高等数学2017年最新课件第一章函数与极限

1、第一章第一章函数与极限函数与极限分析基础分析基础函数研究的对象极限研究的方法连续研究的桥梁第一节第一节 函数函数 一、一、函数的概念函数的概念定义定义 设给定非空数集设给定非空数集D,如果按照某个对应法则，如果按照某个对应法则，对于对于D中的每一个数中的每一个数x，都有唯一确定的实数，都有唯一确定的实数y与之与之对应，则称对应，则称y是定义在是定义在D上的上的x的的函数函数。 记作记作函数的两个要素：函数的两个要素：定义域和对应法则定义域和对应法则函数的表示法：函数的表示法：解析法、表格法和图像法解析法、表格法和图像法xD 自变量自变量 yf x因变量因变量定义域定义域分段函数：分段函数：一个

2、函数，在其定义域的不同部分可用不一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数分段函数。常。常见的分段函数有见的分段函数有例例1符号函数符号函数y=sgnx =，它的定义域是，它的定义域是D= .1 ,x00 ,x=0-1 ,x0, 。1-1例例2 绝对值函数绝对值函数，定义域，定义域D= ,0,0 x xyxx x, 例例3 取整函数取整函数y= ，表示不超过，表示不超过x的最大整数，它的的最大整数，它的定义域定义域D= . x, 。二、函数的几种特性、函数的奇偶性：、函数的奇偶性：设函数的定义域设函数的定义域D关于原点对称关

3、于原点对称若，有若，有f(-x)=f(x),则称则称f(x)为为D上的上的偶函数偶函数；若若 ,有有f(-x)=-f(x),则称则称f(x)为为D上的上的奇函数奇函数。xD xD 例如例如 函数与都是奇函数；函数与都是奇函数； 函数函数 与与 都是偶函数。都是偶函数。3yx3yxtanyx2yxcosyx结论：结论：奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于轴奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于轴对称。对称。、函数的周期性：、函数的周期性： ,满足满足f(x+T)=f(x),称称T为函数为函数f(x)的周期。通常说周期函数的周期是指的周期。通常说周期函数的周期是指0T最小正周期最小正周期。sin

4、yxcosyx2tanyxcotyx、函数的有界性：、函数的有界性：若若 ,使得使得0M ,xDf xM 有。、函数的单调性：、函数的单调性：212,xIxx1若对于 x、，且有 12,f xf x、 122,f xf x、2yx- ,+II,00,四、函数的运算：1、复合函数引例：自由落体运动的动能E是速度v的函数E=,而速度v又是时间t的函数v=gt，物体的动能E与t的关系就是由 函数与函数v =gt复合而成。212m v212Emv定义定义设设y=f（u）定义域为）定义域为 ，函数，函数u= 的值域的值域 且且,那么那么y通过通过u的联系成为的联系成为x的函数，则称的函数，则称y为为x的

5、复合函数，记为的复合函数，记为y= 其中其中y=f（u）叫做）叫做 1U x2U21UU 2,fxxU212Emgt外函数外函数，u= 叫做叫做内函数内函数，u叫做叫做中间变量中间变量。 X注注：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定要在外函数的定义域中。要在外函数的定义域中。例如例如 定义域；定义域；定义域定义域;由于由于 的值域的值域 故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把限制在把限制在 ，为此必须限制的定义域为，为此必须限制的定义域为于是得复合函数于是得复合函数 yf uu

6、0,fD 21uxx,D ux,1,fRD R0,11,1 ,21,1,1 .yxx 、反函数定义定义 设设y=f（x ）为定义在）为定义在D上的函数，其值域为上的函数，其值域为W,若对于数集若对于数集W中的每个数中的每个数y，数集，数集D中都有唯一的一个数中都有唯一的一个数x使使f（x）=y，这就是说变量，这就是说变量x是变量是变量y的函数，这个函的函数，这个函数称为函数数称为函数y=f（x）的）的反函数反函数，记为，记为x= 其定义其定义域为域为W,值域为值域为D.习惯上用表示自变量，用表示因变习惯上用表示自变量，用表示因变量，函数量，函数f(x)的反函数用的反函数用表示。表示。 1,fy

7、 1xfy 1yfx注：函数注：函数y=f(x)与反函数在同一平面内的图与反函数在同一平面内的图行关于直线行关于直线y=x是对称的。是对称的。 1yfx例例 求函数的反函数。求函数的反函数。解：由可解得，交换解：由可解得，交换x、y的位置，得所求函数的反函数为，其的位置，得所求函数的反函数为，其定义域为（定义域为（0，1）。）。1xxeye1xxeyeln1yxyln1xyx四、初等函数四、初等函数、基本初等函数：、基本初等函数：常量函数常量函数C（C为常数）；指数为常数）；指数函数；幂函数函数；幂函数0,1xyaaa(yx为实数）；对数函数三角函数对数函数三角函数log(0,1);ayx a

8、asin ,yxcosyx,tan ,cot ,sec ,csc ;yx yx yx yx反三角函数反三角函数sin ,cos ,arctan ,yarcx yarcx yxcotyarcx六种函数统称为六种函数统称为基本初等函数基本初等函数。、初等函数、初等函数定义定义基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称为得的由一个解析式所表示的函数称为初等函数初等函数。例如：多项式函数，例如：多项式函数， 1011nnnnnpxa xa xaxa,x 是初等函数。是初等函数。 有理分式函数其定义域是有理分式函数其定义域是R中去掉

9、使中去掉使的根后的数集，也是初等函数。的根后的数集，也是初等函数。 nmPxQx 0mQx 在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为：其定义为：双曲正弦函数双曲正弦函数2xxeeshx2xxeechxshxthxchx1chxcthxshxthx, , , ,00,22221,22,2ch xsh xsh xshxchx ch xch xsh xsinxx1.函数函数2.分段函数分段函数3.复合函数复合函数4.反函数反函数5.基本初等函数基本初等函数6.初等函数初等函数第二节数列的极限第二节数列的极限一、数列极限的定义、数列极限的定义

10、数列数列 ： 按一定规律排列的一串数按一定规律排列的一串数 称为称为数列数列，简记作。数列也可作是定义在正整数，简记作。数列也可作是定义在正整数集合上的函数集合上的函数 称为数列的称为数列的通项通项。12,.,.nx xx nx nxf n1,2,n 例数列当无限增大时，趋于例数列当无限增大时，趋于确定常数。确定常数。 nxf n3 412,.,.2 3nn nx11, 1,1,1,n nxnx nxlimnnxaa nn或x 213nxn sin2nnx11 26 47 74,.4916 25n 2133nsin2nn 时，21lim 33nnsin2n11,sin2nn11nn1lim 1

11、nnenlimlimnnnnxy及limlimlimnnnnnnnxyxylimlimlimnnnnnnnx yxylimlimnnnncxcxlimlimlim0limnnnnnnnnnxxyyy若22253lim734nnnnn22253lim734nnnnn2211253lim11734nnnnn20027007212.limnnn 2112.12.lim2nn nnnn知，11lim22nnn11lim22nnn内容小结内容小结第三节函数的极限第三节函数的极限x ,nxf nn f na f x,x 1f xx f xx yf xx f x limxf xAA X或者f x limxf

12、 xaxx limxfxax,x 0 xx1x 211xf xx1x 211,1xf xxx11xx时，0 x0 x 0.xxA时，f x0 x 0limxxfxA .f xA0,xx0 xx f xA0 x00,xxxx即记作0 x00,xxxx即记作0 x0 x0 x0 x0 x00fxA00f xA 000limlimlimxxxxxxfxAfxfxA的充要条件是 1,00,01,0 xxf xxxx0 x 00limlimxxxxfxAfxA 00limlim11xxf xx 00limlim11xxf xx 00limlimxxf xf x故当x0 00lim,lim,xxxxf x

13、Af xB 000limlimlimxxxxxxfxg xfxg xAB 00limlimxxxxkf xkf xkA 000limlimlimxxxxxxfx g xfxg xA B 000limlim0 .limxxxxxxfxfxABg xg xBx 22243lim352xxxxx2x22224322432limlim5235233xxxxxxxxxx.101101limnnnmmxma xa xab xb xb000,0,ab101101limnnnmmxma xa xab xb xb010111lim11nnn mxmmaaaxxxbbbxx00,0,anmbnmnm2112lim

14、11xx2112lim11xx2112lim1xxx1111limlim111xxxxxx12 0,fxgxh xx在点0 x ,f xh xg x 00limlim,xxxxf xg xA 0limxxh xA3sin !lim2nnn33sin !022nnnnnlim00,n233limlim0221nnnnnn3sin !lim2nnn0sinlim1xxx02x111sintan222xxxsintanxxx11sincosxxxsincos1xxxsincosxxx与OACOABOACSSS扇形0limcos1xx222cos11 cos2sin222xxxxx 20cos12xx

15、20lim02xx0lim cos10 xx0limcos1xx0sinlim1xxxsincos1xxx02x0sinlimsinxmxnx0sinlimsinxmxnx0sinlimsinxmx mxnxmxnxnx00sinlimlimsinxxmmxnxmnmxnxn0tanlimxxx0tanlimxxx000sin1limcsin1limlism1socoxxxxxxxxx0lim1 cosxxx0lim1 cosxxx002lim2lim22sinsin22xxxxxx1lim 1xxex 1,1xxxx有 1111111xxx 11111111xxxxxx 11111lim 1

16、lim11111xxxxexxx 1111lim 1lim11xxxxexxx1lim 1xxex111lim 1lim 1lim 11yyxxyyxyy111lim 1111yyeyy1lim 1xxex10lim 1ttte3lim 1xxx3lim 1xxx3333lim1xxex21lim 1xxx21lim 1xxx2211lim 1lim11ttttttx 时，t22111lim1ttet10lim 12xxx10lim 1 2xxx21220lim12xxxe0 xxx 或 0,f x 0 xxx 或2lim20 xx22xx当1lim0 xx1xx coslim0 xxx0 x

17、x |fx x 0 xxx 0limxxfx limxfx 或111lim,111xxxx 则称是当 0limxxf x 0 xx0 xxx或 1f x0 xxx或 10,f xf x则2lim32xxx232xx2132xxx 当2lim32xxx 20sinxxxx 时， 、 、22000sinlim0,lim,lim1xxxxxxxxx ,f xg x lim0fxcg x或 ,f xg x f xOg x lim1f xg x .f xg x lim0f xg x f xog x limf xg x 00sin2limlim sin22xxxxxx0 x sin2xxx与00tansi

18、n1limlim1cosxxxxxxx0 x tan xx000tansinsinsinlimlimlim1 10cosxxxxxxxxxxx 0 x tansinxxtansinxxsin1 lim0 xxx、12 lim sin1xxx、013 lim sin0 xxx、4 lim sinxxx、不存在000,xx xxxx,xxx 第四节第四节 函数的连续性函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念定义定义设函数设函数 的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量如果当自变量的增量 趋于零时，相应的函数值的增趋于零时，相应的函数值的增量量 也趋于零，则称也趋于零，则称

19、f(x)在点在点 处处连续连续。 0yf xx在点x00yf xxf x0 x0 x 00limxxf xf x0 x 00limxxf xf x 00limxxf xf xsinyx, sinsinyxxx2sincos22xxx0cos1, lim sin022xxxx00limlim 2sincos022xxxxyxsinyx 1sin,00,0 xxfxxx 001limlimsin0 xxfxxx 00limlim 00 xxf x0 x0 x0 xx0 xx 0limxxf x 00limxxf xf x0 xx 0limxxf x0 x 242xyf xx 242xyf xx2224limlim242xxxxx2224limlim242xxxxx2224l