电路理论一般电路系统IO微分方程的建立和求解学习教案

1、会计学1电路理论电路理论(lln)一般电路系统一般电路系统IO微分方程微分方程的建立和求解的建立和求解第一页，共61页。)()()()()()()()(11tfftfdfdtdtPfPtfdfdtdtfPPtt而第1页/共61页第二页，共61页。将上述将上述(shngsh)性质推广，可以得到如下结论：性质推广，可以得到如下结论：如果如果N(P)是算符是算符P的多项式，则的多项式，则1)()(1 , 1)(1)(PNPNPNpN)()()(1)()(1)(tfPNPNtfPNPN并且并且(bngqi) (bngqi) 第2页/共61页第三页，共61页。(2) 广义广义(gungy)阻抗阻抗LPP

2、ZtiPZtLPidttdiLtuLPCPPZtiPZtiCPdttiCtuCPRPZtiPZtuRLLLLLLCCCCtCCRRRR)()()()()()( 1)( )()()(1)(1)( 1 )()()()( 因为电感因为电容因为电阻第3页/共61页第四页，共61页。第4页/共61页第五页，共61页。方法方法2 2： 依据依据(yj)(yj)互联规律列互联规律列KCL,KVLKCL,KVL方程方程 依据依据(yj)(yj)元件规律列元件规律列VCRVCR 将将代入代入得一组微积分方程组得一组微积分方程组 引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微

3、分方程组。第5页/共61页第六页，共61页。例例1：已知双耦合电路如图，试建立：已知双耦合电路如图，试建立(jinl)响应响应u2(t)的的I/O微分方程微分方程LPLPis(t)G1/CP1/CP1/CMPG+-+-u2(t)解：解：1）定义广义阻抗）定义广义阻抗 2）用视察）用视察(shch)法列写节点方程：法列写节点方程：0)()()(1121titutuLPGPCCPPCPCLPGPCCPsnnMMMMun1(t) un2(t)第6页/共61页第七页，共61页。将方程将方程(fngchng)两边同时微分一次（即同左乘两边同时微分一次（即同左乘P），即），即得：得：0)()()(1)(1

4、)(212222tPitutuLGPPCCPCPCLGPPCCsnnMMMM 3）将微分方程）将微分方程(wi fn fn chn)组化为一元高阶微分方程组化为一元高阶微分方程(wi fn fn chn)（用克莱姆法则）（用克莱姆法则）2222322222)(1)()(det0)(1)()(PCLGPPCCtiPCPCtPiLGPPCCutuMMsMMsMn第7页/共61页第八页，共61页。即：即：)()(12)( 2)(2)2(32223422tiPCtuLPLGPGLCCPCCGPCCCsMMMM3322222223234242)()(1)(2)()( 2)()(2)()2(dttidCt

5、uLdttduLGdttudGLCCdttudCCGdttudCCCsMMMM注意：双耦合电路本有注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程个动态元件，但微分方程(wi fn fn chn)为为4阶，是因为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有阶，是因为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为个。所以为4阶。阶。第8页/共61页第九页，共61页。第9页/共61页第十页，共61页。例例2：已知双耦合电路如图，试建立：已知双耦合电路如图，试建立(jinl)输出响应输出响应i2(t)的微分方程的微分方程CLi1(t)RCM+-Ri2(t)i2(t)Le(t)解解 选用网孔电流选用网孔电流

6、(dinli)i1(t)(dinli)i1(t)、i2(t)i2(t)为变量，作出其等效电路图为变量，作出其等效电路图如上图所示。据如上图所示。据KCLKCL，KVLKVL和和VCRVCR利用网孔法写出电路方程组：利用网孔法写出电路方程组：CLi1(t)RC+-Ri2(t)i2(t)LdttdiM)(2dttdiM)(1+-e(t)(1) )()()(1)()(2111ttedttdiMdiCtRidttdiL(2) 0)()(1)()(1222tdttdiMdiCtRidttdiL第10页/共61页第十一页，共61页。对对(1)、(2)式两边式两边(lingbin)微分一次得微分一次得 (3

7、) )()()(1)()(22211212dttdedttidMtiCdttdiRdttidL(4) 0)()(1)()(21222222dttidMtiCdttdiRdttidL(5) )()()(1)()(221112tPetiMPtiCtRPitiLP(6) 0)()(1)()(122222tiMPtiCtRPitiLP 引入微分算子，对联立方程引入微分算子，对联立方程(lin l fn chn)消元得到一元高阶方程：消元得到一元高阶方程：(7) )()()()1(2212tPetiMPtiCRPLP(8) 0)()1()(2212tiCRPLPtiMP即即第11页/共61页第十二页，共

8、61页。使用使用(shyng)克莱姆法则，解此方程组得克莱姆法则，解此方程组得222232222222)()1()(110)(1)(MPCRPLPteMPCRPLPMPMPCRPLPMPtPeCRPLPti)()(12)2(2)( 322223422teMPtiCPCRPCLRRLPPML33222222232342422)()(1)(2)()2()(2)()( dttedMtiCdttdiCRdttidCLRdttidRLdttidML第12页/共61页第十三页，共61页。(4) LTI(4) LTI电路系统的电路系统的I/OI/O微分方程微分方程通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立

9、的方法通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立的方法，同时我们也看到了电路系统微分方程所表征的电路系统激励，同时我们也看到了电路系统微分方程所表征的电路系统激励与响应与响应(xingyng)(xingyng)之间的关系，即表明了电路系统输入之间的关系，即表明了电路系统输入输出的函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框输出的函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框图来表示。图来表示。 系统黑箱模型输入f(t)输出y(t)这就是所谓黑箱模型。至于这就是所谓黑箱模型。至于(zhy)(zhy)系统黑箱内可以是电网络系系统黑箱内可以是电网络系统，也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，

10、等等。统，也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。 第13页/共61页第十四页，共61页。定义：任意定义：任意(rny)一个一个LTI单单I/O电路系统，可以用下列表示其输入电路系统，可以用下列表示其输入f(t)与与输出输出y(t)之间关系的一元之间关系的一元n阶微分方程来描述：阶微分方程来描述：)()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn这种描述方法称为这种描述方法称为(chn wi)(chn wi)系统时域的输入系统时域的输入输出描述法输出描述法，并用如下定义来表述，并用如下定义来表述 或者

11、或者(huzh)表示为微分算符形式表示为微分算符形式)()(01110111tfbPbPbpbtyaPaPaPmmmmnnn第14页/共61页第十五页，共61页。式中，式中，a0、a1、an-1、an与与b0、b1、bm-1、bm为常数，为常数，它们取决于元件它们取决于元件(yunjin)的数值和系统的内部结构，而与外加激的数值和系统的内部结构，而与外加激励无关。励无关。对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最高阶次对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最高阶次n和和m都必须满足不等式：都必须满足不等式：nm。数量数量n称为称为(chn wi)系统的阶，它等于系统中独立动态元系统的

12、阶，它等于系统中独立动态元件的个数或独立初始条件的个数。件的个数或独立初始条件的个数。第15页/共61页第十六页，共61页。初始条件的确定初始条件的确定(qudng) 通常电路与系统给定的已知条件，是换路前通常电路与系统给定的已知条件，是换路前(t=0-)瞬间的瞬间的状态状态(zhungti)即起始状态即起始状态(zhungti)，而我们要求的初始条，而我们要求的初始条件是指换路后件是指换路后(t=0+)瞬间的状态瞬间的状态(zhungti)(初始状态初始状态(zhungti)，即，即y(0+)、y(1)(0+) y(n-1)(0+)，只有确定了它，只有确定了它们之后，才能求解微分方程。们之后

13、，才能求解微分方程。(1) 没有强迫跃变时电路初始条件的确定没有强迫跃变时电路初始条件的确定(qudng)(满足换路定律情况满足换路定律情况)： 如果系统中电容电流如果系统中电容电流和电感电压是有界的，那么电容端电压和和电感电压是有界的，那么电容端电压和电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃变，即它们遵守换电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃变，即它们遵守换路定律：路定律：)0()0()0()0(LLCCiiuu)0()0()0()0(qq第16页/共61页第十七页，共61页。l方法步骤：方法步骤： l 求求t0-时的时的iL(0-)和和uC(0-)l 由换路定律求由换路定律求i

14、L(0+)和和uC(0+) l 由由t=0+电路电路(dinl)，求，求y(0+)l 求得微分初始条件求得微分初始条件例例5.8 已知电路如图所示，开关已知电路如图所示，开关(kigun)K闭合前电路已处闭合前电路已处于稳态，当于稳态，当t=0时，开关时，开关(kigun)K闭合，求初始条件：闭合，求初始条件：(0 )(0 ) , CCdiidtKLi(t)R1+-R2iC(t)+-UsR3iL(t)1F1H1114Vt=0C解：解：1) 作出作出t=0-时等效电路，求出时等效电路，求出uC(0-) 和iL(0-) ：(0 )0(0 )0CLui第17页/共61页第十八页，共61页。2) 作出

15、作出t=0+时等效电路，求出时等效电路，求出iL(0+)和和uC(0+)。i(t)R1+-R2iC(0+)UsR3iL(t)1114VuL(0+)因为电路中无强迫跃变，可以因为电路中无强迫跃变，可以(ky)由由换路定律得换路定律得(0 )(0 )0(0 )(0 )0CCLLuuii所以所以(suy)t=0+时等效电路如图，因此时等效电路如图，因此2124(0 )2 (A) (0 )(0 )1 22 (V)1 1SCLCUiuR iRR 3) 根据电路根据电路(dinl)方程和方程和t=0+时电路时电路(dinl)初始状态，确定微分初始状态，确定微分初始条件初始条件(0 )Cdidt因为因为 1

16、2( )( )( )CCSRi tutR itU( )( )( )CLi titi tLi(t)R1+-R2iC(t)+-UsR3iL(t)1F1H1114VC第18页/共61页第十九页，共61页。所以所以(suy)121() ( )( )( )CSCLRR itUutRi t即即( )2 0.5( ) 0.5 ( )CCLi tu ti t ( )( )( )0.5 ( )0.5( ) ( ) , ( )CCLCLCLditdutdititutitCutLdtdtdt 微分微分(wi fn)得得0( )0.5 (0 )0.5(0 )2CCLtditiudt 第19页/共61页第二十页，共61

17、页。(2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况不满足换路定律情况): 当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容，或当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容，或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC，uL ，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方法失，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方法失效。通常有两种情况：效。通常有两种情况：. 电路形式有强迫跳变电路形式有强迫跳变(tio bin)可能性；可能性；. 激励信号为奇异信号时初始条件确定。激励信号为奇异信号时初始条件确定。第

18、20页/共61页第二十一页，共61页。l 电路有强迫跃变的特点：电路有强迫跃变的特点：l 存在全部存在全部(qunb)由纯电容组成的闭合回路；由纯电容组成的闭合回路；l 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；+-Us(t)-+-Us(t). 电路形式有强迫跳变电路形式有强迫跳变(tio bin)可能性情形可能性情形第21页/共61页第二十二页，共61页。3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点存在有全部由含电感的支路组成的节点(ji din)(割集割集)；4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点存在含电感的支路和理想电流源组成的节点(ji din)

19、(割集割集) 。+-Us(t)Is(t)第22页/共61页第二十三页，共61页。l 方法方法(fngf)步骤：步骤：l. 对含电容节点列电荷守恒方程对含电容节点列电荷守恒方程 (含电感回路列磁链守恒方含电感回路列磁链守恒方l 程程) 。)0()0(qq. 将将qCuC (=LiL)代入方程代入方程。. 根据根据KVL列回路列回路(hul)方程方程(根据根据KCL列节点方程列节点方程) 。. 对对和和联解，即求得电路初始条件。联解，即求得电路初始条件。)0()0(第23页/共61页第二十四页，共61页。例例 已知电路如图所示，在开关已知电路如图所示，在开关K闭闭合合(b h)前，各电容上的初始电

20、荷前，各电容上的初始电荷为零。当为零。当t=0时，开关时，开关K闭合闭合(b h)，求，求t=0+时各电容上的电压。时各电容上的电压。 解解 设设t 0时，时，C1，C2，C3上的上的电荷电荷(dinh)分别为分别为q1，q2，q3，电压分别为电压分别为U1，U2，U3。1)列出电荷守恒方程式列出电荷守恒方程式2)在在t=0-时，与时，与A点相连点相连(xin lin)的各电容极板上的总电荷为的各电容极板上的总电荷为0，开关闭合后，开关闭合后， 满足电荷守恒定律，所以：满足电荷守恒定律，所以：3)q(0+)= q(0-)=0123(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )0qqqqq +-Us-

21、+C1(q1)C3(q3)C2(q2)U1U2U3Kt=0A第24页/共61页第二十五页，共61页。2)2)因为因为(yn wi)(yn wi)111222333(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )qCUqC UqC U112233(0 )(0 )(0 )0 (a)CUC UC U所以所以(suy)3) 根据根据(gnj)基尔霍夫定律对两个回路列基尔霍夫定律对两个回路列KVL方程方程 +-Us-+C1(q1)C3(q3)C2(q2)U1U2U3Kt=0A1223(0 )(0 ) (b) (0 )(0 )0 (c) sUUUUU 4) 联解联解(a)、(b)、(c)式得式得 2311

22、23(0 )SCCUUCCC123123(0 )(0 )SCUUUCCC第25页/共61页第二十六页，共61页。例例 已知电路如图所示，在开关闭合后各已知电路如图所示，在开关闭合后各电感电感(din n)中没有初始能量，当中没有初始能量，当t=0时，开关闭合，求各电感时，开关闭合，求各电感(din n)电电流的初始值。流的初始值。IsL2L1i2i1RK解解 1) 列磁链守恒定律方程列磁链守恒定律方程(fngchng)因为各电感都没有初始能量，故在因为各电感都没有初始能量，故在t=0-时，由时，由L1，L2，R组成组成(z chn)的闭合回路所包含的磁链应等于的闭合回路所包含的磁链应等于0，即

23、，即(0-)=0，根，根据磁链守恒定律，据磁链守恒定律，t=0+时闭合回路的总磁链则应为时闭合回路的总磁链则应为0，即：，即：12(0 )(0 )0又因为又因为)0()0( ),0()0(222111iLiL第26页/共61页第二十七页，共61页。(a) 0)0()0(2211iLiL所以所以(suy) 3) 联立联立(a)，(b)求解求解(qi ji)即得：即得：12(0 )(0 ) (b)siiI21121212(0 )(0 )ssLiILLLiILL2) 在在t=0+时列时列KCL方程方程(fngchng)IsL2L1i2i1RK第27页/共61页第二十八页，共61页。u(t)C1UsK

24、+-+-t=0C2q1q2R1R2+-解：解：1) 开关闭合后形成全电容回路，因此开关闭合后形成全电容回路，因此(ync)电路中独立的相电路中独立的相当与只有一个独立的电容，所以可以采用三要素分析法求当与只有一个独立的电容，所以可以采用三要素分析法求u(t):)0( )()()0()(tueuutut第28页/共61页第二十九页，共61页。.求求u(0+):.列电荷守恒列电荷守恒(shu hn)方程：方程：)0()0( qq因为)0()0()0()0( )0()0()0()0( 21212121qqqqqqqq即又因为电路又因为电路(dinl)t=0-无储能无储能0)0()0( 21qq所以0

25、)0()0(21qq.将将q=CuC代入上式得：代入上式得： (1) 0)0()0(2211CCuCuC.列回路列回路(hul)KVL方程：方程：(2) )0()0(21sCCUuu第29页/共61页第三十页，共61页。.联解联解(1)、(2)两式得：两式得：)0()0(2112uUCCCusC.求求u()： 因为因为(yn wi)稳态时，稳态时，C开路，由分压公式可得：开路，由分压公式可得：sURRRu212)(.求求 令独立源令独立源Us=0，则可知，则可知(k zh)C1和和C2并联，并联，R1和和R2并联并联 )( / 2121210212121021RRCCRRCRRRRRRRRCC

26、C第30页/共61页第三十一页，共61页。. 求求u(t) 由三要素法公式由三要素法公式(gngsh)可得：可得：122121212( )tsssCRRu tUUeUCCRRRR211211RRRCCC令令则电路过渡则电路过渡(gud)过程过程为为02211CRCR第31页/共61页第三十二页，共61页。 采用对网络采用对网络(wnglu)方程两边从方程两边从0-到到0+进行积分来求得进行积分来求得t=0+时时的初始条件的初始条件因为对于因为对于0-0+无穷小区间，若被积函数不是无无穷小区间，若被积函数不是无穷大，则在这无穷小区间内积分为穷大，则在这无穷小区间内积分为0。.电路形式电路形式(x

27、ngsh)无强迫跳变可能性，激励信号为奇异信无强迫跳变可能性，激励信号为奇异信号时初始条件确定号时初始条件确定例例 已知如图电路系统起始已知如图电路系统起始(q sh)无无储能，即储能，即22(0 )(0 )0 , 0diidtLi1(t)RM+-Ri2(t)LU(t)解解 (1)建立电路微分方程建立电路微分方程22222222( )( )( )()2( )d i tdi tdU tLMRLR i tMdtdtdt试求试求22(0 )(0 ) , diidt第32页/共61页第三十三页，共61页。222222222222( )( )2( )( ) (1)d i tdi tRLRMi ttdtd

28、tLMLMLM220002222222222200002220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM 2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 第33页/共61页第三十四页，共61页。2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 因为对于因为对于00无穷小区间无穷小区间(q jin)，若被积函数不是无穷大，则在，若被积函数不是无穷大，则在这无穷小区间这无穷小区间(q jin)

29、内积分为内积分为0。 0 0所以所以(suy)0)(002dtdttdi22(0 )(0 )0ii则则2(0 )0i第34页/共61页第三十五页，共61页。b.求求)0(2dtdi对对(1)式两边式两边(lingbin)进行一次进行一次00的积分得的积分得22000222222220000220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM22222222(0 )(0 )2 (0 )(0 )0didiRLMiidtdtLMLM0)0(2dtdi 0又又222(0 )diMdtLM第35页/共61页第三十六页，共61页。)0()0(dtdyd

30、tdy(1) 当激励为奇异信号时，先建立电路方程；当激励为奇异信号时，先建立电路方程；(2) 对方程两边从对方程两边从00进行适当进行适当(shdng)的积分：的积分：(3) 进行与微分方程阶次相同次的积分，求进行与微分方程阶次相同次的积分，求y(0+)-y(0-)降一阶的积分降一阶的积分(jfn)，求，求第36页/共61页第三十七页，共61页。( )( )( ) hpy ty tyt自由响应自由响应(xingyng)强迫强迫响应响应(xingyng). . 求齐次方程的齐次解求齐次方程的齐次解( (自由响应自由响应) )求特征方程的特征根求特征方程的特征根 00111aaannn查下表得齐次

31、解查下表得齐次解(系数系数Ai未定未定)第37页/共61页第三十八页，共61页。特征方程特征方程的根的根齐次解表达式齐次解表达式特征根互异特征根互异(即无重根即无重根)特征根有特征根有k重根重根特征根有一特征根有一对共扼复根对共扼复根j2, 11111111( )kintttthkkii kytA eA teAteAe 12121( )nintttthniiytAeA eA eAe123(t)(cossin)intthiiyeAtAtAei表表5.1 齐次解表达式齐次解表达式第38页/共61页第三十九页，共61页。. 求齐次方程的特解求齐次方程的特解(强迫强迫(qing p)响应响应)对于一般

32、激励信号，特解的求取是困难的，但对于一些典型对于一般激励信号，特解的求取是困难的，但对于一些典型激励信号，特解的函数形式与激励形式有关。将激励函数代入微激励信号，特解的函数形式与激励形式有关。将激励函数代入微分方程的右端，代入后，右端的函数式称为分方程的右端，代入后，右端的函数式称为“自由自由(zyu)项项”。通常，由观察自由通常，由观察自由(zyu)项试选特解函数式，再代入方程求得特项试选特解函数式，再代入方程求得特解函数式。解函数式。 )()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn 自由自由(zyu)

33、项项部分特解函数式列于下表部分特解函数式列于下表 第39页/共61页第四十页，共61页。自由项自由项(典型激励信号典型激励信号)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)E(常数常数)pttetsintcos1121( )PPpPpytBtB tB tB( )tpytBe12( )cossinPytBtBttettPcos1111( )()cos)sinptPpPptppytBtB tBetC tC tCet( )pytBtettPsin表表5.25.2特解表达式特解表达式第40页/共61页第四十一页，共61页。注：（1）表中B，C是待定系数。 （2）若f(t)由几种激励函数组合(zh)，则特解也

34、为其相应的组合(zh)。 （3）若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项，即t倍乘表中特解；若这种重复形式(xngsh)有k次（特征根为k重根），则依次倍乘t2，tn诸项。例如 ，而齐次解也是 ，则特解为 ；若是k重根，则特解为tetf)(tettteBteB10tktktkeBetBetB110第41页/共61页第四十二页，共61页。 将将yp(t)代入非齐次方程，通过比较代入非齐次方程，通过比较(bjio)系数法，求得其系数。系数法，求得其系数。. 由已知起始条件，求得初始条件；由已知起始条件，求得初始条件；. 由完全由完全(wnqun)解和初始条件定出通解系数解和初始条件定出通解

35、系数Ai，即得全，即得全解解y(t)()()(tytytyzszp. . 由已知起始条件求得初始条件；由已知起始条件求得初始条件；. . 求零输入响应求零输入响应( )(1)(1)110(1)( )( )( )( )0 (0 ),(0 ),(0 )nnnnytayta yta y tyyy第42页/共61页第四十三页，共61页。求特征求特征(tzhng)方程的特征方程的特征(tzhng)根根 00111aaannn查表查表5.1 得得yzp(t)(系数系数(xsh)Ai未定未定)( )(1)(1)110()(1)(1)110(1)( )( )( )( )( )( )( )( ) (0 )0,(

36、0 )0,(0 )0nnnmmmmnytayta yta y tb ftbftb ftb f tyyy解法同方法解法同方法1，所以可求得，所以可求得第43页/共61页第四十四页，共61页。. 叠加：叠加：)()()(tytytyzszp(2) 两种解法的区别两种解法的区别相同点相同点零输入响应和自由响应都具有相同的函数形式，都满足齐次微分方程零输入响应和自由响应都具有相同的函数形式，都满足齐次微分方程。零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，与电路无关。零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，与电路无关。不同点不同点确定待定系数确定待定系数Ai的先后的先后(xinhu)次序不一样次序不一样

37、 自由响应零输入响应零状态响应中的自由分量自由响应零输入响应零状态响应中的自由分量 强迫响应零状态响应中的强迫分量强迫响应零状态响应中的强迫分量第44页/共61页第四十五页，共61页。第45页/共61页第四十六页，共61页。12( )sin2( ), (0 )0,(0 )0CCe ttU tuu且u2(t)C1e(t)+-+-C2R1R2+-1/2F1/3F110)(t 2sin6)(6)(7)(2) 1 (2)2(2ttututu第46页/共61页第四十七页，共61页。067212=-1 , 6 6212( )tthutk ek e所以所以(suy)通解为通解为(2) 求特解：求特解： 因为

38、激励是正弦因为激励是正弦(zhngxin)，所以，所以212( )sin2cos2PutBtBtttBtBtBtBdtdtBtBdtd2sin6)2cos2sin( 6)2cos2sin(7)2cos2sin(21212122第47页/共61页第四十八页，共61页。ttBBtBB2sin62cos)214(2sin)142(2121112122324650 14202150BBBBBB 6212321( )sin2cos25050ttu tk ek ett(4) 求初始条件，定系数求初始条件，定系数(xsh)ki1122(0 )0(0 )0 (0 )0(0 )0CCCCuuuu由换路定律由换路

39、定律(dngl)第48页/共61页第四十九页，共61页。因为因为(yn wi)流过流过R2得电流得电流即为即为iC2，而，而u2(t)C1e(t)+-+-C2R1R2+-1/2F1/3F111222(0 )(0 )(0 )0CCCuuiR222(0 )(0 )0CCdiidtC故方程故方程(fngchng)的初始条件为：的初始条件为：22(0 )0(0 )0CCididt121122211205025 63605050kkkkkk 第49页/共61页第五十页，共61页。62123321( )sin2cos225505050ttu teettl 用叠加法：用叠加法：l(1) 零输入响应零输入响应

40、(xingyng)为零（因为初始条件为为零（因为初始条件为0）l(2) 零状态响应零状态响应(xingyng)：就是该题所求得的上完全：就是该题所求得的上完全响应响应(xingyng)第50页/共61页第五十一页，共61页。dttdftydttdydttyd)()()(2)(22试求电路的完全响应，并指出其零输入响应，零状态试求电路的完全响应，并指出其零输入响应，零状态(zhungti)响应响应，自由响应，强迫响应。，自由响应，强迫响应。解：将激励解：将激励(jl)代入微分方程得：代入微分方程得：(1)( )( ) , (0 )1 , (0 )2tf te U tyy(2)(1)(1)( )2

41、( )( )( )( ) (1) (0 )1 , (0 )2tytyty tte U tyy(2)(1)(1)( )2( )( ) (2) (0 )1 , (0 )2tytyty teyy当当t0时，电路微分方程为：时，电路微分方程为：第51页/共61页第五十二页，共61页。方法方法1.经典法：经典法：y(t)=yh(t)+yp(t)(1) 求齐次方程求齐次方程(fngchng)通解：通解：0)()(2)()1()2(tytyty0122121特征根为：theAtAty)()(21通解：(2) 求特解：求特解： 因为信号因为信号f(t)是在是在t0时输入的，特解只在时输入的，特解只在t0时才成立，而这时时才成立，而这时(t)=0，激励只有，激励只有(zhyu)-e-t，因为其指数，因为其指数-1与特征根与特征根相同，而特征相同，而特征根又是重根，所以特解应设为：根又是重根，所以特解应设为：2123tttB eB teB t