复变函数课件：5-2 留数(Residue)

1、& 1. 留数的定义留数的定义& 2. 留数定理留数定理& 3. 留数的计算规则留数的计算规则2 2 留数留数(Residue)1. 留数的定义留数的定义定义定义设设z0为为f (z)的孤立奇点，的孤立奇点， f (z)在在z0邻域内的邻域内的洛朗级数中负幂次项洛朗级数中负幂次项(z- z0)1的系数的系数c1称为称为f (z)在在z0的留数，记作的留数，记作Resf (z), z0 或或 Res f (z0)。由留数定义由留数定义, Resf (z), z0= c1 (1) nnnzzczf)()(0设设 cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐项项积积分分得得

2、：线线对对上上式式两两边边沿沿简简单单闭闭曲曲),)(00在在其其内内部部包包含含的的弧弧立立奇奇点点是是zczfz)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留数定理留数定理)3(),(Re2)()(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 上上解解析析内内及及在在除除此此以以外外限限个个弧弧立立奇奇点点内内有有有有在在是是一一条条简简单单闭闭曲曲线线设设定理定理,), 2 , 1(,围围绕绕内内的的弧弧立立奇奇点点，将将曲曲线线互互不不相相交交的的正正向向简简单单闭闭用用互互不不包包含含kkzcnkc 证明证明Dcznz1z3z2 nkknkcc

3、zzfsdzzfidzzfin11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得证！得证！A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数。奇点的留数。 一般求一般求Resf (z), z0是采用将是采用将f (z) 在在 z0邻域内展开邻域内展开成洛朗级数求系数成洛朗级数求系数c1的方法的方法,但如果能先知道奇点但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。的类型，对求留数更为有利。

4、0),(Re0)(010 zzfsczzi为为可可去去奇奇点点若若以下就三类奇点进行讨论：以下就三类奇点进行讨论：3. 留数的计算规则留数的计算规则规则规则有以下几条有以下几条为极点时，求为极点时，求若若),(Re)(00zzfszziii 规则规则I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一级级极极点点是是若若级极点级极点的的是是若若mzfz)(0规则规则II)5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展开展开为本性奇点为本性奇点若若事实上事实上，由

5、条件，由条件)0( ,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式两两边边以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm阶阶导导数数得得两两边边求求.)5(,)!1()()(lim10110式式移移项项得得 cmzfzzdzdmmmzzA当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzpzzfszfzzQzQzpzzQzpzQ

6、zpzf 且且的的一一级级极极点点是是处处解解析析在在设设规则规则III事实上事实上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一级级极极点点为为从从而而的的一一级级零零点点为为及及zQzzQzzQzQ )0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 处处解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzpzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得证证！)0)( ()( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzpzzzQzQzpzfzzzzfszzzz 由由规规则则级级极极点点的的为为则则,)(0zfz 22)1(25:zdzz

7、zz计计算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和一个二级极点和一个二级极点的内部有一个一级极点的内部有一个一级极点在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzxzfzfszz 由由规规则则)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由规规则则22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向计计算算例例2解解内内，都都在在圆圆周周个个一一级级极极点点有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由规则由规则041414

8、1412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz计计算算例例3解解的的三三级级奇奇点点有有一一个个0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由规规则则)(tanNnzdznz 计计算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由法法则则为为一一级级极极点点III,

9、21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz ninizsizdznknz4)2(2)(tanRe2tan21 故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三级级零零点点是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三级极点。的三级极点。:)(级级数数展展开开作作若若将将Laurentzfsinlim)!13(10),(Re30zzzzfsz 由规则由规则! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！! 51)cos(lim! 5