第2章-交换理论基础

1、第第 2 章章 交换理论基础交换理论基础 教学大纲要求：教学大纲要求：1.基本要求基本要求（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。义、计算。（3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。（4）掌握等待制交换系统的基本理论。）掌握等待制交换系统的基本理论。2.重点、难点重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待重点：生灭过程在交换理

2、论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基本理论。制交换系统的基本理论。 难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。之间的关系。3.说明说明 交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过程，掌握重要结论。程，掌握重要结论。 1关于关于“交换理论交换理论” 交换理论是随着电话交换技术的应用和交换理论是随着电话交换技术的应用和发展而产生的一门学科。它的发展而产生的一门学科。它的任务任务是研究电是研究电话负载、电话交换系统结构和服务质量之间话负载、电话交换系统结构和

3、服务质量之间的数量关系的数量关系, ,提供最优系统设计理论和方法提供最优系统设计理论和方法。 交换理论的研究对象不仅限于电话交换交换理论的研究对象不仅限于电话交换系统，其原理和方法还应用于其他各类信息系统，其原理和方法还应用于其他各类信息交换系统。交换系统。 2 通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量要求。因为用户的服务需求是要求。因为用户的服务需求是随机随机发生的，

4、每次服务发生的，每次服务占用资源的时间也是随机的，所以这是一种占用资源的时间也是随机的，所以这是一种随机服务随机服务系统系统，需要借助于，需要借助于概率论概率论及及随机过程随机过程的理论。的理论。交换理论研究方法交换理论研究方法交换技术交换技术交换理论交换理论概率论与随机过程概率论与随机过程 3 对于对于电路交换电路交换系统而言，它们的服务对象是用系统而言，它们的服务对象是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接建立以后交户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达时刻和持续时间的换时延可以忽略不计。但呼叫到达时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙闲状态的不确定

5、性，当服随机性导致交换服务设备忙闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态时，新到达的呼叫就不能得到服务设备处于全忙状态时，新到达的呼叫就不能得到服务。所以其主要的务。所以其主要的QoS指标是呼叫的损失率，简称指标是呼叫的损失率，简称呼呼损损率。率。 对于对于分组交换分组交换系统而言，它们的服务对象是分系统而言，它们的服务对象是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组交换系统的组，它的交换机制是存储转发。所以分组交换系统的主要主要QoS指标是分组的指标是分组的转发时延转发时延和和丢失率丢失率。 4交换理论研究方法交换理论研究方法(续续)2.1 概率论与随机过程概率论与随机过程 二项分布：二项分布：

6、交换系统中的各种服务设备，如各级交换单元的输交换系统中的各种服务设备，如各级交换单元的输入输出链路、交换机的中继线等，这些设备的占用情况往往可入输出链路、交换机的中继线等，这些设备的占用情况往往可以用二项分布来分析。以用二项分布来分析。泊松分布：泊松分布：在实际问题中，有许多随机变量服从泊松分布。例在实际问题中，有许多随机变量服从泊松分布。例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。等，都可用泊松分布来描述。 概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内容十分概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内

7、容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的内容，包括：丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的内容，包括： 5指数分布：指数分布：在交换理论中，有两种重要的随机变量服从指数分在交换理论中，有两种重要的随机变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔时间和电话呼叫的占用时长。布，这就是两个相邻呼叫的间隔时间和电话呼叫的占用时长。 随机过程随机过程：随机过程理论的内容极为广泛，与交换理论密切相随机过程理论的内容极为广泛，与交换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔可夫过程的特殊情况，即泊关的是马尔可夫过程，尤其是马尔可夫过程的特殊情况，即泊松过程和生灭过程。松过程和生灭过程。1. 二项分布二项分布

8、 把一个随机试验重复地进行把一个随机试验重复地进行n次，如果试验的结果互不影次，如果试验的结果互不影响，则称这样的试验为响，则称这样的试验为n重重独立试验独立试验。如果在。如果在n重独立试验中，重独立试验中，每次试验只有两个可能的结果：事件每次试验只有两个可能的结果：事件A发生或事件发生或事件A（A的对立的对立事件）发生，则称这样的试验为事件）发生，则称这样的试验为n重重贝努里贝努里Bernoulli试验试验，相，相应的数学模型叫贝努里试验概型。在贝努里概型中，我们关心应的数学模型叫贝努里试验概型。在贝努里概型中，我们关心的是的是n次试验中事件次试验中事件A正好发生正好发生k次的概率。可以证明

9、，次的概率。可以证明，n次独立次独立重复试验中事件重复试验中事件A正好发生正好发生k次的概率为次的概率为:2.1.1 概率论基础概率论基础 6式中式中( ( ) )nkqpCkPknkknnLL, 2 , 1 , 0= = =- -pq- -= =1)!( !knknCkn- -= =定义定义 设随机变量设随机变量X可能的取值为可能的取值为k=0,1,2n，其，其概率函数为概率函数为: 这种类型的分布之所以称为二项这种类型的分布之所以称为二项(Binomial)分分布，是因为概率计算式的右边恰好是牛顿二项式布，是因为概率计算式的右边恰好是牛顿二项式(q+px)n 的展开式中的展开式中 x k

10、项的系数。项的系数。 7二项分布二项分布 这里，这里，q=1-p，则称则称X服从参数为服从参数为(n,p)的的二项分布二项分布，记为记为: XB(n,p)。nkqpCkPkXPknkknn,2,1,0)()(LL= = = = =- -例例: 设某交换机中有设某交换机中有5个服务器，每个服务器的占用是完全独个服务器，每个服务器的占用是完全独立的，每个服务器被占用的概率为立的，每个服务器被占用的概率为0.4。要求计算。要求计算5个服务器有个服务器有k个被占用的概率。个被占用的概率。解：解：首先分析服务器的占用问题能否归结为贝努里试验概型。首先分析服务器的占用问题能否归结为贝努里试验概型。我们可以

11、把检验一个服务器的忙闲状态看成一次试验，检验我们可以把检验一个服务器的忙闲状态看成一次试验，检验5个服务器就是个服务器就是5次试验，且试验是独立的。因此，服务器的占次试验，且试验是独立的。因此，服务器的占用情况满足用贝努里概型的假设条件，相应的占用概率可以用用情况满足用贝努里概型的假设条件，相应的占用概率可以用二项分布计算。二项分布计算。 根据题意，已知：根据题意，已知：n=5，k=0,1,2,3,4,5，p=0.4，q=0.6。代入。代入公式可求得相应结果（参考教材）。公式可求得相应结果（参考教材）。 8二项分布举例二项分布举例 = =0102. 050768. 042304. 033456

12、. 022592. 01078. 0)(0kXPk2. 泊松分布泊松分布 泊松（泊松（Poisson）分布可由二项分布取极限得到。）分布可由二项分布取极限得到。又设又设np=0是常数，对于是常数，对于n=1,2均成立，则对任均成立，则对任一个非负整数一个非负整数 k 有有:上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足 9泊松定理泊松定理 设随机变量设随机变量Xn(n=1,2, )服从二项分布，即服从二项分布，即nkppCkXPknkknn, 1 , 0,)1()(LL= =- -= = =- -!)1 (limkeppCkknkknl ll l- - -n

13、= =- -1!00= = = =- - = =- - = =- - l ll ll ll ll ll leekekekkkk定义定义 设随机变量设随机变量 X 可能的取值为可能的取值为k=0,1,2, ，其概，其概率函数为率函数为:其中其中0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记为，记为XP()。 10泊松分布泊松分布 泊松分布只有一个参数泊松分布只有一个参数，其数学期望，其数学期望，E(X)= ，方差方差 D(X)=2= 。 由泊松定理知，当由泊松定理知，当n很大而很大而p很小且很小且np=0是常数时，是常数时，二项分布二项分布B(n,p)的概率函数近似等于

14、泊松分布的概率函数近似等于泊松分布P()的概的概率函数，即有：率函数，即有： !keqpCkknkknl ll l- - - LL,2,1 ,0!)(= = = =- -kkekXPkl ll l 例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来 描述。描述。作为例子，考虑在作为例子，考虑在0,t时间段内到达的呼叫次数时间段内到达的呼叫次数N这一随机变量，它服从下式所示的泊松分布：这一随机变量，它服从下式所示的泊松分布： 这里，数学期望这里，数学期望E(N)=t是是0,t时间内到达的时间内到

15、达的平均呼叫数，而平均呼叫数，而就是单位时间内到达的就是单位时间内到达的平均呼平均呼叫数叫数，称为，称为到达率到达率或或呼叫强度呼叫强度。 11LL,2, 1 ,0!)()(= = = =- -kektkNPtkl ll l泊松分布泊松分布 例例 某电话局的统计资料表明，该局平均每分钟某电话局的统计资料表明，该局平均每分钟到达到达12个呼叫。试按泊松分布计算，在一分钟内个呼叫。试按泊松分布计算，在一分钟内到达到达k个呼叫的概率（个呼叫的概率（k=0,1,2.）。）。解解 根据题意有根据题意有t =12，根据泊松分布公式，一，根据泊松分布公式，一分钟内到达分钟内到达k个呼叫的概率为：个呼叫的概率

16、为：计算结果示于右图。泊松计算结果示于右图。泊松分布由参数分布由参数决定，其曲决定，其曲线是非对称的，随着线是非对称的，随着增增大，非对称性越不明显，大，非对称性越不明显，但概率峰值下降。但概率峰值下降。 12泊松分布举例泊松分布举例)2,1 ,0(!12)(12LL= = = =- -kekkNPk24k681012141618200.020.040.060.080.100.120P(k)3. 指数分布指数分布 定义定义 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布，记为的指数分布，记为Xe（），其中），其中为常数。

17、为常数。 13000)( = =- -xxexfxl ll l指数分布的分布函数为：指数分布的分布函数为：0010)( - -= =- -xxexFxl l 指数分布是一种连续型随机变量的概率分布，在交换理论指数分布是一种连续型随机变量的概率分布，在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数分布：中，有两种很重要的随机变量服从指数分布： 1）两个相邻呼叫的间隔时间；）两个相邻呼叫的间隔时间； 2）电话呼叫的占用时长。）电话呼叫的占用时长。 可以证明其服从指数分布，前面已经指出，在时间可以证明其服从指数分布，前面已经指出，在时间 t 内发生的呼叫数服内发生的呼叫数服从泊松分布，由其概率函数公式容

18、易得到在时间从泊松分布，由其概率函数公式容易得到在时间t 内没有发生呼叫的概率为：内没有发生呼叫的概率为： 关于两个相邻呼叫的间隔时间关于两个相邻呼叫的间隔时间 14指数分布指数分布 tteetNPl ll ll l- - -= = = =0!0)()0( 在时间在时间 t 内没有发生呼叫，也就是相邻呼叫的间隔时间大于内没有发生呼叫，也就是相邻呼叫的间隔时间大于 t，如果相，如果相邻呼叫的间隔时间用随机变量邻呼叫的间隔时间用随机变量X表示，则对于任意表示，则对于任意 t 0，X的分布函数为：的分布函数为：teNPtXPtXPtFl l- - -= = =- -= = - -= = = =1)

19、0(1)(1)()( 显然，当显然，当 t 0 时，时，F(t)=P(Xt ) =0，从而，从而0010)( - -= =- -ttetFtl l由此得证。由此得证。重要结论重要结论：在呼叫次数服从泊松分布：在呼叫次数服从泊松分布的情况下，两个相邻呼叫的间隔时间的情况下，两个相邻呼叫的间隔时间服从指数分布。参数服从指数分布。参数为单位时间内为单位时间内平均发生的呼叫数，又称为平均发生的呼叫数，又称为呼叫强呼叫强度度。知道了呼叫强度。知道了呼叫强度，就完全掌握，就完全掌握了呼叫间隔时间的概率分布。了呼叫间隔时间的概率分布。 15指数分布指数分布 关于电话呼叫的占用时长关于电话呼叫的占用时长 大量

20、统计资料表明其近似服从指数分布，令大量统计资料表明其近似服从指数分布，令S表示呼叫的平均通话时长，令表示呼叫的平均通话时长，令表示单位时间表示单位时间内结束通话的平均呼叫数，又称内结束通话的平均呼叫数，又称为为呼叫结束强呼叫结束强度度，则，则=1/S。描述通话时长的概率密度函数和。描述通话时长的概率密度函数和分布函数为：分布函数为： 16指数分布指数分布 000)( = =- -ttetftm mm m0010)(/ = =- -tteStfSt0010)( - -= =- -ttetFtm m0010)(/ - -= =- -ttetFSt例例 设呼叫的平均通话时长为设呼叫的平均通话时长为3

21、分钟，分钟，(1) 试计算通话时长大于试计算通话时长大于3分钟的概率；分钟的概率；(2) 如果呼叫已经通话如果呼叫已经通话3分钟，试计算在此条件下分钟，试计算在此条件下呼叫继续通话大于呼叫继续通话大于3分钟的概率。分钟的概率。解解 (1)已知已知S=3分钟，用随机变量分钟，用随机变量X表示通话时长，令表示通话时长，令A表示事件表示事件 “X3”，则，则 P(A)为通话时长大于为通话时长大于3分钟的概率分钟的概率(2)令令B表示事件表示事件“X6” 。由题意知，要求。由题意知，要求P(B/A) 该例揭示了指数分布的一个特性，在通话时长服从指数分该例揭示了指数分布的一个特性，在通话时长服从指数分布

22、的条件下，呼叫还将继续通话多长时间，与它已经通话多布的条件下，呼叫还将继续通话多长时间，与它已经通话多长时间无关。我们把这个特性称为指数分布的长时间无关。我们把这个特性称为指数分布的“无记忆性无记忆性”。 17指数分布举例指数分布举例 eeFXPXPAP/ 1)3(1)3(1)3()(3/ 3= = =- -= = - -= = = =- -eeeAPBPAPABPABP1)()()()()/(3/ 33/ 6= = = = =- - -2.1.2 随机过程及应用随机过程及应用 交换系统是典型的随机服务系统，用户要求通信的业务量和交换系统是典型的随机服务系统，用户要求通信的业务量和服务设备的状

23、态都是随时间变化的。研究这样的随机现象，必须服务设备的状态都是随时间变化的。研究这样的随机现象，必须引入一个依赖于时间参变量引入一个依赖于时间参变量 t 的随机变量。的随机变量。定义定义 我们称依赖于参变量我们称依赖于参变量 t 的随机变量集合的随机变量集合X(t)为随为随机过程，其中机过程，其中t属于一个固定的实数集属于一个固定的实数集 T，记为，记为X(t),tT ，简写为，简写为X(t)，参变量，参变量 t 一般代表时间。一般代表时间。 随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量。随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量。X(t)的取值的取值又称过程的状态。根据状态与时间的取值，随机过

24、程分为四类：又称过程的状态。根据状态与时间的取值，随机过程分为四类：（1）状态离散、时间离散；（）状态离散、时间离散；（2）状态离散、时间连续；）状态离散、时间连续；（3）状态连续、时间离散；（）状态连续、时间离散；（4）状态连续、时间连续。）状态连续、时间连续。与交换理论有密切联系的主要是状态离散的马尔可夫过程，包括与交换理论有密切联系的主要是状态离散的马尔可夫过程，包括泊松过程、生灭过程等。泊松过程、生灭过程等。 18 为了描述随机过程的统计特性，自然要知道为了描述随机过程的统计特性，自然要知道X(t)对于每个对于每个tT的分布函数或概率函数。对于状态离散的随机过程，用如下的的分布函数或概

25、率函数。对于状态离散的随机过程，用如下的 n 维概率分布簇来描述。维概率分布簇来描述。定义定义 设设X(t)，tT是一个状态离散的随机过程。如果对于任是一个状态离散的随机过程。如果对于任意的一组参变量意的一组参变量tmT (m=0,1,2, n)，其中，其中t0t1tn，以及任以及任何整数何整数i, j，等式，等式成立，则称成立，则称X(t)，tT为一个为一个马尔可夫过程马尔可夫过程。这里的条件概率。这里的条件概率称为（状态）称为（状态）转移概率转移概率。 19LLLL, 2 ,1)(,)(,)(2211= = = = =nxtXxtXxtXPnnn)(/)()(,)(,)(/)(112200

26、itXjtXPitXitXitXjtXPnnnnnn= = = = = = = =- - - - -LL马尔可夫过程马尔可夫过程 如果把如果把tn-1时刻指定为时刻指定为“现在现在”，tn时刻就是时刻就是“将将来来”。马尔可夫过程的定义告诉我们，系统在将来的。马尔可夫过程的定义告诉我们，系统在将来的状态只决定于现在的状态，状态只决定于现在的状态， 而与过去无关。而与过去无关。 这就是所这就是所谓的马尔可夫过程的谓的马尔可夫过程的 “无后效性无后效性”。 马尔可夫过程又马尔可夫过程又分为分为 齐次马尔可夫过程和非齐次马尔可夫过程。齐次马尔可夫过程和非齐次马尔可夫过程。 定义定义 设设 X(t),

27、 tT 为一个马尔可夫过程，如果对于为一个马尔可夫过程，如果对于任何任何 t1T , t2T ( t1 t2 ) ，转转 移移 概概 率率P X(t2) = j/X(t1) = i 只与差值只与差值 t2-t1 有关，那么称有关，那么称X(t), tT是是一个一个齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程。 20齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程1. 泊松过程泊松过程(Poisson Process) 前面已经讨论过随机变量的泊松分布，它可以由前面已经讨论过随机变量的泊松分布，它可以由二项分布的概率函数取极限得到。这里，从随机过程二项分布的概率函数取极限得到。这里，从随机过程的角度，以电话呼叫流为例对这种

28、随机现象做进一步的角度，以电话呼叫流为例对这种随机现象做进一步的研究，同时给出电话呼叫流服从泊松分布的条件，的研究，同时给出电话呼叫流服从泊松分布的条件，求得一定时间内所发生的呼叫数的概率分布。求得一定时间内所发生的呼叫数的概率分布。 设设X(t)为在区间为在区间 0, t内观察到的呼叫次数，这里内观察到的呼叫次数，这里0t。 于是有一个随机过程于是有一个随机过程 X(t), 0t ，其中，其中每个每个X(t)都只能取非负整数值都只能取非负整数值i=0,1,2,。又对于任何。又对于任何t1和和t2(t1 0 (i0) ，i 0 (i0) ，0=0 ，则称，则称X(t)为生灭为生灭过程或增消过程

29、。过程或增消过程。 27生灭过程生灭过程 - -D D= =D D+ +D D+ +- - -= =D D+ +D D+ += =D D+ +D D= = = = =D D+ +2,)(, )()(11, )(1, )()(/)(ijtOijtOtijtOtijtOtpitXjttXPiiiiijm ml lm ml l 在在t0的情况下，的情况下，O(t) 可以忽略，系统状态的转移只有可以忽略，系统状态的转移只有三三种可能：种可能：（1）在时刻在时刻t系统处于状态系统处于状态k，在时间，在时间t内，系统由状态内，系统由状态k变化到变化到状态状态 k+1(“增加增加”一个呼叫一个呼叫)，其转移

30、概率为，其转移概率为pk,k+1 =kt ，其中，其中k为为系统处于状态系统处于状态k时的呼叫发生强度，即单位时间内发生的平均呼叫时的呼叫发生强度，即单位时间内发生的平均呼叫数；数；（2）在时刻在时刻t系统处于状态系统处于状态k，在时间，在时间t内，系统由状态内，系统由状态k变化到变化到状态状态k-1(“消失消失”一个呼叫一个呼叫)，其转移概率为，其转移概率为pk,k-1 =kt ，其中，其中k为为系统处于状态系统处于状态k时的呼叫结束强度，即单位时间内结束的平均呼叫时的呼叫结束强度，即单位时间内结束的平均呼叫数；数；（3）在时刻在时刻t系统处于状态系统处于状态k，在时间，在时间t内，既没有呼

31、叫发生，也内，既没有呼叫发生，也没有呼叫离去，系统仍处于状态没有呼叫离去，系统仍处于状态k，其转移概率为，其转移概率为pk,k =1- kt -kt 。 28生灭过程生灭过程 根据上面的讨论，可得到下图所示的生灭过根据上面的讨论，可得到下图所示的生灭过程的状态转移关系。图中示出所有可能出现的状程的状态转移关系。图中示出所有可能出现的状态及状态之间的转移概率。态及状态之间的转移概率。 29生灭过程生灭过程 计算计算 t 时刻系统处于状态时刻系统处于状态k的概率的概率Pk(t) 假设系统在时刻假设系统在时刻 t+t 处于状态处于状态k，它必然是由时刻，它必然是由时刻 t 的三种可能状态之一转移而来

32、，下面作为三个事件分别讨论：的三种可能状态之一转移而来，下面作为三个事件分别讨论：（1）在时刻）在时刻 t 系统处于状态系统处于状态 k+1，其概率可表示为，其概率可表示为Pk+1(t)，经过经过t时间，系统状态由时间，系统状态由k+1转移到转移到k，也就是有一个呼叫，也就是有一个呼叫离开了系统，根据概率乘法定理可以求出发生上述事件的概离开了系统，根据概率乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：率为： 30生灭过程生灭过程( () )(11tOttPkkD D+ +D D+ + +m m（2）在时刻）在时刻 t 系统处于状态系统处于状态 k-1，其概率可表示为，其概率可表示为Pk-1(t) ，经

33、过，经过t时间，系统状态由时间，系统状态由k-1转移到转移到k，也就是发生了一个新的呼叫，也就是发生了一个新的呼叫，根据概率乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：根据概率乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：（3）在时刻）在时刻t系统处于状态系统处于状态k ，其概率可表示为，其概率可表示为Pk(t) ，经过，经过t时时间，系统内既没有发生新的呼叫，也没有呼叫结束离去，也就是间，系统内既没有发生新的呼叫，也没有呼叫结束离去，也就是系统内没有发生状态变化，根据概率乘法定理可以求出发生上述系统内没有发生状态变化，根据概率乘法定理可以求出发生上述事件的概率为：事件的概率为： 31生灭过程生灭过程( (

34、) )(11tOttPkkD D+ +D D- - -l l)()1()(tOtttPkkkD D+ +D D- -D D- -m ml l 上述三个事件为互不相容事件，任一事件的发生都会导致上述三个事件为互不相容事件，任一事件的发生都会导致系统在系统在 t+t 时刻处于状态时刻处于状态 k，应用概率加法定理，可以得到描，应用概率加法定理，可以得到描述系统状态概率变化的方程组如下：述系统状态概率变化的方程组如下： 32生灭过程生灭过程1)()1 ()()()()()()()1 ()()(111111000 D D+ +D D- -D D- -+ + +D D+ +D D= =D D+ +D D

35、+ +D D+ +D D- -= =D D+ +- - -+ + +ktOtttPttPttPttPtOttPttPttPkkkkkkkkm ml ll lm mm ml l 对方程组移项整理，两端同除以对方程组移项整理，两端同除以t ，并取，并取t 0时的极限，可时的极限，可以得到以得到1)()()()()()()()()()()()(11110011000limlim + +- - -+ += = =D D- -D D+ +- -= = =D D- -D D+ +- - -+ + +ktPtPtPtPdtdttPttPtPtPtPdtdttPttPkkkkkkkkkk0D Dt0D Dtm

36、 ml ll lm ml lm m（微分差分方程组）（微分差分方程组） 直接求解上面的方程组是很困难的，下面给出系直接求解上面的方程组是很困难的，下面给出系统的统的“统计平衡统计平衡”概念，然后求解统计平衡条件下的概念，然后求解统计平衡条件下的系统状态概率系统状态概率。 一个随机过程，在满足一定的条件下，不管系统一个随机过程，在满足一定的条件下，不管系统的初始状态如何，在经历一段时间以后，系统将进入的初始状态如何，在经历一段时间以后，系统将进入统计平衡状态。统计平衡状态。 在这种状态下在这种状态下 Pk(t) 不再随时间变不再随时间变化。用数学语言表示，就是当化。用数学语言表示，就是当 t 时

37、，概率时，概率Pk(t)趋向趋向一个不再依赖于时间参数一个不再依赖于时间参数 t 的稳定值的稳定值 Pk 。 如果系统进入统计平衡状态，那么必有：如果系统进入统计平衡状态，那么必有： 33生灭过程生灭过程0)(,)(,)(,)(1111+ + +- - -tPdtdPtPPtPPtPkkkkkkk于是微分差分方程组变为下面的差分方程组：于是微分差分方程组变为下面的差分方程组： 现在的任务就变为计算系统处于统计平衡状现在的任务就变为计算系统处于统计平衡状态下的概率态下的概率Pk (k=0,1,2, )。 由差分方程组，通过递推不难得到由差分方程组，通过递推不难得到 34生灭过程生灭过程10)(0

38、11111100 = =+ +- -+ += =- -+ + +- - -kPPPPPkkkkkkkm ml lm ml lm ml l0211100211012120101,PPPPPPPkkkm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lm ml lLLLLLL- -= = = = =由于由于 P0+P1+P2+Pk+=1 ，所以有，所以有 这样，我们得到生灭过程在统计平衡条件下，这样，我们得到生灭过程在统计平衡条件下，系统处于状态系统处于状态k 的概率的概率Pk的一般解为：的一般解为： 可见，生灭过程在统计平衡条件下的状态概可见，生灭过程在统计平衡条件下的状态概

39、率分布完全取决于参数率分布完全取决于参数k和和 k。这些参数称为状。这些参数称为状态的态的转移率转移率。需要强调指出，一般生灭过程的转。需要强调指出，一般生灭过程的转移率是与状态有关的。移率是与状态有关的。 35生灭过程生灭过程12111021101001- - - + + + + + += =LLLLLLLLkkPm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lLLLLLL,2, 1,021110= = =- -kPPkkkm mm mm ml ll ll l3. 生灭过程应用举例生灭过程应用举例 例例1 在甲地和乙地之间有一条通信线路。呼叫的发生强度为在甲地和乙地之

40、间有一条通信线路。呼叫的发生强度为每分钟每分钟 0.3个呼叫，呼叫的结束强度为每分钟个呼叫，呼叫的结束强度为每分钟 1/3 个呼叫。呼个呼叫。呼叫遇线路忙时便等待叫遇线路忙时便等待 (不离开系统不离开系统) ，试计算此线路空闲的概，试计算此线路空闲的概率、忙的概率、有呼叫等待的概率。率、忙的概率、有呼叫等待的概率。解解：设系统的工作状态满足生灭过程的条件。：设系统的工作状态满足生灭过程的条件。 已知已知k=0.3(呼叫呼叫/分钟分钟)，k=1/3(呼叫呼叫/分钟分钟) 设系统已进入统计平衡状态，由设系统已进入统计平衡状态，由状态概率一般解状态概率一般解代入代入和和值值，线路空闲的概率线路空闲的

41、概率P00.1 线路忙的概率为线路忙的概率为1-P00.9 有呼叫等待的概率为有呼叫等待的概率为1-P0-P10.81 36LLLL, 3 , 2 , 1)1 ()(1)(1120= =- -= =- -= = + + + += =- -kPPkkm ml lm ml lm ml lm ml lm ml l例例2 在甲地和乙地之间有一条通信线路。呼叫的发在甲地和乙地之间有一条通信线路。呼叫的发生强度为每分钟生强度为每分钟 0.3 个呼叫，呼叫的结束强度为每个呼叫，呼叫的结束强度为每分钟分钟 1/3 个呼叫。呼叫遇线路忙时不等待，而是立个呼叫。呼叫遇线路忙时不等待，而是立即消失。求此系统在统计平

42、衡状态下的占用概率即消失。求此系统在统计平衡状态下的占用概率分布。分布。解解：根据题意，所研究系统只有两个状态。我们：根据题意，所研究系统只有两个状态。我们可以用可以用“0”状态表示线路空闲，状态表示线路空闲，“1”状态表示线状态表示线路忙，系统内不可能有一个以上的呼叫。路忙，系统内不可能有一个以上的呼叫。已知已知0=0.3，1=1/3 ， 由状态概率一般解得：由状态概率一般解得： 37生灭过程应用举例生灭过程应用举例 5263. 011100= = + += =- -m ml lP4737.00101= = =PPm ml l例例3 设有无穷多条线路可以利用，每个呼叫的结束设有无穷多条线路可

43、以利用，每个呼叫的结束强度为强度为，呼叫的发生强度为常数，呼叫的发生强度为常数k(k=0,1,2, )，求此系统在统计平衡状态下的占用概率分布求此系统在统计平衡状态下的占用概率分布Pk。解解：假设每个呼叫的占用是相互独立的，：假设每个呼叫的占用是相互独立的， 在系统内在系统内有有k个呼叫的条件下，呼叫的结束强度为个呼叫的条件下，呼叫的结束强度为k，所以，所以 k=，k=k。由状态概率一般解得：由状态概率一般解得：即线路的占用概率分布服从泊松分布。即线路的占用概率分布服从泊松分布。 38生灭过程应用举例生灭过程应用举例 m ml lm ml lm ml lm ml lm ml l- - -= =

44、 + + + + + + += =ekPk1320!1!31!211LLLLLLLLLL, 2 , 1 , 0!)(021110= = = =- - -kekPPkkkkm ml lm ml lm mm mm ml ll ll l( )( )( )2.2 通信业务量通信业务量 通信业务量是衡量交换系统在一定时间内提供通信业务量是衡量交换系统在一定时间内提供的服务数量的指标，是学习交换理论首先必须掌握的服务数量的指标，是学习交换理论首先必须掌握的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。 业务量又称为业务负载。在一个交换系统中，业务量又称为业务负载。在

45、一个交换系统中，我们把请求服务的用户称为我们把请求服务的用户称为业务源业务源（负载源），而（负载源），而把为业务源提供服务的设备（如接续网络中的内部把为业务源提供服务的设备（如接续网络中的内部链路、中继线、信令处理器等）称为链路、中继线、信令处理器等）称为服务器服务器。一个。一个系统应配备的服务器数量与业务源对服务数量和服系统应配备的服务器数量与业务源对服务数量和服务质量的需求有关。人们关心的是服务质量、业务务质量的需求有关。人们关心的是服务质量、业务量和服务设备数量这三者之间的关系。量和服务设备数量这三者之间的关系。 392.2.1 话务量的概念话务量的概念 电话通信的业务源，简称话源；电话

46、通信的业务电话通信的业务源，简称话源；电话通信的业务量，通常称为量，通常称为话务量话务量。 我们来分析决定话务量大小的因素。首先，话我们来分析决定话务量大小的因素。首先，话务量与所务量与所考察的时间考察的时间有关，显然考察时间越长，这段有关，显然考察时间越长，这段时间里发生的呼叫就越多，因而话务量就越大。其时间里发生的呼叫就越多，因而话务量就越大。其次，影响话务量大小的是次，影响话务量大小的是呼叫强度呼叫强度，也就是单位时间，也就是单位时间里发生的平均呼叫数，呼叫强度越大，话务量就越里发生的平均呼叫数，呼叫强度越大，话务量就越大。再者，每个呼叫大。再者，每个呼叫占用设备的时长占用设备的时长也是

47、影响话务量也是影响话务量大小的一个因素。在相同的考察时间和呼叫强度情况大小的一个因素。在相同的考察时间和呼叫强度情况下，每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。下，每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。 40 如果用如果用Y表示话务量，用表示话务量，用T表示计算话务量的时间表示计算话务量的时间范围，用范围，用表示呼叫强度，用表示呼叫强度，用S表示呼叫的平均占用表示呼叫的平均占用时长，则话务量可表示为：时长，则话务量可表示为： 影响话务量的第一因素是时间，影响话务量的第一因素是时间， 话务量计算中的各个话务量计算中的各个参数都与时间有关。参数都与时间有关。Y的单位取决于的单位取决于S的单位，当的单

48、位，当S用不同的用不同的时间单位时，同一话务量，其数值是不同的。如果时间单位时，同一话务量，其数值是不同的。如果S以小时以小时为时间单位，则话务量的单位叫作为时间单位，则话务量的单位叫作“小时呼小时呼”，常用符号，常用符号 “TC” 表示。如果表示。如果S以分钟为时间单位，则话务量的单位叫以分钟为时间单位，则话务量的单位叫作作 “分钟呼分钟呼” 。也有用。也有用“百秒百秒”作时间单位，这时话务量作时间单位，这时话务量的单位叫作的单位叫作“百秒呼百秒呼”，常用符号，常用符号“CCS”表示。表示。话务量的定义话务量的定义 41Y =T S=CS 对于大量随机发生的呼叫，有些呼叫可能遇到电话局对于大

49、量随机发生的呼叫，有些呼叫可能遇到电话局忙。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处理方法。一种忙。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处理方法。一种系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲的服务设备，呼叫就继系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲的服务设备，呼叫就继续进行下去，这样的系统叫作续进行下去，这样的系统叫作待接制系统待接制系统或或等待制系统等待制系统。另一。另一种系统，它对不能立刻得到服务的呼叫的处理方法是给用户送种系统，它对不能立刻得到服务的呼叫的处理方法是给用户送“忙音忙音”。用户听到忙音后，。用户听到忙音后， 必须放弃这次呼叫必须放弃这次呼叫 ， 然后再重然后再重新呼叫。这种系统叫做新呼

50、叫。这种系统叫做明显损失制系统明显损失制系统。 对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么流入系统对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么流入系统的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等待一段时间才能得的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等待一段时间才能得到接续。到接续。 对于明显损失制系统来说，流入系统的话务量有一对于明显损失制系统来说，流入系统的话务量有一部分被处理了，另外一部分则被部分被处理了，另外一部分则被“损失损失”掉了。掉了。等待制与明显损失制等待制与明显损失制 42 我们把单位时间的话务量叫做我们把单位时间的话务量叫做话务量话务量强度强度或或负载强度负载强度。习惯上常把。习惯上常

51、把“强度强度”两两个字省略。这样，当人们谈及话务量都是个字省略。这样，当人们谈及话务量都是指话务量强度。当所谈及的话务量不是单指话务量强度。当所谈及的话务量不是单位时间内的话务量时，应特别指明计算时位时间内的话务量时，应特别指明计算时间，如间，如T小时的话务量等。小时的话务量等。话务量强度话务量强度 43 一般地说，电话局的话务量强度经常处于变化之中。一般地说，电话局的话务量强度经常处于变化之中。话务量强度的这种变化叫做话务量的话务量强度的这种变化叫做话务量的波动性波动性，它是多方面，它是多方面因素影响的综合结果。用概率论的语言说，话务量的波动因素影响的综合结果。用概率论的语言说，话务量的波动

52、是一个随机过程。经过对话务量波动的长期观察和研究，是一个随机过程。经过对话务量波动的长期观察和研究，发现话务量的波动存在着发现话务量的波动存在着周期性周期性。具有重要意义的是一昼。具有重要意义的是一昼夜内各小时的波动情况，为了在一天中的任何时候都能给夜内各小时的波动情况，为了在一天中的任何时候都能给用户提供一定的服务质量，电话局服务设备数量的计算应用户提供一定的服务质量，电话局服务设备数量的计算应根据一天中出现的最大话务量强度进行。我们把一天中出根据一天中出现的最大话务量强度进行。我们把一天中出现最大平均话务量强度的现最大平均话务量强度的60分钟的连续时间区间称为最繁分钟的连续时间区间称为最繁

53、忙小时，简称忙小时，简称“忙时忙时”。话务量的特性话务量的特性 44 我们把流入系统的话务量叫做我们把流入系统的话务量叫做流入话务流入话务量量或流入负载。完成了接续的那部分话务量或流入负载。完成了接续的那部分话务量叫做叫做完成话务量完成话务量或完成负载。流入话务量与或完成负载。流入话务量与完成话务量之差，就是损失话务量或损失负完成话务量之差，就是损失话务量或损失负载。载。流入话务量和完成话务量流入话务量和完成话务量 45定义定义 流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时长内业务源发生的平均呼叫数。长内业务源发生的平均呼叫数。 令令A表示流入话务量强度，表

54、示流入话务量强度，表示单位时间内发表示单位时间内发生的平均呼叫数，生的平均呼叫数，S表示呼叫的平均占用时长，表示呼叫的平均占用时长， 则则根据流入话务量强度的定义为根据流入话务量强度的定义为 当当和和S使用相同的时间单位时，流入话务量强使用相同的时间单位时，流入话务量强度度A无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数学家学家AKErlang，将话务量强度的单位定名为，将话务量强度的单位定名为“爱爱尔兰尔兰”，并用，并用“e ”或或“E”表示。表示。流入话务量强度的定义流入话务量强度的定义 46SAl l= 1爱尔兰爱尔兰(Erl)就是一条电路可能处理的最大

55、话务量。如就是一条电路可能处理的最大话务量。如果观测果观测1个小时个小时,这条电路被连续不断地占用了这条电路被连续不断地占用了1小时小时,话务量话务量就是就是1爱尔兰爱尔兰,也可以称作也可以称作“1小时呼小时呼”。 通俗的讲，话务量就是一条电话线一个小时内被占用的通俗的讲，话务量就是一条电话线一个小时内被占用的时长。如果一条电话线被占用一个小时，话务量就是时长。如果一条电话线被占用一个小时，话务量就是1爱尔爱尔兰。（爱尔兰不是量纲，只是为纪念爱尔兰这个人而设立的兰。（爱尔兰不是量纲，只是为纪念爱尔兰这个人而设立的单位），如果一条电话线被占用（统计）时长为单位），如果一条电话线被占用（统计）时长

56、为0.5小时，小时，话务量是话务量是0.5爱尔兰。爱尔兰。 一般来说，一条电话线不可能被一个人占用一个小时，一般来说，一条电话线不可能被一个人占用一个小时，比如统计表明，用户线的话务量为比如统计表明，用户线的话务量为0.05爱尔兰，过去我国电爱尔兰，过去我国电话还不是很普及时，因为很多人都在使用，它的话务量很大，话还不是很普及时，因为很多人都在使用，它的话务量很大，达到达到0.13爱尔兰，那么此时如果这个爱尔兰，那么此时如果这个交换机交换机有有1000个用户，个用户，我们就说该交换机的话务量为我们就说该交换机的话务量为130爱尔兰。爱尔兰。 47性质性质1 A 或或a分别为分别为N条入线或单条

57、入线在呼条入线或单条入线在呼 叫平均占用时长内流入的呼叫数，叫平均占用时长内流入的呼叫数， A N a 。性质性质2 a 是单条入线被占用的概率（占用时是单条入线被占用的概率（占用时 间百分数）。间百分数）。性质性质3 A是是N条入线中同时被占用的平均数。条入线中同时被占用的平均数。流入话务量强度的性质流入话务量强度的性质 48定义定义 服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。 令令Ac表示表示m个服务器的完成话务量强度，个服务器的完成话务量强度，S表示表示呼叫的平均

58、占用时长，呼叫的平均占用时长，c 为单位时间内完成服务的为单位时间内完成服务的呼叫数，则有：呼叫数，则有： 完成话务量强度的单位也用完成话务量强度的单位也用“爱尔兰爱尔兰”。 设单设单个服务器的完成话务量强度用个服务器的完成话务量强度用 ac表示，则表示，则 m 个服务个服务器完成的总话务量强度器完成的总话务量强度Ac=mac 。完成话务量强度的定义完成话务量强度的定义 49SAccl l= =性质性质1 Ac 或或 ac分别为分别为m个服务器或单个个服务器或单个 服务器在呼叫平均占用时长内完服务器在呼叫平均占用时长内完 成服务的平均呼叫数成服务的平均呼叫数，Ac=mac。性质性质2 ac 是

59、单个服务器的占用概率，是单个服务器的占用概率， 即即 利用率。利用率。性质性质3 Ac 是是 m 个服务器中同时被占用的个服务器中同时被占用的 平均数。平均数。完成话务量强度的性质完成话务量强度的性质 50 从定义可以看出，流入话务量强度从定义可以看出，流入话务量强度A与完成话与完成话务量强度务量强度Ac有着完全相同的形式和量纲，其差别在有着完全相同的形式和量纲，其差别在于于和和c ， 一个是单位时间内发生的平均呼叫数，一个是单位时间内发生的平均呼叫数，一个是单位时间内完成服务的平均呼叫数。在发生一个是单位时间内完成服务的平均呼叫数。在发生的全部呼叫中，有一小部分会因为设有找到空闲的的全部呼叫

60、中，有一小部分会因为设有找到空闲的服务设备而被损失掉，所以，在明显损失制系统服务设备而被损失掉，所以，在明显损失制系统中，中，与与c 之差，正是损失掉的那部分呼叫。如果之差，正是损失掉的那部分呼叫。如果一个系统的损失非常小，则一个系统的损失非常小，则 c ，在这种情况，在这种情况下，下， 完成话务量强度近似等于流入话务量强度，完成话务量强度近似等于流入话务量强度，在工程计算中可以不加区分，在工程计算中可以不加区分， 笼统地使用笼统地使用“话务话务量量”这个概念。这个概念。流入话务量和完成话务量比较流入话务量和完成话务量比较 51例例 假设在假设在 100 条线的中继线群上，条线的中继线群上，