-多元函数的极值

1、10-7 多元函数的极值多元函数的极值 一、问题的提出一、问题的提出 二、多元函数的极值和最大最小值二、多元函数的极值和最大最小值 三、条件极值三、条件极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大

2、收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有

3、 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yx

4、fz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极

5、大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题问题2：如何

6、判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：注意：偏导数不存在的点，也有可能是极值点注意：偏导数不存在的点，也有可能是极值点的的极极小小值值点点。是是函函数数例例如如，点点22)0 , 0(yxz 问题问题1 1：在哪里找极值点？：在哪里找极值点？又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当

7、当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，的极值。的极值。求函数求函数例例xyxyxyxf933),(12233 063096322yyfxxfyx解解解方程组得驻点：解方程组得驻点：(1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2)66, 0, 66 yffxfyyxyxx点点

8、(1,0)(1,2)(-3,0)(-3,2)A12012-12-12000极值极值极小极小5无极值无极值无极值无极值极大极大313, 10322 xxx2 , 0022 yyy将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解zyzzxzyx 2121,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当

9、21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.zyzzxzyx 2121驻驻点点为为)1, 1( P,求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.看书：看书：P.92:例例3，例，例4

10、，例，例5求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值

11、与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf, 42823yxyx)4(),(2yxyxyxf 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较

12、后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD)4(),(2yxyxyxf 例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对

13、自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.练习：练习：P.113:46(3),47(2)1|),(,)2(4722 yxyxyxyxz)0 , 0(0202驻点驻点 yxzyxzyx22)1()1()10( 1xxxxzxyx 上：上：在边界在边界1332 xx)21,21(036 xdxdz线段端点（线段端点（0,1),(1,0)类似地得到类似地得到(0,-1),(-1,0)21,21(),21,21(),21,21( 1|),(,)2(4722 yxyxyxyxz(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)21,21(),21,21(),21,21(),2

14、1,21( 43)21,21()21,21(,41)21,21()21,21(1)0 , 1()1, 0()0 , 1()1 , 0(, 0)0 , 0( zzzzzzzzz所以，最大值点（所以，最大值点（0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1),最大值为最大值为1；最小值点最小值点(0,0),最小值为最小值为0。看书：看书：P.112:45.2,yxzzyxR 则则为为对对应应的的圆圆心心角角分分别别的的圆圆内内接接三三角角形形三三条条边边设设半半径径为为).sin(sin(sin212yxyxRS 三角形面积三角形面积最最大大值值。上上的的围围成成的的闭闭区区域域轴轴与与直直线线轴

15、轴，在在求求Dyxyxyxyxyxf 2)sin(sinsin),( 看书：看书：P.93:例例6当已知最值不可能发生在边界上，而在区域内部只当已知最值不可能发生在边界上，而在区域内部只有一个驻点时，这个驻点，常常就是所求。有一个驻点时，这个驻点，常常就是所求。看书：看书：P.94:例例7P.113:48 xx224 cos2224xx sinx作业：作业：P.113:46(1)(3),47(1),48实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到

16、最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法的的极极值值。的的条条件件下下，求求在在),(0),(yxfzyx 决决定定。驻驻点点由由方方程程于于是是决决定定可可微微，由由设设0),(,(),(0),(, yxyxyxffdxdyffdxdzxyxzzxyyyxf 于于是是

17、上上述述方方程程就就是是令令,yyf 0),(00yxffyyxx 引进三元函数：引进三元函数：),(),(),(yxyxfyxL 问题变成求问题变成求L的驻点的问题。的驻点的问题。条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及

18、条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.的的距距离离最最小小。上上求求一一点点，到到点点在在直直线线例例)2 , 1, 3(04201 zyxzyx看书看书P.49:72.)2()1()3(),(),(222 zyxzyxfzyx离离为为到到已已知知点点的的距距为为直直线线上上的的一一点点，则则它它设设解解的的最最小小值值。求求下下，和和问问题题即即在在条条件件),(04201zyxfzyxzyx )42()1()2()1()3(222 zyxzyxzyxL 042010)2(20)1(202)3(2zyxLzyxLzLyLxLzyx 01:)3()2( zy0633:)5()4(2 zy23,21 zy1 x所求的点所求的点(1,-1/2,3/2).23)2()1()13(2232212 d这就是要求的距离最小值。这就是要求的距离最小值。作拉格朗日函数作拉格朗日函数练习：练习：P.113:49,50)1(8.49222222 czbyaxxyzL )()(.50zpypxppS 海伦公式海伦公式作业：作业：P.113:51本节作业：本节作业：