八年级下册人教版数学-第18章-平行四边形(复习课件)

1、四 边 形-2第第 19 19 章章一一. .知识结构知识结构一、矩形的性质一、矩形的性质1.1.四个角都是直角四个角都是直角二、矩形的判定二、矩形的判定1.1.有一个直角的平行四边形有一个直角的平行四边形2.2.对角线相等对角线相等3.S=ab3.S=ab3.3.有三个直角的四边形有三个直角的四边形2.2.对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三、菱形的性质三、菱形的性质1.1.四个边相等四个边相等四、菱形的判定四、菱形的判定1.1.有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形 2. 2.对角线互相垂直对角线互相垂直, ,每条对角线平分每条对角线平分一组对角。一组对角。2 .

2、3BDACSABCD 菱形菱形3.3.四边相等的四边形四边相等的四边形2.2.对角线垂直的平行四边形对角线垂直的平行四边形五、正方形的性质五、正方形的性质1.1.四边相等四边相等, ,四个角都是直角四个角都是直角六、正方形的判定六、正方形的判定1.1.先证它是矩形先证它是矩形, ,再证它还是菱形再证它还是菱形 2. 2.对角线相等、垂直、平分对角线相等、垂直、平分, ,每条对每条对角线平分一组对角。角线平分一组对角。3.3.对角线相等对角线相等+ +垂直垂直+ +平分平分2.2.先证它是菱形先证它是菱形, ,再证它还是矩形再证它还是矩形七、对称性七、对称性 它们都既是中心对称图形它们都既是中心

3、对称图形, ,又是又是轴对称图形轴对称图形. .对称轴如下对称轴如下: :八、直角三角形斜边的中线八、直角三角形斜边的中线 直角三角形斜边的直角三角形斜边的中线等于斜边的一半中线等于斜边的一半. .DCBA二二. .典例精析典例精析例例1 1 下列语句：下列语句：有三个角相等的四边形有三个角相等的四边形是矩形，是矩形，四边相等的四边形是正方形，四边相等的四边形是正方形，一组邻边相等的四边形是菱形，一组邻边相等的四边形是菱形，一组一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。其中叙述错误的是（行四边形。其中叙述错误的是（ ）(A)(A) (B) (B) (

4、C) (C) (D) (D) D D例例2 2 下列说法不正确的是下列说法不正确的是( )( )(A)(A)一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形(B)(B)对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形(C)(C)对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形(D)(D)有一个角是直角的平行四边形是有一个角是直角的平行四边形是正方形正方形D D例例3 3 在在ABCABC中中, ,点点E E、D D、F F分别在边分别在边ABAB、BCBC、CACA上，且上，且DECADECA，DFBADFBA。下列四种说法。下列四种说法中正确的有中正确的有 。(A)(A)四边形四

5、边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形 (B) (B)如果如果BAC=90BAC=90，那么四边形那么四边形AEDFAEDF是矩形是矩形 (C) (C)如果如果ADAD平分平分BACBAC，那么四边形那么四边形AEDFAEDF是菱形是菱形 (D) (D)如果如果ADADBCBC，且，且AB=ACAB=AC，那么四边形那么四边形AEDFAEDF是菱形是菱形A A、B B、C C、D DABCDEF 例例1 1 矩形的一个角的平行线分矩形的矩形的一个角的平行线分矩形的一边为一边为1cm1cm和和3cm3cm两部分，求矩形的面积。两部分，求矩形的面积。ABCDEABCDE解解: :若若AE=1

6、,AE=1,则则ED=3. ABCDED=3. ABCD为矩形为矩形, ,ADBC,ADBC, AEB=EBC,AEB=EBC,BEBE是角平分线是角平分线, ,AEB=ABEAEB=ABEAB=AE=1,AB=AE=1, S=ABS=ABBC=1BC=14=44=4若若AE=3,AE=3,则则S=12S=12例例1 1 已知四边形已知四边形ABCDABCD是平行四边形，下列是平行四边形，下列条件：条件：AC=BDAC=BD；AB=ADAB=AD；1=1=22； ABABBCBC。其中能说明。其中能说明 ABCDABCD是矩形的是矩形的有有 。1ABCD2 例例2 2 菱形的周长为菱形的周长为

7、2424，一条对角线长，一条对角线长为为8 8，求菱形的面积。，求菱形的面积。46ODABC解解:菱形的周长为菱形的周长为24,24,AB=24AB=244=64=6若若AC=8,AC=8,则则AO=4,AO=4,ACBD,ACBD,22AOABBO 2246 52 51625482 BDACSABCD菱形菱形33 BO 练练2 2 菱形的周长为菱形的周长为24,24,两邻角的比为两邻角的比为1:2,1:2,求对角线的长。求对角线的长。630ODABC解解:菱形的周长为菱形的周长为24,24,AB=24AB=244=64=6BAD:ABC=1:2BAD:ABC=1:2BAD+ABC=180BA

8、D+ABC=180ABC=60ABC=60ABO=30ABO=30AO=3,AO=3,AC=6,AC=6,36 BD 例例3 3 矩形矩形ABCDABCD中中, ,对角线对角线ACAC、BDBD相交于相交于点点O,AEBD,O,AEBD,垂足为垂足为E,E,若若DAE=2BAE,DAE=2BAE,求求EACEAC的度数的度数OEABCD解解: :设设BAE=x,BAE=x,则则DAE=2xDAE=2x,902 xx 30 x,30 BAE 60DAEAEBD,AEBD,30 ADEAC=BD,AC=BD, AO=DO,AO=DO,30 ADEDAODAODAEEAC 303060例例11 11

9、 矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，APAPBDBD，DPDPACAC，APAP、DPDP相交于点相交于点P P。则四。则四边形边形AODPAODP是什么样的特殊四边形？并说明是什么样的特殊四边形？并说明你的理由。你的理由。ABPCDO1.1.先证先证AO=DOAO=DO2.2.再证四边形再证四边形AODPAODP是平行四边形是平行四边形3.3.根据定义证四边形根据定义证四边形AODPAODP是菱形是菱形 例例4 4 ABCABC中中,AB=AC,AD,AB=AC,AD是是BCBC边上的高，边上的高，AEAE是是ABCABC的外角平分线的外角平分

10、线,DEAB.,DEAB.求证求证: :四四边形边形ADCEADCE是矩形。是矩形。EBDACF证证:AD:AD是高是高, ,ADC=90ADC=90AB=AC,AB=AC, B=ACBB=ACBFAC=B+ACBFAC=B+ACB =2B=2BAEAE是外角平分线是外角平分线, ,2FAE=2B,2FAE=2B,FAE=BFAE=B AEAEBCBCEBDACFADC=90ADC=90AB=AC,ADAB=AC,AD是高是高, ,AE=BD, AE=BD, AEAEBC,BC, DEDEAB,AB,四边形四边形ABDEABDE是平行四边形是平行四边形, ,BD=DC,BD=DC, AE=DC

11、,AE=DC,四边形四边形ADCEADCE是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形ADCEADCE是矩形是矩形. . 例例5 5 菱形菱形ABCDABCD中中,E,E、F F分别是分别是BCBC、CDCD上上的点的点,B=EAF=60,B=EAF=600 0, ,若若BAE=20BAE=200 0, ,求求CEFCEF的度数。的度数。解解:ABCD:ABCD是菱形是菱形, ,BA=BCBA=BC1=21=2ABCABC是等边三角形是等边三角形连结连结AC,B=60AC,B=60, ,BAC=60BAC=60, ,EAF=60EAF=60, ,321ADCBEF321ADCBEFB=60B=6

12、0BCD=120BCD=1204ACAC平分对角平分对角, , 4=604=60ABCABC是等边三角形是等边三角形AB=ACAB=AC在在ABEABE与与ACFACF中中, ,B=4B=41=21=2B=4B=4AB=ACAB=AC321ADCBEF4 ABEABEACFACFAE=AF,AE=AF,AEC=B+1AEC=B+1EAF=60EAF=60AEFAEF是等边三角形是等边三角形CEF=20CEF=20AEC=AEF+CEFAEC=AEF+CEFB+1=AEF+CEFB+1=AEF+CEFCEF 602060AEF=60AEF=60例例10 10 如图，如图，ADADFEFE，点，点

13、B B、C C在在ADAD上，上，1= 1= 2 2，BF=BCBF=BC。求证：四边形。求证：四边形BCEFBCEF是菱形。是菱形。AEBCDF213证明：证明： ADADFEFE 3=3=2 2 1=1=2 2 1=1=3 3 BF=EFBF=EF BF=BCBF=BC EF=BCEF=BCAEBCDF213 四边形四边形BCEFBCEF是平行四边形是平行四边形 ADADFEFE BF=BCBF=BC 四边形四边形BCEFBCEF是菱形是菱形(2)(2)若若AB=BC=CDAB=BC=CD，求证：，求证：ACFACFBDEBDEAEBCDF213证明：证明： ADADFEFE，EF=BCE

14、F=BC，AB=BCAB=BC ABABFEFE，EF=ABEF=AB 四边形四边形ABEFABEF是平行四边形是平行四边形 AF=BFAF=BF(2)(2)若若AB=BC=CDAB=BC=CD，求证：，求证：ACFACFBDEBDEAEBCDF213同理，四边形同理，四边形ABEFABEF是平行四边形是平行四边形 FC=EDFC=ED AB=BC=CDAB=BC=CD AC=BDAC=BD ACFACFBDE (SSS)BDE (SSS) 例例6 6 如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是ACAC上一点上一点, , AGEB,AGEB,求证求证:OE=OF:OE=OF32

15、1FOGBCADE证证:ABCD:ABCD是正方形是正方形, ,AO=BO,AOF=BOE=90AO=BO,AOF=BOE=90AGBE,BOACAGBE,BOAC1+3=901+3=902+3=902+3=901=21=2在在AOFAOF与与BOEBOE中中321FOGBCADEAOF=BOEAOF=BOE1=21=2AO=BOAO=BOAOFAOFBOEBOEOF=OEOF=OE方法提示方法提示: : 本题运用了正方形对角线互相垂直本题运用了正方形对角线互相垂直平分等重要性质平分等重要性质, , 但观察出两直角三角但观察出两直角三角形全等才是关键形全等才是关键. . 练练6 6 如图如图,

16、 ,点点E E在在ACAC的延长线上的延长线上,AG,AG垂直垂直于于BE,BE,垂足在垂足在EBEB的延长线上的延长线上,OE=OF,OE=OF？1GFOBCADE答答: :依然成立依然成立. .先证先证E=F,E=F,再证全等再证全等. .例例10 10 在在ABCABC中，中，A=45A=45，ACB=90ACB=90 EFEF垂直平分垂直平分BCBC交交BCBC于于D D，交，交ABAB于于E E，且，且CF=BECF=BE四边形四边形BECFBECF是正方形吗？请说明你的理由是正方形吗？请说明你的理由ABCDEF解：四边形解：四边形BECFBECF是正方形是正方形 EF EF垂直平分

17、垂直平分BCBC BE=CE BE=CE，BF=CFBF=CF BE=CFBE=CF BE=CE=BF=CFBE=CE=BF=CF 四边形四边形BECFBECF是菱形是菱形ABCDEF12A=45A=45 1=451=45 四边形四边形BECFBECF是菱形是菱形ACB=90ACB=90 2=1=452=1=45 2+1=902+1=90 EBF=90EBF=90 四边形四边形BECFBECF是正方形是正方形 例例7 7 如图如图,BD,BD、CECE是高是高,G,G、F F分别是分别是BCBC、DEDE的中点的中点, ,试说明：试说明：FGDEFGDEGFDEABC证证: :连连EGEG、D

18、G.DG.在在BCDBCD中中, ,BDBD是高是高,G,G是是BCBC中点中点, ,21BCDG BCE21G 同理同理DG=EG,DG=EG, DGEDGE等腰等腰. .FF是是DEDE中点中点, ,FGDEFGDE 练练7 7 如图如图, ,等腰梯形等腰梯形ABCDABCD中中,M,M是是BCBC的中的中点点,ABCD,AOB=60,ABCD,AOB=60,E,E、F F分别是分别是ODOD、OAOA的中点的中点. .求证：求证：EFMEFM是等边三角形。是等边三角形。1、证AC=BD，进而可证ABD、BAC全等；2、由ABD= BAC，推OA=OB，OC=OD；3、等边OCD、 OAB

19、；4、M为中点，中线EM=FM；5、EF为中位线，为BC一半MFEOCDAB 例例8 8 将长方形将长方形ABCDABCD沿直线沿直线BDBD折叠折叠, ,使点使点C C落在点落在点C C处处,BC,BC交交ADAD于于E,AD=8,AB=4,E,AD=8,AB=4,求求BEDBED的面积。的面积。321ECDABC解解: :BCDBCD沿沿BDBD折叠得折叠得BCBCD D1=21=2ABCDABCD是矩形是矩形, ,ADADBCBC1=31=32=32=3设设BE=X,BE=X,得得DE=x,AEDE=x,AE=8-x=8-x321ECDABCDE=BEDE=BEABCDABCD是矩形是矩

20、形, ,A=90A=90222BEAEAB 22284xx , 5 x1021 ABDESBED5 DEBE 练练8 8 长方形长方形ABCDABCD中中,AB=3,BC=4,AB=3,BC=4,若将矩若将矩形折叠形折叠, ,使使C C点与点与A A点重合点重合, ,求折痕求折痕EFEF的长。的长。3、EF是折痕，AC被EF垂直平分，在RtAEO中求1、在RtABC中求AC=52、设BE=x，得EC=4-X，得AE=4-x，在RtABE中用勾股定理求87 x815 EO415 . 4 EFx4-x4-xODDABCEF 例例9 9 用不同的方法将矩形用不同的方法将矩形ABCDABCD分成面分成

21、面积相等的两部分。积相等的两部分。你能将矩形分成面积相等的四等分吗？你能将矩形分成面积相等的四等分吗？三等分矩形面积，你会吗？三等分矩形面积，你会吗？ 例例10 10 你能用一条直线把这块地分成面你能用一条直线把这块地分成面积相等的两部分吗？请说明你的道理。积相等的两部分吗？请说明你的道理。 例例11 11 在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,对角线对角线BDBD、ACAC交于点交于点O,O,从下列六个条件中从下列六个条件中, ,选取三个推出选取三个推出四边形四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。答案：125、126、345、346(1)AB=CD (2)ABCD (3)OA=OC(1)

22、AB=CD (2)ABCD (3)OA=OC(4)OB=OD (5)ACBD (6)AC(4)OB=OD (5)ACBD (6)AC平分平分BADBADABCD 练练11 11 在四边形在四边形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,对角线对角线ACAC、BDBD相交于相交于O,O,若要使四边形若要使四边形ABCDABCD为菱形为菱形, ,还要添加什么条件？还要添加什么条件？2.AD=BC2.AD=BC，AB=ADAB=ADOADBC1.ABCD1.ABCD，AB=ADAB=AD3.ABD=BDC,AB=AD3.ABD=BDC,AB=AD解解: :有三种添法有三种添法 例例12 12 在在A

23、BCABC中中,AD,AD是是BACBAC的平分线的平分线, , DEAC,DFAB,ADDEAC,DFAB,AD、EFEF互相垂直吗？说说互相垂直吗？说说你的理由。你的理由。321FEDBCA2.2.证证2=32=3思路提示思路提示: :1.1.证证1=21=24.4.证证AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形3.3.由由1=31=3得得AE=DEAE=DE5.5.证证AEDFAEDF是菱形是菱形三三. .拓展加深拓展加深 例例13 13 如图如图, , 动点动点Q Q、H H、E E、F F分别从正分别从正方形方形ABCDABCD的顶点的顶点A A、B B、C C、D D同时出发沿着同时

24、出发沿着ABAB、BCBC、CDCD、DADA向向B B、C C、D D、A A移动移动, ,移动速移动速度相同度相同.(1).(1)求证：四边形求证：四边形QHEFQHEF是正方形是正方形. .321BCADGHEF解解:ABCD:ABCD为正方形为正方形, ,AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DAAG=BH=CE=DFAG=BH=CE=DFGB=HC=ED=FAGB=HC=ED=FAA=B=C=DA=B=C=D321BCADGHEFAGFAGFBHGBHGCEHCEHDFEDFEGH=HE=EF=FGGH=HE=EF=FG四边形四边形GHEFGHEF为菱形为菱形. .1=31=32+

25、3=902+3=901+2=901+2=90FGH=90FGH=90四边形四边形GHEFGHEF为正方形为正方形. . (2)QE (2)QE是否总过某一定点，并说明理由是否总过某一定点，并说明理由. .321BCADGHEFO解解: :连连AC,GE. ABCDAC,GE. ABCDAGCEAGCEAG=CEAG=CE四边形四边形AGCEAGCE为平行四边形为平行四边形. .AC,GEAC,GE交于中点交于中点. .GEGE必过必过ACAC的中点的中点. . (3) (3)四边形四边形QHEFQHEF的顶点位于何处时其面积的顶点位于何处时其面积最大最大? ?最小最小? ?其值各是多少其值各是

26、多少? ?321BCADGHEF解解: :设设AG=x,ABAG=x,AB=a,=a,则则AF=a-x. AF=a-x. 2GHSGHEF 正方形正方形22AFAG 22xax 22222aax 321BCADGHEF2,22aSax 最小最小时时当当当当x=0 x=0或或x=ax=a时时, ,四边形四边形GHEFGHEF就是正方形就是正方形ABCD.ABCD.故故2, 0aSax 最大最大时时当当EDCBAF 例例14 14 在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,DE,DE为中为中位线位线, ,在在DEDE的延长线上取点的延长线上取点F,F,使使AF=CE.(1)AF=CE.(1)四边形四边形ACEFACEF是什么四边形是什么四边形? ?132解解:ACB=90:ACB=9