的角.据向量数量积定义，前面力 F对位移S作功W可以表示为 W=F S .向量的加减运 算，对应着数 量的加减运算向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别这种区别在运算方面的体现， 是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运 算这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积.例1求下列向量的数量积：(1)|a|=5,|b|=4, (aAb)= 2 ，求 a b;(2)a =(3,4),|b|=l, (aAb)=，求 a b;322(3) a=(3,4), b =(-3,-4)，求 a b ;(4)a

5、=(1,3)，求 a a ;(5)a=0, b=(x,y)，求 a b .2解 (1)a b=|a |b |cos(a Ab)=5 4 cos2 =-10 ;3因为(aAb)=- , cos(aAb)=0,所以 a b=0; 2 |a|=|b|= 3242 =5;因为 b=-a ,但人小=，所以 a b=|a |b|cos(a Ab)=-25 ;(4) (a Aa)=0 , cos(aAa)=1，所以 a a=|a |a |cos(a Aa)=|a |2=12+32=10;因为 |0|=0,所以不论向量 b 为何，a b=|a|b|cos(aAb)=0 |b|cos(a Ab)=0 .课内练习

6、11. 求下列向量的数量积：(1)|a|=2,|b|=8, (a")=_，求 a b ;(2)a =(1,3),|b|=_ , (bAa)=，求 a b ;432(3)a=(-3,-2), b =(3,2)，求 a b ;(4)a =(5,3)，求 a a ;(5)a=(10,y) , b=0,(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则： 交换律：a b = b a ； 数乘分配率：(a) b =a ( b )= (a b),(任意R)； 分配率：(a+b)c = ac+bc.例 2 设 AB =(3,-1), |CD|=2, =(AB acd)=_

7、，求3(1)(2AB )(3CD ); (2)( AB +2CD ) AB ； (3)(-4 AB ) (AB+2 CD ).解 |AB |= .32 ( 1)2 = .10 .(1) (2 AB ) (3CD )=6( AB CD )=610 2cos_=6 .10 ;3(2) ( AB +2 CD ) AB = AB AB +2CD AB=10.10cos0+2 210 cos=10+2 一 10 .3(3) (-4 AB )(AB +2CD )=-4 AB AB -8CD AB =-40-8 2 .10 cos-3=-8(5+ 10 ).课内练习25、1. 已知 |a |=4, |b|=

8、3, a 与 b 的夹角为 ，求(2a b) (a +2b).62. 已知 A(-1,2),B(1,4), |CD |=4, =(AB，aCD)=，求3(1) AB (3CD ); (2)(2 AB + CD ) AB ; (3) AB (- AB +2CD ).(4) 向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的 a b a b=0; 当a/b且同向时，a b = |a |b |;当a/b且方向相反时，a b=-|a |b|; a a =|a f,所以 |a |=a a ; cos(a Ab)=a b|a | |b|(9-3-2)最后一个公式（

9、9-3-2）对求向量所成角十分有用. 例3已知|a |=4, |b|=5，分别在下列条件下求a b :(1)a/b ;(2)a b.解(1)当a/b时，则(aAb)=0( a,b同向)或 (a ,b方向相反)，所以 a b=4 5=20 或 a b=-4 5=-20;当a b时，a b=0.例 4 已知 |a|=2, |b|=4, a b=-6,求(aAb)的余弦值.cos(a Ab)= a b|a| |b|课内练习31. 已知 a/b, |a |=1, |b|= 2，求 a b.2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由:(1)0 a =0 ； (2)|a|=a a ； (3

10、)ab = |a|b|; (4)a b=|a b|； (5)|a b|=|a |b|cos(a Ab)|；(6)(a b)(a b)=(a a)(b b)=|a|2|bf； (7)a/b存在实数 ，使 a b= |a 2；(8)(a + b) (a-b)=|a|2-|b|2； (9)(a+b) (a-b)=a2-b2.3. 已知 |a |=1, |b|=4, a b=2、3，求(a Ab).2. 平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数 字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积

11、.首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有i i=1； i j=j i=0; j j=1.(4)现设向量 a, b的坐标为a =(x1 ,y1), b=(X2,y2)，即a =x1i +y 1j, b=x2i +y2j,贝Va b =(x1i + y 1j) ( X2i + y2j)=X1X2i + y1y2j j- +X1y2i j- +y1X2j i -,即a b=X1X2+y 1y2.(9-3-3)这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和.以坐标表示向量数量积的基本公式，能得到我们熟知的一些公式：设 a=(X, y)，则 a a =|a |2=X2+y2,即向量模公式|a

12、|= X2 y2 ；特别地当a = AB，且起终点坐标 A(X1,y1),B (X2,y2)为已知时，由 AB =(X2-X1,y 2-y1)，即得|a |=|AB | (X2 X1)2 (y2 yj2 ,此即为两点间的距离.例5求下列向量的数量积：(1)a=(2, -1), b=(3, 1)，求 a b ； (2)c=(-1, -1), d=(1, -1)，求 c d .解应用公式(9-3-3),(1) a b=2 X3+(-1) 1=5 ；(2) c d=(-1) 1+(-1) (1)=0，由此还可知 c d .例 6 已知 a=(1,2), b=(-2, 3)，求(a+b)(a-b),

13、(a-b) (2a+b).解 解Ia+b = (1,2)+(-2,3)=(-1,5) , a-b=(1,2 )-(-2, 3)=(3, -1),2a+b=2(1,2) +(-2,3)= (0, 7),(a+b ) (a-b)=(-1) 3+5 x(-1)=-8 ；(a -b) (2a+b)=3 +(-1) 7= 7.解n (a + b) (a-b)=|a|2-|b|2=(1+22)-(-2) 2+32=-8 ；(a-b) (2a+b)=2|a|2-a b-|b|2=10-1 +2)+2 +-13=-7 .在向量a ,b(包括它们的坐标)、数量积a b、向量所成角(a Ab)及向量模|a |,|

14、b |这几个因 素之间，知道了其中的一些因素，就能求出其余因素，这是向量类问题数学练习的主要内容.例 7(1)已知 a=(-2, 6), a b=-6，设 b=(6, y)，求 y ;已知 a=(2,2), (aAb)=, |b|=2,求 b 的坐标.4解 (1)a b=(-2) 6+6y =-6，解得 y=1;(2)|a |=2 2 ,a b=|a|b|cos(aAb)=4 2cos=4.4设 b=(x, y),则据 |b|=2 及(9-3-3)又有x2 y2=2,I a b=2x+2y=4.由第二式得y=2-x,代入第一式得x2+(2-x)2=4, xi=0, X2=2;yi=2-xi=2

15、, y2=2-x2=0.所以 b=(0,2)或 b=(2,0).课内练习41. 求下列向量的数量积：(1) a=(-2, 1), b=(3, -1)，求 a b; (2)c=(4, -1), d=(2, -1)，求 c d .2. 已知 a=(2, -1), b=(-1,5)，求(2a+b) (2a-b),(a-2b) (2a+b).3. 设 a=(x, 6), a b=-6, b=(2, -1)，求 x.34. 已知 |a |=1, (a Ab)= , b=(-1,2)，求 a 的坐标.4(2) 平面向量所成角的计算公式cos(a Ab )=X1X2y22 2 2 2X1 y1 皿 y2把(

16、9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(9-3-2)，得(9-3-4)只要知道向量的(9-3-5)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事.(9-3-4)表明,坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段.特别地，从向量数量积基本结论和(9-3-4)，还能得到a bX1X2+y1y2=0,这也是用来判定向量垂直的主要手段之一.例8求向量a与b所成角：(1)a=(2,1) , b=(3,-1) ; (2) a =(2,-1) , b=(-3,-1). 解(1)应用公式(9-3-4)cos(a Ab )=22 3 1 ( 1)(a Ab)=；4cos(aAb)=

17、2(-1)()一=-,(aAb)=，.V22 ( 1)2 ；( 3)2 ( 1)224例 9 已知点 A(1,2), B(2,3), C( 2,5).求证 BAC =.2证明 AB =(2-1,3-2)=(1 , 1), AC =( 2-1,5-3)=( 3, 3 ),AB AC =1 X( 3)+1 >3=0,所以 AB AC，即 BAC = _ .2例 10 已知 a=(1,2), b=( 3, 2)，求 k 使 ka +b 与 a 3b 垂直. 解 ka + b=(k 3, 2 k +2 ), a 3b=(10, 4).为使ka+b与a 3b垂直，只需取 k使(ka + b) (a

18、 3b)=0,即卩(k-3) >0+(2 k+2) >4)=0, 2k-38=0 , k=19.所以使ka+b与a 3b垂直的k值为19,即卩19a +b与a 3b垂直.例 11 已知点 A(1,0), B(5,2)，求点 P(x,y)，使 PA PB .解 PA =(1-x,0-y), PB =(5-x,2-y),PA PB =(1- x)(5- x)+(- y )(2-y )= x2-6x +y 2-2y +5 =(x-3)2+(y-1)2-5,PA PB PA PB =(x-3)2+(y-1)2-5=0,所以坐标满足(x-3)2+(y-1)2-5=0的点P(x,y),都使使P

19、A PB.结果表明，以(3,1)为圆心、,5为半径的圆上所有点都满足 要求.从图9-26可见，这个圆正好以 AB为直径，APB是立在直径上的圆周角，自然有 PA PB .9-例12有一块不规则形状的四边形草坪，已知其中一对邻边互相垂直；四边长如图27所示伸位为m)，求BC ,CD的夹角.解 以垂直相交的两边的交点为原点，建立坐标系如图9-27，贝U B,D 的坐标为 B(0,36), D(48,0).设点C的坐标为(x ,y),贝UCB =(-x,36-y), CD =(48-x, -y), 2 2cos(CB aCD )= CB CD =x 48x y 36y |CB | |CD |52 5

20、0又由 |CB |=52, |CD |=50，得x2+(36-y)2=522, (48-x)2+y2=502,展开得 x2+y2-72y=522-362, x2+y2-96x=502-482,相加两式，得x2+y2-48x-36y =802.代入(1)得COS(CB ACD )=-802 0.3085, (CB ACD ) 72 . 2600所以BC,CD的夹角约为72 .课内练习51 .求求向量a与b所成角:(1)a=( 1,2), b=(2, 3); (2)a=( 1, 2), b=(2, 5).2. 证明以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形:(1) A( 1,4), B(5, 2),

21、C(3, 4); (2)A( 2, 3), B(19, 4), C( 1, 6).3. 已知a=(4, 2), b=( 3, 3)，当k为何值时，a+b与ka 2b垂直？4. 已知点 A(0,1), B(5,2)，求点 P(x ,y)，使 PA PB 且 PA=PB .5. 要把例12的草坪截成矩形形状，允许直角有误差3% .当工人完工后测量一下，发现BC长47.5m, BD长36.5m,需不需要返工？提高部分（平面向量的应用）引进向量是实际的需求，当然在实际中会有广泛的应用，同时向量作为一种表示有多 个因素的量，也成为表述和解决数学和实际问题的有力工具在本节中，我们仅举几例以 说明应用向量的

22、思想和方法.图1例1 在厶ABC 中，D, E分别是 AB, AC 的中点（见图11）,求证 DE/BC，且 DE = BC 2证明 须论证的是初中所熟悉的命题，在此重新予以证明，目的在于体会应用向量的方法的优点.因为D是AB的中点，E是AC的中点，所以一 11 -AD = AB , AE = AC 22在厶ABC中,1 1 1 - 1 12 2 2 2DE = AE - AD = AC - AB= (AC-AB)= BC 即 DE = BC 1 所以 DE/BC，且 DE= BC 2图2例2试从向量加减的平行四边形法则，导出平行四边 形对角线的长与两各邻边长之间的关系.解 设图2中ABCD为

23、一平行四边形，则AC = AB + AD , DB = AB - AD ,|AC |2=AC AC =( AB + AD ) (AB + AD )=| AB |2+2 AB AD +| AD |2,(1)|DB |2= DB DB =( AB - AD ) ( AB - AD )=| AB |2-2 AB AD +| AD |2,(2)(1)+ (2 )得 |AC |2+| DB f=2 (| AB |2+| AD |2).怎么样？用向 量方法论证一 些几何命题确 实简便吧？即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.例3 （1）对任何直线I: Ax + By+C=O，证明向量 N

24、=（A,B）与I垂直；向量 M（-B,A）与I 平行.(2) 对任何 两条直线 I仁 A1x+B1y+C1=0, I2: A2X + B2y+C2=0 ,证 明 I1/I2A1B2-A2B1=0证明（1）所谓向量与直线平行（垂直），是指表示向量的带箭头的短线段与直线平行; 向量与直线垂直，是指表示向量的带箭头的短线段与直线垂直.取点 Po(xo,y 0) I, P(x,y) I，则 P0P =(x-xo,y-yo), Ax 0+ By o+C=0, Ax + By +C=0;相减两式得A(x-xo)+B(y-yo)=O , 即卩 P0P N=0，所以 P0P N 因为点Po, P决定了直线I，

25、所以N I .N M=-AB +AB =0,所以N M，而N I，所以M/I (2)记 M1=(-B1,A1), M2=(-B2,A2)，贝V M1/I1, M2/I2.|1|2M1/M2-B 1：(-B2)=A1：A2AiB2-A2Bi=0 .例4 一条柔软的绳子中点处悬挂了重物，使绳子下垂成夹角见(图3).设物体重 W，求绳子两边所受的拉力.解记ei,e2为垂直向上方向、水平方向的单位向量(见图3).重物所受重力为-Wei ,绳子两边所受拉力为Fi,F2 ,则 |Fi|=|F2|.由力平衡得Fi+F2=Wei, |Ficos_ |ei+|F2 cos_ |ei=Wei,W2|Ficos_|

26、=W, |Fi|=|F2|=_22cos-2所以绳子两边所受的拉力为W .当=0 ,绳子两边所受拉力最小为2cos-2t-W图3在学习了下一章之后，就能W，随着增分析绳子两边 "2'不等长的情况了.2 2大，绳子两边所受拉力将越来越大.例5质点绕定点在半径为R的圆周上以匀角速度旋转，求质点运动速度.所以| vy(t) =:Rcos t，vy(t)=-Rcos t，或lvx(t)=:-Rsin t，或vx(t)=Rsin t.当 t = 0，vy(0) =R>0，所以应取第组，即(vy(t)=:Rcos t，(vx(t)=:-Rsin t，即v(t)=(Rcos t, -

27、 Rsint).(3)又vx(t)2+yy(t)2= 2R2，(1+tan2 t)vy(t)2= 2R2，vy(t)2= 2R2cos2 t，图4例7如图5(1)，一条河 的两岸平行，河的宽度d =500m, 艘船从A处出发到河 对岸，已知船的速度M1|=10km/h，水流速度 v2平行 于河岸，|v2|=2km/h .为使渡河 行驶航程最短，船应取怎样的 航向？渡河所用时间是多少？一 一 一1Av1 v 1/h%ie1 Le2Av2图 5(1)图 5(2)解 以定点为原点0、旋转起始点A在x轴正向，建立如图4所示的坐标系.单位时间内转过角度为，故质点经过弧长为R，即质点运动速度的大小为R.在

28、时刻 t>0 时质点位于点 B 处，则 B(Rcos t,Rsin t)， OB =(Rcos t,Rsin t).设质点运动速度为 V(t)=(Vx(t),Vy(t).因为速度沿圆周的切线方向，故v(t) OB . OB =v(t) OB =Rvx(t)cos t+Rvy(t)sin t=0， vx(t)=-vy(t)tan t, ( t +k );2当(t 一+k )时，质点运动到 y轴上，vy(t)=0，且当k为偶 2数时质点位于 y轴正向，v(t)向左，vx(t)<0 ；当k为偶数时质 点位于y轴负向，v(t)向右，vx(t)>0，仍然成立.综上所述，质点运动速度v(

29、t)为(3).(精确到1(s).)解要行驶航程最短，船应取垂直于河岸方向行驶，为此应使船的速度与水流速度的合速度v垂直于河岸(见图5(2).记V2方向的单位向量为e2,垂直于河岸的单位向量为ei(见图5(2)，贝UV2=|v2|e2, vi=-|vi|sin e2+|vi|cos ei, 其中 为vi与ei所成角.为保证合速度v垂直于河岸， 应使(-|vi|sin e2+|vi|cos ei)+|v2|e2=(-|vi|sin +|v2|)e2+|vi|cos ei=|vi|cos ei,即-|vi|sin +|v2|=0, sin =凹 2=0.2 ,11.536 .10此时|v|=|vi|

30、cos10 0.9798=9.798(km/h).以此大小的速度度过宽500m的河道，需时t为t= 0-5 (h) 184(s).9.798所以，为使渡河行驶航程最短，应使船按偏向河流上游方向11.536行驶，渡河约需用时184秒.例8 某人以1.5m长的绳索，施力 25N，把重物沿坡度为 30的斜面拖上了 6m,拖拉 点距斜面的垂直高度为1.2m 求此人对物体位移所作的功(见图6).解 因绳索长1.5m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2m，斜面坡度为30，所以作用力F与斜面之间所成的角度满足sin= 1.2s in60 =2 3 = =?1.55所以cos = 1 sin2记沿斜面向上方向的单位向量为F对位移作功e,则位移S=6e.上=30 13 (J).530 13 (J).AW=F S=|F| |S|cos =25 6所以此人对物体位移所作的功为 课内练习1. 如图，在 AABC 中，D, E两点为 AB、AC的三等分1 点，求证：DE / = - BC .32. 在菱形ABCD中，用向量证明两条对角线互相垂直.3. 对例 3 中直线"