第5章拉普拉斯变换1

1、信号信号响应响应系统系统？信号与系统信号与系统第第5章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号信号响应响应系统系统？引言引言dtetfFdeFtftftjtj)()()(21)()(，其中分解复指数信号之和：连续时间信号傅氏变换的本质是将一度；可观察各频率分量的幅，使计算简单；化成频域中的乘积运算将时域中的卷积运算转)2() 1 (优点：优点：信号信号响应响应系统系统？。则傅氏变换不一定存在若信号不满足该条件，傅氏变换存在；信号需绝对可积，即,)(dttf引言引言局限性：局限性：宽的范围内应用。方法使傅氏变换能在更针对这一局限性，找一信号信号响应响应系统系统？5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的函数；积

2、分结果使令表示：用的傅氏变换一定存在，则绝对可积，即，使选择是实的，构造一个新的信号对可积）并不知道该信号是否绝假定有一信号s),s ()()()()()()()()(,)()()()()(s)(1FdtetfGjsdtetfdteetfdtetgGFtgdttgtgetftgtfttjtjttjt，拉普拉斯变换dtetfFts)() s (信号信号响应响应系统系统？jsdeeGtfdeGetftgGtgtjttjtFT令所以所以因为,)(21)(:,)(21)()(:)()(:5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换根据傅里叶逆变换：根据傅里叶逆变换：，拉普拉斯逆变换dseFjtfjjst) s (

3、21)(信号信号响应响应系统系统？5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换对：)()(;)()()()()1(sFLTtftfLTsFsFtfLT，双边拉普拉斯逆变换，双边拉普拉斯变换dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s表示为：信号信号响应响应系统系统？：例1的拉氏变换单位冲激信号)(t任意值，解：1)()(dtetsFst5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1)(LTt信号信号响应响应系统系统？例例2 2： 求单边指数信号 和 的拉氏变换， 其中 为复数。 0( )s te u t0()s te ut000sj00()0( )( )s ts tstjtF s

4、e u t edte edt00()()0tjteedt 当 时001( )F sss001( )s te u tss L0，5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号信号响应响应系统系统？同理0000()()( )()s ttjtstF se ut edteedt 001()s te utss L，05.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换时当00s0,1)(stuLT0,1)(stuLT信号信号响应响应系统系统？，为傅氏变换；时，称为复频率值不同，中的两者的区别只在于，与傅氏变换思想一致之和的形式，其幅度为号可将其分解为复指数信通过拉氏变换表示信号jdssFeILTtfsts0ss2)()() 1 (5

5、.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换对：，双边拉普拉斯逆变换，双边拉普拉斯变换dseFjtfdtetfFjjstt) s (21)()() s (s说明：说明：信号信号响应响应系统系统？氏变换不存在；在收敛域外，函数的拉氏变换存在；在收敛域内，函数的拉的收敛域。值的范围，称为绝对可积的使不是任意选取的，表明绝对可积。，即的选择需满足：是有条件的，拉氏变换)()(s)()()() s ()2(ssFetfetfdtetfdtetfFtttt5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换收敛域:记为ROC (region of convergence)信号信号响应响应系统系统？拉氏变换的ROC，可将其图示

6、在S平面的复平面上 收敛域的图示：收敛域的图示：5.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域信号信号响应响应系统系统？拉普拉斯变换F(s) 通常可表示为：11101110( )( )( )MMMMNNNb sbsbsbN sF sD ssasa sa极点：极点：使D(s)=0 的根p1，p2 ， ， pN ， 在s平面上用“”表示。2.拉普拉斯变换的零点和极点拉普拉斯变换的零点和极点 5.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域零点：零点：使N(s)=0 的根Z1，Z2 ， ， ZM ， 在s平面上用“o”表示。信号信号响应响应系统系统？F(s)可用零点和极点表示为：1212()()(

7、)( )( )( )()()()MNszszszN sF sKD sspspsp零极点图：零极点图：将F(s)的零点和极点标注在S平面上，称为拉氏变换的零极点图。 5.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域信号信号响应响应系统系统？例例：已知信号 求该信号的拉氏变换F(s) ，并画出其零极点图。 2366( )( )( )()55ttf tteu te ut232366( ) ( )( )()5566( )( )()55ttststtsttstF steu te ut edtt edteu t edte ut edt261112( )1,23523(2)(3)ssF sssss 解：解：

8、5.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域信号信号响应响应系统系统？零点：极点：在S平面上， 的零极点图及ROC如下图所示123,4zz 122,3pp ( )F s5.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域信号信号响应响应系统系统？性质性质3 3：如果信号是时限信号f(t)且是绝对可积的， 那么ROC是整个s平面。性质性质1 1：在s平面内，拉普拉斯变换的收敛域是平行 于j轴的带状区域。性质性质2 2：如果信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是有理式， 则ROC内不包含任何极点。3.拉普拉斯变换收敛域的性质拉普拉斯变换收敛域的性质 信号信号响应响应系统系统？性质性质4 4：如果f(

9、t)是右边信号，且f(t)的拉氏变换F(s)为有理分式，则F(s)的ROC为最右边极点的右侧s平面。性质性质5 5：如果f(t)是左边信号，且f(t)的拉氏变换F(s)为有理分式，则F(s)的ROC为最左边极点的左侧s平面。性质性质6 6：如果f(t)是双边信号，且f(t)的拉氏变换F(s)为有理分式，则F(s)的ROC为两极点间平行于虚轴的带状区域或空集3.拉普拉斯变换收敛域的性质拉普拉斯变换收敛域的性质 信号信号响应响应系统系统？0,)(cos0,)11(21)(sin)(21)(21)(sin)()(21)(sin2222sstutsjsjsjtuttuejtuejtuttueejtut

10、LTLTtjtjtjtj)(sintut 例：信号信号响应响应系统系统？2222)()(cos)()(sinasastuteastuteLTatLTat的拉氏变换及求练习)(cos)(sin:tutetuteatat信号信号响应响应系统系统？例例: 如果信号f(t)的拉氏变换为： 以极点为界，可将平面分成三个区域、。讨论不同的ROC及其对应的时间信号f(t)。11( )32F sss信号信号响应响应系统系统？(1)若收敛域ROC为为区域，即 2 ，则 32( )( )( )ttf teu te u t(3)若收敛域ROC为为区域，即-3-2111( )( )2f tF ss， -212( )(

11、 )( )f tf tf t121( )( )( ),33F sF sF ss 解：解：5.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质信号信号响应响应系统系统？若若：则则：( )( ),ROC:f tF sR L00()( ), ROC:stcf t teF sRR L2.时移特性时移特性信号信号响应响应系统系统？0( )()kf tu tkT()ksTeu tkTs L拉氏变换的线性011( )(1)skTsTskTkF seeess例例：求 的拉普拉斯变换。解：解：1( ),0(1)sTF sse2.时移特性时移特性信号信号响应响应系统系统？3.s域移位特性域移位特性( )( ),ROC:f

12、 tF sR L000sj000( )(),ROC:s tcef tF ssRR L若若： ，且则则：信号信号响应响应系统系统？4.4.尺度变换特性尺度变换特性( )( ),ROC:f tF sR L1()( ),ROC:csf atFRaRaa L若若：0a ，对则则：信号信号响应响应系统系统？例例：设信号f(t)的拉氏变换为F(s)，收敛域:0。求信号 的拉氏变换，并标明收敛域。3(21)teft0(1)( ),ROC:sf te F s L/201(21)( /2),ROC:22sfteF s L3(3)/201(21)(3)/2,ROC:232tsefteF s L尺度变换特性 s域移

13、位特性 解：解：信号信号响应响应系统系统？5.5.共轭特性共轭特性( )( ),ROC:f tF sR L( )(),ROC:cftFsRR L若若:则则:信号信号响应响应系统系统？若若:6. 6. 时域卷积特性时域卷积特性1( )( ),ROC:f tF sR L2( )( ),ROC:h tH sR L12( )( )( )( ),ROC:cf th tF s H sRRR L则则:信号信号响应响应系统系统？例: 已知信号 ， ， 为实数，计算卷积 。 ( )( )tf te u t( )( )th te u t( )( )( )y tf th t,1)()()(ssFtuetfLTtss

14、HtuethLTt1)()()()11(1)()()()(sssHsFsYtyL,)()(1)(tuetuetytt解：解：信号信号响应响应系统系统？7. 时域微分特性时域微分特性 ( )( ),ROC:f tF sR L( )( )( ),ROC:cdf tftsF sRRdt L若：若：则：则：) s (s)(FdttfdnLnn?)()()(Latdttdftuetf，问：例：已知assdttdfLT)(信号信号响应响应系统系统？思考：思考：?)(Lt?)()(Lntsns信号信号响应响应系统系统？8. 8. 时域积分特性时域积分特性( )( ),ROC:f tF sR L1( )( )

15、,ROC:0tcfdF sRRs L若：若：则：则：信号信号响应响应系统系统？9.s9.s域微分特性域微分特性( )( ),ROC:f tF sR L若：则：( )( ),ROC:cdF stf tRRds L信号信号响应响应系统系统？1)(1)(!.nLTatnastuent1)(!)(nLTatnasntuet例：试证明astueLTat1)(证明：2)(1)()(astuetLTt323)(1)(2)(1)2()()(astuetastutetLTatLTt即：信号信号响应响应系统系统？10. 10. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理: : 如果 是因果信号， 的拉氏变换为 （1）初

16、值定理）初值定理 在原点不含冲激 及其各阶导数，则( )f t( )F s( ) t0(0 )lim( )lim( )stff tsF s（2）终值定理）终值定理 的收敛域包含虚轴，则( )sF s0( )lim( )lim( )tsff tsF s ( )f t( )f t信号信号响应响应系统系统？例：例： 已知信号 ，利用初值 定理和终值定理求信号的初值和终值。解：解： 满足初值定理和终值定理适用条件，所以 ( )4( )( ),0atf te u tu ta41( )( ),0f tF ssas( )F s41(0 )lim( )lim5ssfsF sssas0041( )lim( )l

17、im1ssfsF sssas 10. 初值定理和终值定理初值定理和终值定理: 信号信号响应响应系统系统？)(21 ) 1 (FT思考：思考：）不存在，无公共？ROC(1LT2,21)()2(2stueLTt轴）不包含不存在，？jtueTtROC()(F2信号信号响应响应系统系统？5.5 拉普拉斯逆变换的计算方法拉普拉斯逆变换的计算方法拉普拉斯逆变换研究由F(s)如何得出f(t)，根据ILT： jjstdsesFtf)(21)(但通常不会用该积分式求解拉氏逆变换，与IFT一样，通常采用部分分式展开法。 信号信号响应响应系统系统？部分分式展开法的基础：部分分式展开法的基础： 性质中讲）(,)(!)

18、(!)(,1)(11aasntuetsntutaastuenFTatnnFTnLTat信号信号响应响应系统系统？部分分式展开法：部分分式展开法： 通常，F(S)是一个关于S的有理函数 ）无重极点）真分式条件：个分式之和一定可以写出则，个极点，共则有无重极点，无重根，即）若21(n)().()()()(n.)(0() 1 (2121sFpspspssNsFpppsFsDnn假定为真分式,.)()()(01110111bsasasbsbsbsbsDsNsFNNNMMMM信号信号响应响应系统系统？写出其反变换。根据为待定系数，ROCpssFkkpskpskpskpsksFipsiiinnii)()(.)(.)()()(2211部分分式展开法：部分分式展开法： 信号信号响应响应系统系统？?)(,35210114)(122tfsssssF求其原函数：例部分分式展开法：部分分式展开法： )()(3)(2)()(521)1(6212)()()1(212)(3524235210114)(2325232321222tuetuettfsssFsksksFssssssssFtt解：信号信号响应响应系统系统？有重极点有重根，即）若)(0()2(sFsD部分分式展开法：部分分式展开法： ?)(,