江苏专用2020年高考数学一轮复习考点14导数的应用必刷题含解析.doc

1、1考点 14 导数的应用x1.（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e为自然对数的底数，函数f x=e3y = ax图像恒在直线2上方，则实数a的取值范围为【答案】-2e,0 x 23【解析】因为函数f x二e -ax的图像恒在直线yqax上方,所以R，exax2A3ax恒成立，即：exnax2+?x恒成立.2一I 2丿当a 0时，若Xr : , ex；0，不满足ex|x恒成立.当a co时，不等式ea x-x恒成立等价于:L 2丿23x x2xemin3/3记2丁，则.(XFX =hx-xhx=-e,-1上递减，在-1,3上递增，在3,=上递减，其简图如下:I 2丿12丿2-

2、ax的当a =0时,ex0：lx23xI 2二0恒成立.此时，h x在I：2解得:则正实数a的值为_.1【答案】【解析】当XW0时，f(x)=x+2x，单调递增,f(-1)=-1+210,由零点存在定理，可得f(x)在(-1,0)有且只有一个零点； 则由题意可得x0时，f(x)=ax Tnx有且只有一个零点，/nx*即有a有且只有一个实根.令g(x),g(x),当xe时，g(x)0,g(x)递减；当0 x0,g(x)递增.1即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，当x如图g(x)的图象，当直线y=a(a0)与g(x)的图象所以-a又a：0,2.(江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试)若函

3、数x+2xtax -inx.Jc 0,“在其定义域上恰有两个零点,0.13f03.（江苏省扬州市只有一个交点时，则a1故答案为：2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x,y,z满足；宀 齐inx - Inz =且，则的最小值为【答案】【解析】【分析】y 210-+ - -由XIn eyIn际3 J，又In/etInt,tx zxz y y y aaa,r am+KBIn G )=In In e In,令,f（t）=etInt，利用函数求导求最值.【详解】T正实数x,y,z满足3y2+3z20 yQ已知数列6所以 是以 为首项，2为公比的等比数列.(2)设，由(1)知,所以丄_

4、|_一二i, 即卩所以因为，成等差数列，则U 刃八 + 町 +(2 M 7 + * + 2)二2(1刃 + 氐+ 1)，所以A2k = 0，所以几=0l= n=1所以，即仆ln + -aHln(n + l)- aa+1要证，1.、n+ 111r 竝+1岂“ +a+1) In- - - 2n-从赳小丿乳，即证n n+1耳.I 1t-11-= t +- = t 设，则，且，t- 2ni fx) = x - 2|nx从而只需证，当时，设(),.1 2 fl/(x) = 1 + - - =- 1 | 0则，所以 在上单调递增,x - - 2|nxc - - 21nC所以；：汀，即，因为 ，所以，所以，

5、原不等式得证.6(江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二)已知数列a/f,印=2，且ana2- an1对任意nN”恒成立.(1)求证:an 1=anananl( a2a 1( nN)；(2)求证：an!- nn1 (n.N).【答案】(1)见解析(2)见解析2 2【解析】(1)当n=1时，aa1-ar1=2 -23满足a=a11成立.b 1 = 1 =因为 ，所以厶D -，所以( ),即证Tl+ 1* 7假设当n=k时，结论成立即：akakakdak |j|a2a1- 1成立下证：当nk1时，ak 2=ak kak丨心23- 1成立。2因为ak 2 -ak d_ ak 11=ak 1a

6、k 11 1-ak 1akakak _2I Ia2a1 1一1-ak 1akak dak _2H la2a1 1即：当n = k 1时，ak 2二akdakakjHI a2a1- 1成立 由、可知，ananandan|l|a2a1-1(nw N*)成立。2 1(2)(i)当n=1时，a?=2 -2 311成立，2 2当n = 2时，a3= a2- a21 = a2a2-1 1T 3 2 1 =721成立，k(ii)假设 门=制寸(k3)，结论正确，即：aAk +1成立k卅下证：当n k 1时，ak 2k 11成立因为ak 2二a：#ak 11二a-1a -1 1 kk1 kk1二k2kkk1k

7、要证ak 2k 11,只需证k2kkk 1 yk111只需证：k2kn(k+1),k只需证：In k2kln k 1即证：2kl nk- k 1 In k 1|，0(k_3)记h x i=2xln x - x 1 In x 1h x =21 n x 1 i；(In x 1 1 =21 n x -1n x 11x2f1、=ln1 = ln x 121x 1. x 1f 1)f1)11当x+12时，ln x+1+-2l十1ln 2+一2；+1=l n丄+1l n丄十1 = 0，Ix+1丿I2丿2e8所以h x =2xln x - x 1 ln x 1在1, ：上递增,9又h 3 =2 31 n3

8、-41 n4=ln3_ln 44= In729 - In256 . 0所以，当x_3时，h x _h 3. 0恒成立。即：当k_3时，h k _ h 3. 0成立。即：当k_3时，2klnk -k 1 I nk1 . 0恒成立.所以当k _ 3,ak 2k 11恒成立.由(i) (ii)可得：对任意的正整数n. N，不等式an1 nn1恒成立，命题得证.27.(江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二) 已知函数f x =xxalnx，其中a：=R.(1)如果曲线y = f x在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；a(2)若函数f x的极小值不超过，求实数a的最小值；2(3)对任意1,

9、2，总存在X2 4,8，使得f %=f X2成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)3; (2)2; (3)16a22+l n2 7+3l n2a【解析】(1)由题可得：x=2x，2-a，所以1=2，2-a-ax又曲线y二f x在X=1处的切线斜率为1,所以f 1=22- a -a=1,3解得：22 .,a 2x + (2 a )x af x =2x 2 -axa因为函数f x的极小值不超过，说明函数f x有极小值21aa即：In 02422 x 1 I x-空 2 )- -x 0 x(2)a则20，其极小值f旦工2-a旦-aln弘旦24222101 aa记：ha二厂厂%，上述不等式可转化成h

10、a211整理得:162 I n28时,f x在1,|递减，在号,8递增,当a =2时,h 2 =1一?_ln2=0,7242要使得ha乞0,则h a h 21 1因为h a0恒成立,4 a所以h a在0,；上递减,a _2所以实数a的最小值为2(3)记f x在1,2 1的值域为A，f x在14,8 1的值域为B对任意x11,2 1，总存在X2E14,8】，使得f (% )= f(X2)成立,则A J B成立2(x!f x =- x 0 x(I)当-1时，f x在1,81递增，不满足B2要使得AB，贝U f 8 - f 1当I2时,f x在巧递减，在护递增，不满足a .(川)当24时2f x在1

11、,2 1递减，在1.4,81递增,要使得AB，则f 24lf(1f(8)即:4 4 - 2a- a I n2_16 8-4a-al n41 2 -a乞64 16-8a -aln812即：64 16 _8a _aln8 _12 _a整理得：8777+31 n2综上所述：1677a _2 ln 27 3ln 28.（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB BC CA其中AB,C分别为圆上的三个进出口，且 代B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上.在道路AC与BC

12、之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M N分别在BC和CA上，且M在圆心0的正西方向上，N在圆心0的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草.（2）求种植柳叶马鞭草区域MN（面积的最大值（水渠宽度忽略不计）【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】（1）以圆心 为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为 设点O（“7 = x- 1）/VO,直线 的方程为，令得1 -sindy- + 1-cos3令y = o所以MN2=1-sinG)1 -COS&（门当2_8时,f x在1,81递减，不满足B.(COS&直线的方程为1 +COS&1. - cost?

13、（1）求水渠MN长度的最小值;131+血&.4-1 -sinG14所以所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 另法：（2）因为八必 ，所以cosO COS&-1 - sin2cos 01- cos1 S-CMCNSm =所以=-j寸(1 + sinO)(l十7Tt = sin8 + cosO = Jlsinl B + -设（3 yr，因为，所以f =-2+1+-/ 3?r日ekT.(cos6 - sind)(2 + sinOcDsO -则STTG=斗令门！ 一 得当时，则 单调递减;/5ir 3町& e当所以当,4 V丿时，f0,则f单调递增;5?7%瓦时，

14、只小-4盪水渠长度的最小值为百米M（2）由（1）可知，uoa& sin8ND,I 1-cos&?7Tt sinG + cosO JSjinl 0+-设，因为，所以CM=CN =15所以SCMN-2 , -J2生Ll所以当时,f=-+应仆尺)9.(江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次(2月)模拟)已知函数(1)讨论；的单调性;(2)设；的导函数为.，若有两个不相同的零点.1求实数的取值范围；2证明. ：W十心；込；x- 【答案】(1)见解析(2)，见解析【解析】(1)的定义域为，且当鶯艺：时，成立，所以在为增函数；当 时，(i)当 时，所以 在上为增函数;(i

15、i)当时，所以 在上为减函数.(2)由(1)知，当时，至多一个零点，不合题意；当 时，的最小值为，依题意知d心-“出：匚:，解得一方面，由于，厂:心，在i !;i为增函数，且函数 的图象在上不间断.所以 在上有唯一的一个零点.小1210a-0 a2 a 另一方面，因为，所以, 171 1f(a2) = - + Ina2= -+ 2lnaga) = -+ 2lna种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为血-1-2-平方百米.16a口令口170a）a xOJC2所以，所以 在为增函数.所以，所以成立.18从而成立.19所以P = 2十如巾）2血十2,即W %）十兀/（丸2加口十2成立10.（江苏省徐州市（

16、苏北三市（徐州、淮安、连云港）2019届咼三年级第一次质量检测）如图，某公园内有两条道路！；，-,现计划在上选择一点，新建道路；，并把；所在的区域改造成绿化区域.已匚BAC =-知百，川目=2 七加.（1）若绿化区域 匕川门的面积为1，求道路宀的长度;0j9 （2）若绿化区域-：改造成本为10万元/，新建道路宀成本为10万元/设）, 当 为何值时，该计划所需总费用最小?【答案】（1）（2）【解析】（1）因为在匕山匸中，已知， 一 2川6S = -x715xJ4Cxs!Jn-=l所以由的面积， 解得= AB1+ AC2 - 2xABxACx cos-622+22-2X2X2X COS-=8-4J

17、36?所以一 H - -汇ACB= ?r -4-记该计划所需费用为，cl1“10(770 + 1)x 2 x -x 10十-x 10 =sin(& + )6在中，由余弦定理得:BC _ ABKAC_BAC =- =在冲日匚中6 AB = 2 km由正弦定理得MB nA sinC12sin0f?C =- AC =sin(6 +所以sin(G+1 2sin&) = 2X-血(臼+ )sin(& + ”(020sinG -icosd令，则,由门-：i，得 所以当时， 单调递减;BE （9-）i当时， 单调递增.+ 兀B =所以时，该计划所需费用最小.11.（江苏省淮安市淮安区

18、2019届高三第一学期联合测试）已知函数 / -1R.（1）当a=2时，求函数的单调区间；（2）若函数； 在I处取得极值，对 （0,），:恒成立，求实数b的取值范围.OTb-i_4【答案】（1）递增区间为，单调减区间为；（2）1 2x - 1【解析】（1）在区间上，X X0 r0, b0，则由f(x)=0，得x,2在R上列表如下:x(-,X1 )X1(%2 )X2化，母）厂（X）+0一0+f（X）单调递增极大值单调递减极小值单调递增K当X2_3，即匸时,则3,3,x2，所以f x在-3,31上单调递减；K（ii）当X2：3，即a时，此时 洛 -3,27f x在1-3,x1和A,31上单调递增；

19、在 为,X2上单调递减.综上，当0：a时，f x在I-3,3】上单调递减；所以f (xhin =f (-3)=-27a1 -0，解得0：a1,254（为：X2）A = a 10：a_22若f -3 = -27a -3b 1：0,这与-x D , f x一0恒成立矛盾,故此时实数a不存在；若f -3=-27a -3b 1 0, 此时f (冷)=ax；+bx2+1,22lb又f X2i=3ax2b =0,则ax?：3f X2Aax3bx21 =X2bx21=如1=2b. -b1 4b1.333 i 3a 27a-4b327a.b因为a-一，且-27 3b 10，则27 -3b 1,27下证：-4b

20、3乜3b 1.32令g b =4b -3b 1(b T)，则g b =12b -3 0,(i)当0：a _ -时，f x在I-3,31上单调递减,所以f (xkin =f (3 )=27a +3b +1兰一b +3b +1 = 2b +1 v 0,h,3上单调递增;3a,3上单调递增;这与- xD,f x _0恒成立矛盾，故此时实数a不存在;F面证明4b1：0，也即证:27a23所以g b在-,-1上单调递增，所以g b g -1 =0，即f x2 0.这与D,f x -0恒成立矛盾，故此时实数a不存在.24综上所述，An；（方法二）（i）当x=0时，f 0 =1_0成立;（ii）当xo,3时

21、，由题意可知ax3_-bx-1恒成立，则a设g X 2一4，则g X二卑2x x所以g（x肛卜-討上单调递增，在疵上单调递减,4b3b 1一 -一成立，即4b3-3b 1 _0,279 27也即（b +1 X2b 12工0成立,则b - -1，这与b 272727（iii）当X丨-3,0时，由题意可知ax3_ -bx -1恒成立，则a込、丄彳、b 1.t2b3设g x2-飞，则g x3x xx2bx 3因为b：-1，所以g x 0恒成立,所以g x在-3,0上单调递增,所以gxmin =g 3；-27,所以ab丄9274b3A =一，则存在实数a满足279 2713.（江苏省南通、扬州、泰州、

22、25部分组成，下部为矩形AB 的长分别为2和和用，上部是圆心为。的劣弧CD,.COD =326长即为拱门最高点到地面的距离.在go砂中，0蔦，产占所以，圆的半径 -p-所以：-：!:二丨- I答：拱门最高点到地面的距离为.(2)在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点当点 在劣弧 上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆 的半径长与圆心 到地面距离之和;当点在线段 上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离.由(1)知，在中，以 为坐标原点，直线 为 轴，建立如图所示的坐标系.(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形:所在的平面始终与地面垂直，如图2、图4所示设与地面水平线 所成的角为记拱门上的点到地面的最大距