行列式的计算技巧——毕业论文

1、行列式的计算技巧一一毕业论 文2016届本科毕业论文行列式的计算方法姓名：*院别：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学号： 0000000000指导教师：*2016年 5月2016届本科生毕业论文目录摘要错误!未定义书签。关键词错误!未定义书签。Abstract错误!未定义书签。Key words0引言1基本理论2行列式的计算技巧2.1 化三角形法2.2 递推法.2.3 降阶法.2.4 4数学归纳法错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。 错误!未定义书签。2.5范德蒙德行列式法错误!未定义书

2、签。2. 6拉普拉斯定理法.错误!未定义书签。2.7拆行（列）法.错误!未定义书签。2.8构造法错误!未定义书签。参考文献错误!未定义书签。致谢错误!未定义书签。I2016届本科生毕业论文行列式的计算方法摘要行列式是代数学重要研究工具,并且在物理, 经济,金融等各学科当中都着有广泛的应用.本 文针对行列式的特点,利用行列式的性质,主要 讨论了行列式的计算方法,例如：三角形行列式 法，递推法，降阶法，范德蒙德行列式法等，并 且根据每一种计算方法的特点，通过典型的例题 进行论述.关键词行列式;计算技巧;范德蒙行列式;上三角形The determinant calculation technique

3、sAbstract2016届本科生毕业论文Determinant is an important tool in algebra research, which has a wide range of applications in physics, economic, flnancial and so on. This paper according to the character and quality of determinant, discuss the calculation method to determinant, for instance: the triangle met

4、hod, the recursion method, the order reduction method, Vandermonde determinant method ect, basis on the character of every calculation method, discuss things through typical examples.Key wordsThe determinant; Computing skills; Vandermonde determinant; The triangle50引言行列式描述的是在维空间中,一个线性变 换形成的平行多面体的体积,

5、被广泛应用于解线 性方程组,计算微积分,矩阵运算等.行列式最初 是伴随着方程组的求解发展起来的.发展至今， 行列式已成为代数学中的重要内容,在数学理论 上有着十分重要的地位.行列式的概念最早是在 十七世纪日本数学家关孝和在一部叫做解伏题 之法的著作中提出来的.十八世纪法国数学家 范德蒙德首先把行列式作为专门理论独立于线 性方程组之外进行研究.而十九世纪,是行列式 理论形成和发展的重要时期.1815年,柯西在他 的一篇论文当中给出了关于行列式的第一个系 统的、并且几乎是近代的处理.当中主要结果之 一则是是行列式的乘法定理.除此之外,他还是 把行列式的元素排成方阵的第一人,并且采用双 足标记法.他

6、不仅引进了行列式特征方程的专业 术语;还给出了相似行列式概念.本文主要讨论行列式解题方法和解题思路. 本文重点讨论了 8种较为典型的计算行列式的 解题技巧,并在给每一种计算技巧都提供了典型 的例题，帮助理解相对应的技巧方法.本文分成两个部分,第一部分重点叙述了行列式的定义, 基本性质以及矩阵的定义.第二部分论述了计算 行列式的方法以及应用.以便可以更有针对性 的根据行列式的特点选择出比较便捷的计算方 法,从而更快的计算出行列式,并且在物理,经济, 金融等各学科当中能够取得更有效的学习.1基本理论1.1 定义级行列式a Cl2 "1Cl2 a22an等于所有取自不同行不同列的个元素的乘

7、积c5y(1)的代数和,这里心”是1,2,.n的一个排歹！J,每一项 都按下列规则带有符号：当加F是偶排列 时,(1)符号为正;当网“是奇排列时带有负 号.此定义又可写成这里E表示对所有级排列求和.必1.2 级行列式的基本性质ann性质1行列互换,行列式不变.“12a22 an a2n性质2行列式中任意两个行或列互换，行列式值改变符«112 au%2 %” 町% ajn 町62 a.如 an2 annq”Cln2 ann性质3某个数乘以行列式的某一行或者某一列,则可以将该数提取到行列式外.性质4-如果某一行（列）是两组数相加的 和,那么此行列式就等于两个行列式的和,而这 两个行列式除

8、去这一行（列）之外,剩下的元素全 部对应相同.2016届本科生毕业论文性质5如果行列式中有两行或者两列的对 应元素相同,则此行列式的值为零.% % % 4” 凡2册”性质6如果在行列式中任意两行（列）对应 成比例,则此行列式的值为零.% 为2 （% 册 I iln2 性质7把一行（列）的倍数加到另一行（列）,则此行列式值符号相反.Cl2Cln%+% ai2+kaj2ain +kaJH . % ail % 盯a j?旬 aj2 ajnaHan2annCln an2 ann2行列式的计算技巧62016届本科生毕业论文行列式是线性代数中的一个重要研究对象, 并且是线性代数中的一个最基本,最常用的工具

9、， 因此研究行列式计算技巧实是为了更好的去了 解行列式计算过程中的一些方法,为更快更好更 方便的解答行列式的计算提供方法.2.1化三角形法定义2由?个数排列成的机行列的表aml Clm2 amn称为一个矩阵. 元素；(4)定义3数域上矩阵的初等行（列）变换是指 以下三种变换:， 交换矩阵的两行（列）；把矩阵的某一行（列）所有元素的k倍加以一个数丘。乘矩阵某一行（列）的所有到另一行（列）对应的元素上去；矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的 初等变换.定义4数域上主对角线以下或以上的全 体元素都是零的阶方阵，称为三角矩阵.定义5主对角线以外的元素全为零的行列 式称为对角行行列式.且对角线以下（

10、上）的元素 全为零的行列式叫做上（下）三角形行列式.命题1-上三角形行列式等于主对角线上 元素的乘积,即证明我们首先观察形如式的项有哪一 些不为零，然后再来决定他们的符号.项的一般 形式为 在行列式中第行的元素除去”,“以外全为零,因 之,只要考虑的那些项.在第眉行中,除去 外，其余的项全为零.因之如,这两个可 能.由于，所以人就不能等于了，从而1. 这样逐步推上去，不难看出，在展开式中，除去4必这一项外，其余项全是0.而这一项的列指标所 成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号.结 论得证.如果把一个行列式经过适当变换之后化为三角形,那么其结果即为行列式主对角线上元素 的乘积.化三角形法是把原

11、行列式化成上（下）三 角形行列式或者对角形行列式计算的方法,一 来说,每个行列式都可以利用行列式的性质转化 为三角形行列式.但是对于阶数高的行列式,在 通常情况下,计算往往会比较繁琐.因此,在许多 的情况下，总是首先利用行列式的性质将原行列 式作为某种保值变形,然后再将其化为三角形行 列式.任意一个阶方阵总可以经过行列初等变换化成上（下）三角形矩阵（证明见高等代数 瓜）,从而把行列式写成上（下）三角形行列式与 一个数乘积的形式,其步骤如下:如果行列式的 第一行第一个元素为零,首先可将第一行（列）与 其他任一行（列）进行交换,使得第一行第一个元 素化为不为零,然后把第一行的合适的倍数加到 其他各

12、行,使得第一列除了第一个元素之外其他 元素全部为零,然后再用相同的方法处理除去第 一行第一列余下的低阶行列式,依次化下去,直至化为上三角形行列式,此时行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积.b例1计算下列行列式2将所有的行加到第一行上a + (n - l)b ba a +(- 1) /? h1 1 1 b.1 ab a b b=a + (n - l)bb b a bb b b a100.0b a-b 00= a + (n-)bb 0 a-b 0 = a + 0? -1)可(a -b 00a-b1 2 32 3 4例2计算行列式。=3 4 5 In 12123111111 1 1 一 1n -

13、 1 n1 1-/1 1- 1 n 2321""011l-n1将所有列加到第一列上01 11 1-7?111-7?1 1 1第一行的(-1)倍加各行上迎业00 -n n2 2o0：1 1 1一 00/71101-11101 1n(n +1) 一F一H(n-l)=(-1尸(12172.2递推法定义5利用行列式性质,把一个n阶行列式 表示成具有相同的结较低阶行列式的现行关系 式,这种关系式被称为递推关系式.递推法是根据行列式构造特点,建立工与心(或者工与黑)递推关系式,逐步推导下去,求出 利用2求出。“的值.的值.也可以找到R与a的递推关系，然后若阶行列式。满足关系式畋+犯_+

14、咽_2=°则作特征方程+c = O.若心,则特征方程有两个不等根,则2=4叩+%-二(6)若-4ac = 0,则特征方程有重根苔=三，则 Q=(A+3)x；i.在(5),中，A, B均为待定系数,可令 ="=2求出.0apa + /3a + /3 ap1 a + J3例3计算行列式。1 a + J3解按第一行展开,得Dn=(a + fl)Dn_1-aD_2Dn -ctDn = 0(D_aD2)由此递推，得出2 一组T =炉因为2中a与夕对称,则有pm.(8)当由(7),(8)得&=士展.a-p当。=葭a=尸"+尸。t =加+以严1+广。.)=2炉+仍* =

15、( - 1以十/一 2=(+1，.2.3降阶法定义6在行列式对勺%中划去元素的所在的第，行与J列,剩下的。1)2个元素按原来的排法构成一个1级的行列式aa.j-即川an 4-1.1 4-1 j-i 4-ij+i 4-1.4+1 "r+l J-14+1J+1aM.n Unl an.j- 金川 ann称为%的余子式,记为此.而&=(-1产%称为羯的代数余子式.推论W设。,=同为n阶行列式，则6=即 4 + q2A2 + +(i = 1,2,n).或。” =4儿+旬j +%猿(尸1,2，,)其中&为。中的元素%的代数余子式.降阶法亦称为按行(列)展开法.即按照某一行(列)展

16、开行列式,即可以使得行列式降一阶.依次进行下去,直至化为二阶或者三阶行列式, 可直接计算结果.如果行列式中的零元素比较多, 我们则可以按照某一行（列）展开计算.若是行列 式比较复杂,为使得计算比较简单,我们可以根据行列式的特点,首先利用行列式的性质将行列 式进行化简,使得行列式中有较多的零元素出现, 然后再展开.例4计算下列行列式 =203.18192021718191161718* .18 32119212123 . 18 19 201111112-11-1113 -1 -1 .111 19 -1 -1 . -1 -1 120 -1 -1 -1 -1 -1= 21x(-1)2Q+1x2,8=

17、-21x21s.乙1乙2。= 32120 19 18(i = 2,20)r + /; r11 /IOIV16 17 18 3211113 024 00 一 c 什1 r(|= 1,19)111222222 = 2000.0022100.0002.4数学归纳法定义7当一个命题满足下面两个步骤 证明当n取第一个值口心小N）时命题成立;假设n = k(keNk>n0)时命题成立，证明"k + 1 时命题也成立.我们就可以断定这个命题对于从明开始所有的正 整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于 确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的 或者用

18、于确定一个其他的形式在一个无穷序列 是成立的.最简单和常见的数学归纳法证明方法 是证明当n属于所有自然数时一个表达式成,这 种方法是由下面两步组成 递推的基础：证明当时表达式成立. 递推的依据：证明如果当n = ?时成立，那 么当n = 用时同样成立.(递推的依据中的“如果” 被定义为归纳假设.不要把整个第二步称为归纳 假设).当心与%为同型的行列式,我们一般考虑用 数学归纳法求解.一般是先利用不完全归纳法找 出行列式的猜想值,然后再利用数学归纳法证明 猜想.因此,数学归纳法我们一般可以用来证明 行列式等式.因为给定了一个行列式,我们要猜想行列式的值是不容易的,所以是先给定行列式 的值,然后再

19、去证明.例5证明下列等式-1X0-1=+(ixn ' + + cin -1071-2证明当 =2时.V -1a2 x + aA=X1 +。工 +。2 命题成立.假定对于57阶行列式命题也成立,即2-1 ="+4_2工 + %-1 则2按照第一列展开-1 0 <1 10000=+ an =右边) x -1所以对于阶行列式命题也成立.得证.2.5范德蒙德行列式法范德蒙德，Vandermonde,法国数学家，17351796.除了把行列式应用在线性方程组之外,范德 蒙德也是第一个行列式本身的表达式以及性质 进行研究的数学家，他的主要贡献之一就是用 "X"方

20、阵A里较小的方阵行列式以表示A的行列式2016届本科生毕业论文方法.这种方法和其他一些相类似的方法,在简 化大型的行列式计算方面是有着极其方便的效 果的.正因为如此,范德蒙德被认为行列式理论 的奠基人.根据行列式的特点,利用行列式的性质适当 的变形,把所求行列式化为已知的或较为简单的 形式.范德蒙行列式就是其中的一种.范德蒙德 行列式2的每一列都是以不同整指数的某个数 形式出现的,并且具有很强的规律性.塞次数的 变化趋势呈现出由。到递增或者递减的这一结 构特点,从而把所给的行列式化为范德蒙行列式, 然后进行简化计算.定义8行列式1111q七%为)2a生-出一q；称为级的范德蒙德行列式.定理1对

21、任意的爪心2), 级范德蒙德行列式等于这个数所有可能的差-%(1 <j<i<)的 乘积.即2016届本科生毕业论文n（-%）证明首先对作归纳法.当=2时，1 1结果是正确的.设对于,1级的范德蒙德行列式结 论成立.在中,第行减去第行的G倍,第行减 去第-2行的“，倍.也就是由上而下依次地从每一 行减去它上一行的倍，有=52一囚）（丹-）（4-）后面这行列式是I级的范德蒙德行列式,根 据归纳法假设,它等于所有可能差3的乘积;而包含外的差全在前面出现了.故结论对 级范德蒙德行列式也成立.推论2范德蒙德行列式为零的充分必要条件是,心这个数中至少有两个相等.利用范德蒙德行列式的结论计

22、算并不复杂, 难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形 式.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不 同次塞,但其塞次数的排列与范德蒙德行列式不 完全相同,需利用行列式性质（如提取公因式,调 换各行（或各列）的次序，拆项等）.例6计算阶行列式（ _+1）”“ （ _ +2严 伍 _ I）”“（4-+ 严（ 一+ 2尸.伍-严"T 。一+1。一+2a1 1 1 1解显然此行列式与范德蒙行列式是相似的, 但还是有所不同,所以要首先利用行列式的性质 把它化成范德蒙行列式的类型.首先将行列式的第行依次与第1行,”2行，2行,I行兑换,再将得到的新的行列式的第行与第行,一2行,，2行进行对换，直

23、至最后将第行与第1行进行对换,如此,共经过5一1） +（一2） + . + 2 + 1 = （一1）/2次行对换之后,得到1 1.11一+1a-n+2 。一1a（ 一 +1）”? （a 一 + 2）".（4_ 广"T（ 一 + 1尸（a-/? + 2 严（。一 I）"" a""上面式子右端的行列式已经是范德蒙行列 式,所以利用范德蒙行列式的结果得on=（-i）2 n 一十，）一（。一+，）=（一1）2 口（、/）】S y<rS/i例7计算行列式& 二j褥1一名血"a；设 1 - a,Fn解由=1+名片 + +4

24、1-设1, 可得1-4件_ （1 一（1 + a血+ 2广力I）1一。/1一。典24l-a；固1-。皿1 。血1 %凤 1 + %自+1 + %月+力1 1囚生2a11 %.见zA 1 4PA1一。泊1 - anPnA =II «ai）（BB） 0<&1-可用 1+始£51+4靖1河=n（%-%）ii（卜 P）1< j<i<Jil< j<i<nP：2.6拉普拉斯定理法定义9在一个n级行列式D中任意选定k行k列（kn）,位于这些行和列的交点上的k2个元素按 照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列 式D的一个k级子式.当k&

25、lt;n时,在D中划去这k行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的一级行 列式M称为k级子式M的余子式.定理2（拉普拉斯定理E）设在行列式D中任 意取定了 k（l<k<n-l）个行，由这k行元素组成的一切 k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行 列式D.（证明见高等代数取）.拉普拉斯定理,在计算行列式的时候,主要 应用的是k = l的情形,很少用到一般的形式,不过 当行列式的里面零元素很多时,我们运用一般情形的拉普拉斯定理,则会给我们的行列式计算带 来很大的方便.拉普拉斯定理四种特殊情形(II) 7卜=4也.U(III) : 9 =(-1门4悔C ifnn tun（iv），个=

26、（一 D U证明 在左端的行列式中，取定前机行, 组成的粉式子中只有前洌不为。.根据拉普拉斯定理得=乩（-1严M QI =/Q.同样的方法可以证明（ii）.证明（iii）在左端的行列式中,取定前川行, 组成的,阶式子中只有后加列不为。.根据拉普拉斯定理得 二二|，|（一1）""=（一1 +"4|一|C D tin nni由于inn + mm +1）与奇偶性相同，所以0 A丁=（一1）"4/| 纥.同理可证（iv）.例8计算阶行列式2 =a30°ct00 B00a解2, 九一42aaaabaa-ppp00-aa00 0000 a-pbA (一 1

27、)。aa ab a + (- 2)/7pp pG+G00a-p 00(i = 3,一)000 a-p 0 0000a-p利用拉普 拉斯定理a-p02(一 l)a*0a-b a + (n-2)fl 2x2* 0000 (n-2)x(n-2)= Aa + /l( - 2)/7 a仅 -1)(a -2.7拆行（列）法定义10由行列式拆项性质知，将已知行列 式拆成若干个行列式之积,计算其值,再得原行 列式值,此法称为拆行（列）法.由行列式的性质4知道,若行列式的某行 （列）的元素都是两个数之和,则该行列式可拆成2016届本科生毕业论文两个行列式的和,这两个行列式的某行（列）分别 以这两数之一为该行（列

28、）的元素,而其他各行 （列）的元素与原行列式的对应行（列）相同,利用 行列式的这一性质,有时较容易求得行列式的1¥例9,设n阶行列式且满足“L3R2，对任意数n,求阶行列式。|+8 CW + b aUl + btf21 +b a22 +b a2n + b anl+b an2+b Ai解2016届本科生毕业论文同=1,且4 = A 由 A -pr 同得同*=A*,SPA*-A=E, A"=A28因(不)=")=(Aj-J”=一心A也为反对称矩阵.又4«/ = 12 .,")为人*的元素.辿从而知a=i+ £ &=1.2.8用构造法解行列式构造法是运用数学的基本思想经过认真的 观察，深入的思考，移联想，确思维,妙地、合理地构 造出某些元素，种模式,问题转化为新元素的问题, 转化为新元素之间的一种新的组织形式,而使问 题得以解决.有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可 同时构造一个容