复变函数与积分变换第二讲

1、第二讲复变函数与解析函数& 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射5 复变函数复变函数1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)(

2、)(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw ivuwiyxzzw 令令2例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzz

3、xiyxz 则则设设xyiyxiyxivuw2)()(222 则则oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)( 定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系

4、来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 见图见图2.( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究 zewi 例

5、例4)( iiiiirereezewrez设设解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 图图1-1图图1-2图图2uv(w)o.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 4 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合

6、为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z= (w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw )()(* 当当反反函函数数单单值值时时显显然然有有)(zfz 一般一般 是是一一一一对对应应的的。与与集集合合是是一一一一的的。也也称称集集合合映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例 已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。3 例例?41:

7、,122平平面面上上怎怎样样的的曲曲线线映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲线线判判断断已已知知映映射射wyxzzw & 1. 函数的极限函数的极限& 2. 运算性质运算性质& 3.函数的连续性函数的连续性6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1. 函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)0000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有时时当当）（，若若存存在在数数设设（ 定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变

8、点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中A (1) 定义中定义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .0zz (2) A是复数是复数. . 2. 运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理1(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0),(),(00

9、),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则 )()(lim,)(lim)(lim000zgzfBzgAzfzzzzzz 则则若若定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !BAzgzfzzzz )(lim)(lim00 )()(lim0zgzfzzABzgzfzzzz )(lim)(lim00BAzgzgzfzgzfzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim0000例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限限不不存存在在在在说说明明 zz

10、zzzzf例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf )(lim220,0,理由同上理由同上不存在不存在yxxyx 22222200)(2lim)(limxkxxkxzfkxyxkxyx 221)1(2kk 3.函数的连续性函数的连续性定义定义.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称

11、若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 处处连连续续在在设设定理定理3等等价价与与则则若若记记)()(lim0lim)()(,00000zfzffzfzffzzzzzz 例例4 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。 zxxPyarglim)0)(0 ,( )2(0在在负负实实轴轴上上故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明xy(z

12、)ozz)0 ,(xP zyarglim0上上不不连连续续。在在负负实实轴轴 arg z 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有

13、界性：有界性：& 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念解析函数的概念2.1 解析函数的概念解析函数的概念 一一. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f

14、 (z)在区域在区域D内可导内可导。A (1) (1) z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2) (2) z = =x+ +iy, ,z= =x+ +iy, , f = =f( (z+ +z)-)-f( (z) ) .Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz时时取取纯纯虚虚数数趋趋于于当当时时取取实实数数趋趋于于当当.lim0不不存存在在zfz )(,yyixxzzyixziyxz (2)求导公式与法则求导公式与法则 常数

15、的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有0000limlimzzzzznnzzzz -实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广0100210)(lim0zzzzzzzznnnzz 10 nnzf (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10点点外外）处处处处可可导导在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以

16、上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)，复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。)( 1)( wzf ?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf &思考题思考题例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？yixyix

17、z 2lim0)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfzzfzzfz )()(lim0 解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 但处处连续但处处连续.)(,yyixxzzyixziyxz yixyixiyyxxz )2()(2lim0!0, 020, 01不存在不存在时时当当时时当当 yxxy 例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)R

18、e()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0, 000, 01lim0yxxyyixxzA (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续可导与连续若若

19、w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.?)(lim,)(:000zfzfzzfz 则则可可导导在在若若证证明明0lim)(00 zzfzf其中其中zzzff )(0即即处连续。处连续。在在即即00)(, 0limzzfwfz (4)(4)可微可微设函数设函数内有定义，内有定义，在在),()(0 zUzfw 如果如果zzzzfzfzzfw )()()()(000 的高阶无穷小，的高阶无穷小，是是即即其中其中zzzzz )(, 0)(lim0 dzzfdwzzfwzzfzzfw)()()()(0000 的的微微分分，记记作作在在函函数数称称为为可可微微，且且在在则则称称函函数数可可微微是是等等价价的的可可导导与与在在在在结结论论：函函数数00)(zzzfw 定义定义二二. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的