不等式与线性规划

1、不等式与线性规划 第四讲：不等式和线性规划 （一）不等式的性质 一、知识梳理：不等式的性质 性质 4： a b, c 0? _ ; a b, c v 0? _ . 以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质. 性质 5: ab, cd? _ （加法法则 ） . 性质 6: ab0, cd0? _ （乘法法则 ） . 性质 7： ab0, n n * ? _ （乘方法则）. 性质 8： ab0, n n , n2? _ （开方法则）. 性质 9： ab0, ab? _ （倒数法则 ） . a .充分而不必要条件 c.充分必要条件 d . b.必要而不充分条件 既不充分也不必要条件 (二) 不

2、等式的解法 一、 分式不等式与一元二次不等式的关系 设 ab, x 70 等价于 _ ； x t 0 等价于(x a)(x b)0 ; x b x b x 7 0 等价于 ； 0 等价于 x a x b w 0, x b 丰 0. x b x b 二、 基础训练 2 x 3 1. 设全集 u = r，不等式 - 1 的解集是 a，则 ? u a= ( ) x a . (0,3 b . (汽 0 u (3 ,+s ) c . 3 ,+s ) d . ( , 0) u 3 ,+ ) 2. 不等式 log 2 ( x 2 + 3x)1 的解集是 ( ) a . x|0x3 b . x|x1 或 x2

3、 c. x|0x1 或 2x3 d. x| 2x 1 1 3. 2021 上海卷不等式 x1 的解为 _ . 4. 在 r 上定义运算 o： a o b = ab+ 2a+ b，则满足 x o (x 2)0 的实数 x 的取值范围为 ( ) 二、基础训练： 1.若 ab0,则（ ) b b.1 a 2. a. a 2 cb 2 c(c r) 设 a, b, c r,且 ab，贝u 1 1 acbc b. a b 3. 已知 a. 4. 5.2021 c. 2 c. a b a b ，则下列不等式正确的是 1 b 2 b、 r, lg(a b)0 3 . 3 d . a b c . 2 a 2

4、b d. 1 a 则下列不等式成立的是 a 2 浙江卷 右 a, a b c 、丁 2 c 2 1 c 2 1 1 b 为实数，则" 0ab1 '是" ba' a b 2 d 、 a|c| b|c| a. (0,2) b . ( 2,1) c. ( s, 2) u (1 ,+s ) d . ( 1,2) 5. 不等式 x 1 x 2 3 的解集是 (三) 二元一次不等式组和线性规划 一、知识梳理：线性规划问题 二元一次不等式表示的平面区域 (1) 一般地，二兀一次不等式 ax + by+ c0 在平面直角坐标系中表示直线 ax+ by + c = 0 某一侧

5、的所有点组成的平面区域 ( 半平面 )， _ 边界直线. 不等式 ax + by+ c 0 所表示的平面区域 ( 半平面) _ 边界直线. 直线 ax+ by+ c= 0 同一侧的所有点(x, y)，使得 ax+ by+ c 的值符号相同，也就是 位于直线 ax+ by+ c = 0 某一侧的所有点，其坐标适合 ax+ by + c0(ax + by+ c0);而位 于直线 ax+ by + c = 0 另一侧所有点，其坐标适合 _ . (3)可在直线 ax+ by+ c= 0 的某一侧任取一点，一般取特殊点 ( x o , y o ),从 ax o + by o + c 的符号来判断 ax

6、+ by+ c0(或 ax + by + c0)所表示的区域. 二、基础训练: 121 b. c. 24 4 36 3，已知 abc 中, y 2x, 4.若变量 x , y 满足约束条件 x+ y 1, 则 x + 2 y 的最大值是 _ y 1 5某公司生产甲，乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 a 原料 1 千克，b 原料 2 千 克；生产乙产品 1 桶需耗 a 原料 2 千克，b 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元，每桶 乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 a, b 原料都不超 过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙

7、两种产品中，公司可获得的最大 利润是 ( ) a. 2200 元 b .2400 元 c . 2600 元 d .2800 元 2x y 2 0 6.设实数 x, y 满足 y 2x 2 ,则 x 2 y 2 的取值范围是( ) y 2 4 a. -,8 b. 5 1,2、2 c. 1,8 d . u2.2 5 2x 3y 6 0 a (3 , - 1)、 b ( 1,1)、qi,3)，则 abc 区域所表示的二元 3.如图 一次不等式组为 d. 32 121 a. 2 7.在平面直角坐标系 xoy 中，m 为不等式组 x y 2 0 所表示的区域上一动点， 则|om| y 0 的最小值是 _

8、 三、课后作业: x 1, x+ y 3, 若 z = 2 x + y 的最小值为 1, 则 a 等于 y a(x3), (四) 基本不等式 、知识梳理: a + b 1. 基本不等式.ab w 厂 (1) 基本不等式成立的条件： _ . (2) 等号成立的条件：当且仅当 _ 时取等号. (3) 算术平均数与几何平均数：设 a0 , b0,则 a, b 的算术平均数为 为 _ , 故基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数 _ 2. 几个重要的不等式 (1)a 2 + b 2 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x、y r + , x+ y= p, xy= s,有下列命题： 如果 s 是定值

9、，那么当且仅当 _ 时，x+ y 有最小值 如果 p 是定值，那么当且仅当 _ 时，xy 有最大值 _ ?问题 1 当 x0 时，函数 y= x+ 1 的最大值为一 2.( ) x ? 问题 2 若 x0 , y0，且 x+ y= 2，贝 u 2xy 的最大值为 1.( ) 二、基础训练 1.若 2 x + 2 y = =1,则 x + y 的取值范围是 ( ) . a. 0,2 b 2,0 c. 一 2 ,+g ) d . ( -oo 2 2.若 x 2 , 则 x 1 - 的最小值为 x 2 3.已知 a 0, b 0,且 2 a + b = 4,则 的最小值为 ab 2 2x a 16b

10、 x - 4.不等式 b a 对任意 a, b (0 , + g )恒成则实数 x 的取值范围是( a. (-2,0 ) b.(- g ,-2)u(0 , + g ) c.(-4 , 2) d.(- oo , -4)u(2 , + o ) 5.已知 2 8 1(x 0,y 0) ，则 x y 的最小值为( ) x y a. 12 b. 14 c. 16 d. 18 1. x 1, 已知变量 x , y 满足 y 2, x y 则 x + y 的最小值是 0, 2. x 已知 x, y 满足约束条件 x y 2 y 2 ，且 x 2y a 恒成立，则 a 的取值范围为 1 3. x+ y 1,

11、若实数 x , y 满足 x y+1 y o, 0 ,则 x 2 + ( y + 1) 2 的最大值与最小值的差为 4.已知 a 0, x ,y 满足约束条件 ，几何平均数 (2 ) a + (a, b 同号);(3)ab w 号 2 (a, b r)； (a, b r)； （五）含绝对 值的不等式 |a| |b|a b|a| |b| 结论：一、基础训练 1. 关于 x 的不等式 x 1 x 3 m 在 r 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ 2. _ 关于 x 的不等式|x 1| + |x 2| w a 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 _ 3. 对任意 x r,不等式|2 x|

12、+ |3 + x| a 2 4a 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 4函数 y | x 2| | x 2 | 的最大值是 _ 。 5如果关于 x 的不等式 |x 10 | | x 20| a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围为 二、课后作业： 1对任意实数 凶，若不等式 |x 2| |x 1| k| 恒成立 ， 则实数 k 的取值范围是 （） a k 1 b k 1 c k w 1 d k 1 2 2. 不等式 |x 3 |x 1 a 2 3a 对任意实数冈恒成立，则实数冈的取值范围为（ ） a. (,1u4,) b . （ ,2u5,) c. 1,2 d . （ ,1u2,) 3.函数 y x 4| x 6 的最小值为（） a. b . 4 c .园 d . 6 6. 已知正数 x, y 满足 x 2y 1,则丄 x 的最小值为 y a 2 .一 2 b 、4.2 c 3 2 2 d 3 4.2 3x y 6 0 7. 设 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，若目标函数 z=ax+by x 0,y 0 2 值为 12,则 的最小值（ ) a b a. 25 r 8 cd . 4 b.