2441相似三角形的判定精编版

1、24.4相似三角形的判定（相似三角形的判定（1） 一、复习引入一、复习引入 什么是相似形什么是相似形? ? 形状形状相同的两个图形相同的两个图形 今天我们来研究其中比较特殊的情况今天我们来研究其中比较特殊的情况 相似相似三角形三角形 相似三角形定义：相似三角形定义： 如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形叫做那么这两个三角形叫做相似三角形相似三角形 对应相等的角对应相等的角 是相似三角形是相似三角形 及其顶点及其顶点 以对应顶点以对应顶点为端点的边为端点的边 是相似三角形是相似三角形 的对应角和的对应角和对应顶点，对应顶

2、点， 的对应边的对应边 相似三角形的表示方法：相似三角形的表示方法： ?ABC ，?A1B1C1是相似三角形(如图）BAAC BC记作：记作： ABC ABC 相似于相似于 ABC 对应顶点的字对应顶点的字? ABC读作：读作： 母分别写在相母分别写在相对应位置上对应位置上 探究探究 相似三角形的性质相似三角形的性质 如图，如图，DE是是ABC的中位线，请问的中位线，请问ABC与与ADE有何关系？为什么？有何关系？为什么？ ADAEDE1?ABACBC2DEBC ADAEDE1?ADE? ?B,?AED? ?CABACBC2?ADE? ?B,?AED? ?CDAE?A? ?ABC由相似三角形的

3、定义可得由相似三角形的定义可得: ADEABC 相似三角形的性质相似三角形的性质： 相似比相似比 相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应角相等， 对应边成比例对应边成比例 k与与k有何数量有何数量关系？关系？ AD1如图，如图， AB?2两个相似三角形的两个相似三角形的对应边对应边的比的比k，叫做这，叫做这两个相似三角形的相似比（或相似系数）两个相似三角形的相似比（或相似系数） AAD1k?的相似比的相似比 与 ?ABC?ADEAB2AB1的相似比的相似比 k? ?与 ? 2此时此时k= 2吗吗 AD1或 k? ?kDEk?k? 1BC注意：两个相似三角形的相似比与表述注意：两个相似三角形的

4、相似比与表述这两个三角形相似的这两个三角形相似的 顺序顺序有关有关 思考思考 对应边相等对应边相等 当两个相似三角形的相似比当两个相似三角形的相似比 k=1，这两个，这两个相似三角形有怎样的关系？相似三角形有怎样的关系？ 全等全等三角形三角形 想想全等三角形与相似三角形是何关系？想想全等三角形与相似三角形是何关系？ 全等三角形全等三角形一定是一定是相似三角形，相似三角形， 全等三角形是相似三角形的全等三角形是相似三角形的 特例特例 新知探索新知探索 同一个三角形同一个三角形 如果如果 ?ABC ?A1B1C1， A1B1C1 ?A2B2C2?那么那么 ?ABC与 ?A2B2C2相似吗？为什么？

5、相似吗？为什么？ ABCA1B1C1 A1B1C1A2B2C2 ABACBC?A1B1A1C1B1C1?A? ?A1,?B? ?B1,?C? ?C1? A1B1A1C1B1C1?A2B2A2C2B2C2?A1? ?A2,?B1? ?B2,?C1? ?C2? 相似三角形的定义相似三角形的定义 等量代换得等量代换得 ABACBC?A2B2A2C2B2C2?A? ?A2,?B? ?B2,?C? ?C2?可得： AB?A1B1?AC?A1C1?BC?B1C1AABCA1C1A2CB1CB2C22B22B1AC A1B1222 相似三角形具有相似三角形具有传递性传递性 （判定方法）（判定方法） 如果两个

6、三角形如果两个三角形分别分别与与同一个同一个三角形相似，那么三角形相似，那么这两个三角形也相似这两个三角形也相似 符号语言：符号语言： ?ABC ?A1B1C1, ?A1B1C1 ?A2B2C2 ?ABC ?A2B2C2(相似三角形的传递性相似三角形的传递性) 思考思考 如图，如果如图，如果DEBC，那么，那么 ?ADE与 相似三角?ABC相似吗？为什么相似吗？为什么? 形的定义 对应角相等，对应角相等， 现有的证明两个三角形现有的证明两个三角形对应边成比例对应边成比例 相似的方法是什么？相似的方法是什么？ 符合角和边的条件了吗？符合角和边的条件了吗？ 公共角：公共角：A=A ADE=B,AE

7、D=C DBECADEBC ADAEDE?ABACBC? ADE ? ABC思考思考 如图，如果DEBC，那么 ?ADE与 ?ABC相似吗？为什么? A证明： DEBC DEADAE?,BCABACDBEC?ADE? ?B,?AED? ?C在?ADE和?ABC中,DEADAE?,BCABAC?ADE? ?B,?AED? ?C?DAE? ?BAC，? ?ADE ?ABC由平行得对应线由平行得对应线段成比例，同位段成比例，同位角相等角相等. 再加公共角，得再加公共角，得对应角相等，对对应角相等，对应线段成比例，应线段成比例，得三角形相似得三角形相似. ，那，那 ?ADE探究探究 如果如果DE交直线

8、交直线AB、AC所形成所形成 ? ADE与与?ABC还相似吗？为什么还相似吗？为什么? 么么 与思考题区别在哪与思考题区别在哪？ BAC=DAE ADE=B,AED=C DEBC AADAEDE?ABACBCD E 仍可得仍可得： ADE ?B? ABCC归纳小结： 相似三角形的预备定理相似三角形的预备定理 ： 一边一边 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线直线 直线，截得的三角形与原三角形相似直线，截得的三角形与原三角形相似 符号表达：符号表达： DEBC ?ADE ?ABC（相似三角形的预备定理） AEADDBECBC适时小结：适时小结： 掌握了

9、证明三角形相似的两种方法：掌握了证明三角形相似的两种方法： 一是定义法；一是定义法； 还有其他的还有其他的 证明方法吗？证明方法吗？ 二是预备定理二是预备定理 能类比全等三角形的判定定理得到相能类比全等三角形的判定定理得到相似三角形的判定定理吗？似三角形的判定定理吗？ 思考：思考：在 ?ABC与 ?A1B1C1中，? A? ?A1?B? ?B1，能证明能证明 ?ABC与 ?A1B1C1预备定理预备定理 A 已有两个角对应相已有两个角对应相等，用定义还是预等，用定义还是预备定理证相似？备定理证相似？ 由由A=A1，可，可 知将两个三角形知将两个三角形 DEBC 的的A和和A1叠叠 D 作相似 合

10、时，合时，B1在在AB 证全等 AD=A1B1 B 上，上，C1在在AC上。上。 此时就能构造出此时就能构造出 辅助线写法：在辅助线写法：在边边AB（或延长线）上，（或延长线）上，预备定理的基本预备定理的基本ABC 截取截取AD=A图形图形 1B1 ，过，过D作作DEBC交交AC于于E. 相似吗相似吗? ADEABC ADEA1B1C1 怎点点D的位置？的位置？ 样E 添加C A1 辅助线，才B1 C1 能ABCA1B1C构1 造在 ?ABC与 ?A1B1C1中， A? ?A1，? B? ?B1求证：? ABC ?A1B1C1证明：在证明：在AB截取截取AD=A1B1 ，过，过D作作DEBC

11、交交AC于于E. D 在 ?ADE和 ?A1B1C1中DEBC， B ? ?A? ?A1,? ?ADE? ?B?AD?A1B1,?B? ?B1.?ADE? ?B ,1?A E A1 C ? ?ADE? ?B1.?ADE? ?A1B1C1.B1 C1 DEBC， ADEABC (相似三角形的预备定理相似三角形的预备定理) ?A1B1C1(相似三角形的传递性相似三角形的传递性) ? ABC相似三角形判定定理相似三角形判定定理1： 如果一个三角形的两角与另一个三角形的如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似两角对应相等，那么这两个三角形相似 （两角对应相等，两个三角形相

12、似）（两角对应相等，两个三角形相似） A 符号语言：符号语言： ?在?ABC和?A1B1C1中?A? ?A1,?B? ?B1B A1 C ? ?ABC ?A1B1C1B（两角对应相等，两个三角形相似）（两角对应相等，两个三角形相似） 1 C1 例1、已知：在ABC中，AB =AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EDF=B， AB=C 求证：? BED ?CDF 用哪种方法来证明用哪种方法来证明BEDCDF呢呢？ BE4 3 2 DF1 C相似三角形相似三角形 判定定理判定定理1 F 4 1 B 5 3 2 D 再需找出哪对角相等？再需找出哪对角相等？ 1=2还是还是3=4？ E 观察图

13、形可得，观察图形可得，EDC是是 EBD的外角，同时又是的外角，同时又是 5与与2的和，因此可得的和，因此可得 C 2=1 例例1、已知：在、已知：在ABC中，中，AB=AC，点，点D、E、F分别在分别在BC、AB、AC上，上，EDF=B， A求证求证：? BED ?CDF有一对角相等，有一对角相等， F找另一对角相等找另一对角相等E 证明：? AB?AC,? ?B? ?C?EDC? ?B? ?1 ,?EDC? ?3? ?2 ,且?3? ? B,BDCF E 1 3 2 B D C ? ?1? ?2 .?在?BED和?CDF中?B? ?C,?1? ?2 ,? ?BED ?CDF（两角对应相等，

14、两个三角形相似）（两角对应相等，两个三角形相似） 课堂练习：课堂练习： 1、依据下列条件判定ABC和DEF是否相似，并说明理由如果相似，那么用符号表示出来 A=D=70，B=60，E=50； A70A=D D70C=E 5060BCFE由三角形内角和由三角形内角和可得可得：C=50 ABCDEF 课堂练习：课堂练习： 1、依据下列条件判定ABC和DEF是否相似，并说明理由如果相似，那么用符号表示出来 A=40o，B=80，E=80，F=60 A40由三角形内角和可得：C=60，即C=F DB=E 808060BC EFABCDEF 课堂练习：课堂练习： ABCD，ADBC 2、如图：、如图：E

15、是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边BA延长线上的延长线上的一点，一点，CE交交AD于点于点F图中有那几对相似三角形？图中有那几对相似三角形？ ADBC EABCD E E AFDA F F A C D BCB C AFEBCE AFEDFC 由相似传递性可得：由相似传递性可得： DFCBCE 课堂练习：课堂练习： 3、已知：如图，已知：如图，D、E分别是分别是ABC边边AB、AC上的点，上的点，且且 ?AED? ?B求证：AE ?AC?AD?AB A由由AED=B, 公共角公共角A 由判定定理由判定定理1， 得得AEDABC BDEC根据四条线段的位置，可根据四条线段的位置，可 知应寻找

16、比例关系知应寻找比例关系 ADAE ? ACAB课堂练习：课堂练习： 3、已知：如图，D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且 ?AED? ?B求证：AE ?AC?AD?AB A证明：?在?BED 和?CDF中?A? ?A,?AED? ?B? ?AED ?ABC（两角对应相等，两个三角形相似）（两角对应相等，两个三角形相似） DECBADAE?ACABAE即： ?AC?AD?AB课堂小结：课堂小结： 本节课主要学习了什么，有何收获？本节课主要学习了什么，有何收获？ 1、相似三角形的定义相似三角形的定义 对应角相等，对应线段成比例对应角相等，对应线段成比例 2、相似三角形的性质相似三角形的性质：