2412垂直于弦的直径第1课时34105精编版

1、 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（ 第第1课时）课时） 重点：垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论 难点：垂径定理及其推论的题设和难点：垂径定理及其推论的题设和 结论的区分结论的区分 知识点知识点: 1.圆的对称性圆的对称性 2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？ 可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴 活活 动动 二二

2、如图，如图，AB是是O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径 CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴 （2） 线段：线段： AE=BE 弧弧:AC=BC,AD=BD C O E A D B 把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，

3、重合， AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合 C 即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB, 并且平分并且平分AB及及ACB O E A B D 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧 “ 知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 注意注意: :当具备了当具备了(1)

4、(3)(1)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制 . . 垂径定理的推论垂径定理的推论 ? 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中: CD是直径是直径, CDAB, AM=BM, AC=BC, AD=BD. 只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. C A M B ?O 你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的相信自己是最棒的! D C 垂径定理及推论垂径定理及推论 条件 结论 命题 A M B O 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两

5、条弧. D 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且 平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于

6、弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 练习练习 D D在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧 A AB BE EA AO OO OC CE EO OA AA AE EC CB BC CB BD DO OE EC CB BO OD DA AE ED DB BA AE EC CB B一、判断是非：一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ? （2）平分弦

7、的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。 A C O D A C ?O B A C ? ? ?O B (1) B (2) D (3) D (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。 ? （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。 ? （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 ? （7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦 ? C B ?O A C B C ?

8、O A D A ?O E D (6) B (4) (5) 填空： 1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD） _，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O2 4 到AB的距离是_cm，AB=_cm. A C E 。O B 第1题图 D 。 O H A B 第2题图 选择： 如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的A ） 个数为 （ A A

9、、3 B、2 C、1 D、0 。O C B D 活活 动动 三三 练习练习 1如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求O的半径的半径 解：解： OE?AB在RtAOE中 2211?AE?AB?8?422A E B O AO?OE?AE22222AO?OE?AE = 3+4 =5cm答：答：O的半径为的半径为5cm. 2如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形 证明：证明： OE?AC OD?AB AB?AC

10、?OEA?90 ?EAD?90 ?ODA?90四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， OEAC ODAB 11 AD?AB AE?AC，22又又 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. C E O D B A 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中

11、，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 在直径是在直径是20cm的的O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_ 5 3 cmODAB弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则13这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为 cm . 4CADOB已知已知P为为O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等点的最短的弦等2 5 cm于于_ 小小 结结 、圆的轴对称性、圆的轴对称性 、垂径定理及其推论的图式 直径平分弦直径