控制理论离线作业答案

1、浙江大学远程教育学院控制理论课程作业答案第一章习题1-1 与开环系统相比，闭环系统的最大特点是：检测偏差，纠正偏差。1-2 分析一个控制系统从以下三方面分析：稳定性、准确性、快速性。1-3 图1-1 (a)，(b)所示均为调速系统。 (1) 分别画出图1-3(a)、图(b)所示系统的方框图。给出图1-1(a) 所示系统正确的反馈连线方式。(2) 指出在恒值输入条件下，图1-1(a)， (b) 所示系统中哪个是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。图1-1 调速系统工作原理图解 图1-1(a)正确的反馈连接方式如图1-1 (a)中虚线所示。 (1) 系统方框图如图解1-2所示。 (2) 图1-1

2、 (a) 所示的系统是有差系统，图1-1 (b) 所示的系统是无差系统。图1-1 (a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流一定是恒定值。这意味着放大器前端电压是非零的常值。因此，常值偏差电压存在是系统稳定工作的前提，故系统有差。图1-1 (b)中，给定恒定电压，电动机达到稳定转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为0，故系统无差。1-4 图1-3 (a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1-3(a)

3、，(b)中哪个能保持110V不变，哪个电压会低于110V？为什么?图1-3 电压调节系统工作原理图解 带上负载后，开始由于负载的影响，图1-3(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110V，而图(b) 所示系统却不能。理由如下： 图(a)系统，当低于给定电压时，其偏差电压经放大器放大后，驱动电机D转动，经减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流增大，发电机的输出电压会升高，从而使偏差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。因此，图(a)系统能保持110V不变。图(b)系统，当低于给定电压时，其偏差电压经放大器后，直接使发电机激磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机

4、G 的端电压回升，偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为 0时，=0，发电机就不能工作。即图(b)所示系统的稳态电压会低于110V。1-5 图1-4是仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。图1-4 仓库大门自动开闭控制系统解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开

5、闭自动控制。系统方框图如图1-5所示。1-6 控制系统分为两种基本形式开环系统和闭环系统。1-7 负正反馈如何定义？答：将反馈环节取得的实际输出信号加以处理，并在输入信号中减去这样的反馈量，再将结果输入到控制器中去控制被控对象，我们称这样的反馈是负反馈；反之，若由输入量和反馈相加作为控制器的输入，则称为正反馈。1-8 若组成控制系统的元件都具有线性特性，则称为线性控制系统。1-9 控制系统中各部分的信号都是时间的连续函数，则称为连续控制系统。1-10 在控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号，则称此系统为离散控制系统。第二章习题2-1 试建立图2-1所示各系统的微分方程。其中外力

6、，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。+解（a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 整理得 （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 （1）对B点有 （2）联立式（1）、（2）可得：(c) 应用复数阻抗概念可写出 （3） （4）联立式（3）、（4），可解得： 微分方程为: (d) 由图解2-1（d）可写出 （5） （6） （7）联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量和，可得： 微分方程为 2-2 试证明图2-2中所示的力学系统(

7、a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。对A点有 (1)对B点有 (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得 = (b) 由图可写出 = 整理得 = 比较两系统的传递函数，如果设则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程，式中为液位容器的横截面积，为常数。若与在其工作点附近做微量变化，试导出关于的线性化方程。解 将在处展开为泰勒级数并取一次近似 （1）代入原方程可得 （2）在平衡工作点处系统满足 （3）式（2），（3）相减可得的线性化方程

8、2-4 试求图2-3所示各信号的象函数。解（a） = （b） = （c）= 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) (2) (3) 解 (1) (2) 原式 x（t） (3) 原式 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有，依题意 2-7 已知系统传递函数 ，且初始条件为，试求系统在输入作用下的输出。解 系统的微分方程为 （1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 （2） 2-8 求图2-4所示各有源网络的传递函数。解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出(b) (c) 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-5所

9、示，已知电位器最大工作角度3300，功率放大器放大系数为。（1） 分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，；（2） 画出系统的结构图；（3） 求系统的闭环传递函数。解 (1) 电位器的传递函数 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 ， (2) 可画出系统结构如图解2-6所示： (3) 2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-7所示，试求闭环传递函数。解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数2-11 已知系统方程组如下： 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。解 系统结构图如图解2-8所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为2-12

10、试用结构图等效化简求图2-9所示各系统的传递函数。解 （a）所以： （b）所以： （c） 所以： （d）所以： （e）所以： 2-13 已知控制系统结构图如图2-11所示，求输入时系统的输出。解 由图可得又有 则 即 2-14 试绘制图2-12所示系统的信号流图。解2-15 试绘制图2-14所示信号流图对应的系统结构图。解2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 （b）图中有2条前向通路，1个回路 （c）图中有1条前向通路，3个回路 （d）图中有2条前向通路，5个回路（e）图中有2条前向通路，3个回路 2-1

11、7 试用梅逊增益公式求图2-16中各系统的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，4个回路则有 （b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路则有 （c）图中有4条前向通路，5个回路则有 （d）图中有2条前向通路，5个回路则有 （e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路则有 2-18 已知系统的结构图如图2-17所示，图中为输入信号，为干扰信号，试求传递函数，。解（a）令，求 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 则有 令，求 。有3条前向通路，回路不变。则有 （b）令，求 。图中有1条前向通路，1个回路。则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。

12、则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。则有 （c）令，求 。图中有3条前向通路，2个回路。则有 令，求 。有1条前向通路，回路不变。则有 2-19 如图2-18所示，已知单位负反馈系统开环传递函数且初始条件为，。试求：（1） 系统在作用下的输出响应；（2） 系统在作用下的静态误差图2-18答案：1 初始条件为0时，现代入，：当，则22-20 系统如图2-19所示图2-19求：(1) 系统的微分方程(2) 系统的传递函数（系统初值为0）答案：应用阻抗法直接求电路的传递函数。由图2-13所示可知：第三章习题 3.1 已知二阶系统闭环传递函数为 。试求单位阶跃响应的tr , tm ,% ,

13、ts 和振荡次数N的数值？解：题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出参数，而后把代入性能指标公式中求出，和的数值。 上升时间 tr 峰值时间tm 过度过程时间ts 超调量 振荡次数N （振一次）3.2 设单位反馈系统的开环传递函数为 试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。 解：题意分析这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(,)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。 根据题目给出条件可知闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较

14、可得，即=1,=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。故，单位阶跃响应的性能指标为 3.3 如图31所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量=25%，峰值时间=0.5秒，试确定K和的值。 X(s) Y(s) 图31解：题意分析这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,与,的关系；,与,的关系；通过,把,与K,联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得 由题目给定： 即 两边取自然对数可得 依据给定的峰值时间： （秒）所以 （弧度/秒）故可得 0.13.4 已知系统的结构图如图32所示，若 时，试求： (1) 当=0时，系统的tr , tm ,

15、ts的值。(2) 当0时，若使=20%，应为多大。 100X(s) Y(s) 图32 解：题意分析这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 ,。(2)的求法与例433相似。 (1) 由结构图可知闭环传递函数为 可得 由于 输出的拉氏变换为 则拉氏反变换为 (2) 当0时，闭环传递函数由 两边取自然对数 ， 可得 故 3.5 设单位反馈系统的开环传递函数为 若T=0.1秒，试求开环放大系数K=10/s和K=20/s时：(1) 阻尼比及无阻尼自然振荡角频率 。(2) 单位阶跃响应的超调量和调节时间 。解:题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的练习题

16、，通过该练习题数值计算，加深理解开环放大系数K值的改变，对系统参数,及性能指标的影响。(1) 系统闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得或当K=10/s时,=10（弧度秒）,=0.5K=20/s时，=14.14（弧度秒）,=0.354(2) ， 当 K=10/s时，=16.3% ,=0.362(秒), (秒)K=20/s时，=30.4% ,=0.237(秒) , =0.6(秒)由此可见，开环放大系数增大，使减小，增大，超调量增大，峰值时间减小，调节时间基本不变。3.6(1) 什么叫时间响应 答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。(2) 时间响应由哪几

17、部份组成？各部份的定义是什么？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？答：延迟时间；上升时间；峰值时间；调节时间；最大超调量.,反映系统的快速性，即灵敏度，反映

18、系统的相对稳定性。3.7设系统的特征方程式为 试判别系统的稳定性。解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。 由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为 根均有负实部，系统稳定。3.8设系统的特征方程式为 解：列劳斯表 将特征方程式因式分解为 根为 系统等幅振荡，所以系统临界稳定。3.9 系统特征方程式为 试判别系统的稳定性。解：列劳斯表 由表的第一列可以看出，各项符号没有改变，说明在s右半部没有极点，但是由于s3的各项都为零，这表明有共轭虚根，所以系统是等幅振荡的，虚根的值可由辅助方程求得： 或 解得 所以系统临界稳定。3.10 单位反馈系统的开

19、环传递函数为 试求k的稳定范围。解：系统的闭环特征方程： 列劳斯表 系统稳定的充分必要条件 K>00.35-0.025K>0得 K<14所以保证系统稳定，K的取值范围为0<K<14。3.11 已知开环传递函数分别为和的两个系统，试求它们的静态误差系数和动态误差系数以及输入为时的稳态误差（其中R0、R1、R2均为正常数）。解：(1) 两个系统均为1型系统，其稳态误差系数为第一系统 第二系统 (2) 动态误差系数 用长除法求升幂级数 因此得动态误差系数 (3) 用静态误差系数法计算稳态误差 第一个系统 第二个系统 (4) 用动态系数法计算稳态误差 对第一个系统 只要

20、R20，t时() 对第二个系统 只要 R20，t时() 由上面计算可以看出，静态误差系数相同的两个系统，可能具有不同的动态误差系数。但是对同一系统，无论采用那种方法计算稳态误差其结果都是相同的。3.12 单位反馈控制系统的开环传递函数为，试求在输入信号为作用时的稳态误差。解：题意分析该题是求稳态误差的基本题目，可采用不同的方法求解。在这里需要运用系统的迭加原理，及系统的类型。方法1：依据定义用终值定理求稳态误差。由题可知系统闭环传递函数为 输入信号的拉氏变换为 根据误差的定义，误差信号的拉氏变换为 由终值定理 方法2：用静态误差系数法由于系统是I型系统，因此根据迭加原理当时 当时 故 方法3：

21、用动态误差系数法误差传递函数为 所以 稳态误差 3.13(1) 系统的稳定性定义是什么？ 答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？ 答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于S平面的左半部。(3) 误差及稳态误差的定义是什么？ 答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差e(t)；输入与主反馈信号之差。稳态误差，误差函数e(t)，当t时的误差值称为稳态误差,即 3.14 设控制系统如图33所示，其中输入信号，扰动

22、信号，试计算该系统的稳态误差。 N(s) X(s) E(s) Y(s)图33解：令 输入信号为单位斜坡信号： 令，得在扰动作用下的误差传递函数： 扰动作用的拉氏变换为 所以 根据线性迭加原理： 特别要指出，在实际系统中，有时作用在系统上的干扰方向是变化的。因此，常取作为结果。本例，应取 。3.15已知单位反馈随动系统如图3-4所示。若，。试求：（1）典型二阶系统的特征参数和；（2）暂态特性指标和； （3）欲使，当不变时，应取何值。 图3-4随动系统结构图解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为与典型二阶系统的传递函数比较得 已知、值，由上式可得于是，可 为使，由公式可求得，即应使由0.25

23、增大到0.5，此时 即值应减小4倍。3.16 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-5所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数及闭环传递函数。图3-5 单位阶跃响应曲线解：由图3-5可知本例题系统为欠阻尼系统，可以从上图直接得出和。由 可以解得： 所以系统开环传递函数为： 3.17控制系统框图如图3-6所示。要求系统单位阶跃响应的超调量，且峰值时间。试确定与的值，并计算在此情况下系统上升时间和调整时间。 图3-6 控制系统框图解：由图可得控制系统的闭环传递函数为： 系统的特征方程为。所以 由题设条件：，可解得，进而求得在此情况下系统上升时间 调整时间 3.18 设系统的特征方

24、程式分别为1 23试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。1列劳斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5s1 -6s0 5劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1-65，所以系统有两个根在s平面的右半平面。2列劳斯表如下s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0() 1 s1 2-2/s0 1由于是很小的正数，行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。3列劳斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 0 0

25、由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为 A(s)= s4+3s2+2s0将辅助方程式A(s)对s求导数得用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s右半平面。但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。3.19已知系统结构图如图3-7

26、所示，试确定使系统稳定的值范围。解： 解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的值范围。图3-7控制系统结构图 闭环系统的传递函数为 其闭环特征方程式为 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列劳斯表为： s3 1 2 s2 3 s1 (6-)/3 s0 为使系统稳定，必须使劳斯表中第一列系数全大于零，即和，因此，的取值范围为，并且系统临界稳定放大系数为=6。3.20 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。（1） （2）试求：1静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数；2求当输入信号为时的系统的稳态误差。 解：（1）首先判断系统的稳定性

27、。系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，可以求得静态误差为：所以给定输入信号的稳态误差计算如下：(2) 判断系统稳定性。系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，可以求得静态误差为：所以给定输入信号的稳态误差计算如下： 注意：该例中若取，则由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈不上求稳态误差。3.21设控制系统如图3-8所示，输入信号，试求使的值取值范围。解：稳态误差只有在系统稳定时才有意义，因此应首先判断系统的稳定性。 图3-8控制系统结构系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为，由劳斯判据可知，

28、当时系统是稳定的。系统的开环传递函数为 则 当输入信号为时，系统的稳态误差计算如下：由已知条件，可求出。因此的取值范围为。3.22 设控制系统如图所示 解: <1> 则 <2>. 3.23 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为: , ,试确定参数K和a的值。解 系统的闭环传递函数为由此得 由题意即 解得 ()niao秒）而即解得 a=3 所以 第四章习题4-1设单位反馈系统的开环传递函数为试从数学上证明：复数根轨迹部分是以（-2，0j）为圆心，以为半径的一个圆。证明：系统闭环特征方程为取复变量，则有即若系统闭环特征方程的根为实数，则，解得因

29、此，当时，根轨迹为复数，。此时必有。代入实部并整理得这为圆方程，圆心为（-2，0j），半径为。4-2单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：按下述步骤绘制概略根轨迹（1） 系统开环有限零点为，开环有限极点为。（2） 实轴上的根轨迹区间为。（3） 根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为，渐近线与实轴的交点为（4） 确定分离点。分离点方程为，用试探法求得。闭环系统概略根轨迹如下图解41图解414-3设某负反馈系统的开环传递函数为，试绘制该系统的根轨迹图。解：渐近线与实轴的交点渐近线与实轴正方向的夹角为。分离点与汇合点：由得所以，。根轨迹如下图解42图解424-4以知系统开环传递函

30、数试绘制闭环系统的根轨迹。解：（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，-4，（2）实轴上的根轨迹区间为。（3）渐近线有四条。（4）根轨迹的起始角。复数开环极点（5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程解得，皆为根轨迹的分离点。（6） 系统闭环特征方程为列写劳斯表，可以求出当K=260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为。解得根轨迹与虚轴的交点。如下图解43图解434-5单位反馈控制系统的开环传递函数为，k的变换范围为，试绘制系统根轨迹。解：分析知道，应绘制零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数：（1）系统开环有限零点为1，开环有限极点为0，-2。（2）实轴上的根轨迹区间为。（

31、3）渐近线有一条（4）确定根轨迹的分离点，由分离点的方程，解得（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为。当k=-2时，闭环特征方程的根为。如下图解44：图解444-6以知单位反馈系统的开环传递函数为，a的变化范围为，试绘制系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为即有。等效开环传递函数为，变化范围为。（1） 等效系统无开环有限零点，开环极点为（2） 实轴上的根轨迹区间为（3） 根轨迹有三条渐近线（4） 根轨迹的分离点方程，解得。（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。由劳斯表，可以求出当a=1时，劳斯表出现全零行，辅助方程为。解得。如下图解45图解454-7. 已知开环零、极点分布如图46所示

32、。试概略绘制相应的闭环根轨迹图。解：根轨迹如图解47所示。图解474-8. 已知系统开环传递函数试作从的闭环根轨迹，并证明在平面内的根轨迹是圆，求出圆的半径和圆心。解：图解48根轨迹圆心，半径的圆，如图解48所示。4-9. 设单位反馈控制系统开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹图（要求确定分离点坐标）。解系统有三个开环极点：, 实轴上的根轨迹： , 渐近线： 分离点：解之得：，(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为 令 解得与虚轴的交点（0，）。根轨迹如图解49所示。图解494-10设单位反馈控制系统开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹图（要求确定分离点坐标）。解：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：

33、, 渐近线： 分离点： 用试探法可得 。根轨迹如图解410所示。4-11已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统的根轨迹图（要求算出出射角）。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 分离点：解之得： 起始角： 由对称性得另一起始角为 。4-12. 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统的根轨迹图（要求算出出射角）。解： 系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 起始角：根轨迹如图411所示。 4-13已知系统如图412所示。作根轨迹图，要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点。并确定使系统稳定的值的范围。解：图解413有3条根轨迹，且3条全趋于无穷远处。

34、实轴上：渐近线：出射角：与虚轴交点：则有解得：使系统稳定的值范围为4-14设系统开环传递函数试作出从变化时的根轨迹。图解414 根轨迹图解：做等效开环传递函数G(s)实轴上的根轨迹：分离点：解得：(舍去)，如图解414所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。4-15设系统的闭环特征方程（1） 当时，作系统根轨迹，并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时（有复极点）的取值范围。（2） 若使根轨迹只具有一个非零分离点，此时的取值？并做出根轨迹。（3） 当时，是否具有非零分离点，并做出根轨迹。解： 图解415(1)（1）做等效开环传递函数有3条根轨迹，有2条趋向无穷远处。

35、实轴上：渐近线：分离点：解得：当时系统阶跃响应为单调。图解415(2)当及时系统阶跃响应为阻尼振荡。（2）分离点：要使系统只有一个非零分离点，则即，（舍去）（3）作等效开环传递函数 有3条根轨迹其中2条趋向无穷远处图解415(3)实轴上：渐近线：分离点：无解，故无分离点。4-16. 试作图416所示系统从时的系统根轨迹图，并确定使系统稳定的值范围。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 渐近线： 与虚轴交点：闭环特征方程为图解417 根轨迹图把代入上方程，令解得： ， 根轨迹如图解417所示。由图解417可知使系统稳定的值范围为 。4-17. 做出图418所示系统的根轨迹，图中分别为（1）（2

36、） (3)解：（1）有3条根轨迹且全趋向于无穷远处。实轴上：起始角：图解419(1)渐近线：与虚轴相交：图解419(2)解得：（2）实轴上：渐近线：出射角：100°=120°100°-（+120°+90）°=（2k+1）=70°（3）图解419(3)实轴上：渐近线：出射角：，=120°，60°-（+120°+90）°=（2k+1） =30°4-18设控制系统如图420所示，为了使系统闭环极点为，试确定增益和速度反馈系数的数值，并利用值绘制系统的根轨迹图。解：图解421有有2条根轨迹，1

37、条趋向无穷远处。实轴上：分离点：4-19为了使图422所示系统的闭环极点的希望位置为，在前向通路中串入一个校正装置作补偿，其传递函数为图中试确定（1）所需的值。 (2) 所希望的闭环极点上的值。 (3) 第三个闭环极点的位置。解：解得：4-20设负反馈系统的开环传递函数为（1）试作系统的根轨迹。（2）求当时，闭环的一对主导极点值，并求其及另一个极点。（3）求出满足(2)条件下的闭环零、极点分布，并求出其在阶跃作用下的性能指标。解：（）、有条根轨迹，其中条趋向无穷远处。实轴上：渐近线：分离点：试根得：-0.5344设阻尼线与根轨迹交点为另一实根为有解得：1.178图解4234-21 系统的开环传

38、递函数为试绘制系统的根轨迹，并确定系统输出为等幅振荡时的闭环传递函数。解：（1）实轴上：（2）渐近线：（3）分离点：解得：（4）与虚轴交点：令：解得：根轨迹如图。输出为等幅振荡时的闭环传递函数即为根轨迹与虚轴相交处对应的闭环极点。所求闭环传递函数为图解424第五章习题5-1 设一线性系统的传递函数为 5-1试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。解 令，代入式（5-1），得上述结果表明，时，频率特性的幅值，相角。给出不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组和值。据此，也可由下面的MATLAB函数绘制出图5-2所示的幅频特性曲线和相频特性曲线。function exe51G=tf(10*1,1

39、,1,4,20；X=;Y=;w=logspace(-1,1,100)；x,y,w=bode(G)；%X=X,x'Y=Y,y'；figure(1),plot(w,x(:),axis(0,10,0,3),xlabel('频率（弧度）'),ylabel('幅值')；figure(2),plot(w,y(:),axis(0,10,-120,40),xlabel('频率（弧度）'),ylabel('相角')图5-2所示系统的幅频特性和相频特性5-2试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一

40、个比例环节、两个一阶惯性环节和。这三个环节的幅、相频率特性分别为因而开环系统的幅频特性为图5-3 开环系统的奈氏图相频特性为取不同的频率值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图5-3所示的开环系统的奈氏图。事实上，MATLAB中有专门的函数Nyquist用于绘制开环系统的极坐标图。g=tf(10,conv(1,1,0.1,1)Transfer function： 10-0.1 s2 + 1.1 s + 1Nyquist(g)5-3 已知型系统、型系统和II型系统的开环传递函数分别为、试绘制它们对应的奈氏图。解 型系统的频率特性为式中：。分别取，计算出不同值时的和，可得图5-15所示的奈氏图

41、。根据第三章劳斯判据可知，时闭环系统稳定，表现在奈氏图上是极坐标图不包围（1，j0），这与后面将介绍的奈氏稳定判据是一致的。I型系统的频率特性为Real AxisNyquist Diagrams-3-2-1012345678910-8-6-4-202468K=5 K=10 图5-4 K5、10时的奈氏图Imaginary Ax式中：。将上式改写为由上式可知，当时，即；当时，据此可得图5-5所示的奈氏图。型系统的开环频率特性为式中：。将上式改写为由上式可知，当时，；当时，与正虚轴相切，据此可得图5-6所示的奈氏图。由于采用了MATLAB方法，对于I、II型系统在无穷远处的极坐标无法在图中标明，但

42、从图中可以看到，当频率接近零时，对于I型系统，极坐标曲线渐近于平行于虚轴的-10线，而对于II型系统则无此性质，这一点可将幅值频率特性写成实频、虚频形式得到验证。图5-6 II型系统的奈氏图图5-5 I型系统的奈氏图5-4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的伯德图。解 1）系统的开环频率特性为由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为系统的相频特性为2）系统的转折频率分别为2和10。3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段，则渐近线的斜率为。在处，其幅值为；当时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由变为；同理，当时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升，即由变为。4）对幅频特性曲线进行修正。5）作系统相频特性曲线，先求，然后叠加。图5-7 开环系统的频率特性系统伯德图如图5-7所示。用MATLAB语句绘制Bode图的程序为% exe5_4function exe5_4G=tf(10*0.1,1,conv(1,0,0.5,1)；%得到传递函数x0,y0,w=bode(G)；%由Bode函数获取幅值和相角x,y=bode_asymp(G,w)；%得到转折频