132第一课时函数奇偶性的定义与判定

1、1.3.2第一课时函数奇偶性的定义与判定课标要求课标要求:1.:1.结合具体函数结合具体函数, ,了解函数奇偶性的含义了解函数奇偶性的含义.2.2.学会利用图象理解学会利用图象理解和研究函数的性质和研究函数的性质.3.3.掌握判断函数奇偶性的方法掌握判断函数奇偶性的方法. .自主学习自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合【情境导学】【情境导学】导入导入12 2函数函数f(x)=xf(x)=x -1,-1,f(x)=-f(x)=-x, ,f(x)=2xf(x)=2x的图象分别如图所示的图象分别如图所示. .想一想想一想1:(1)1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么导入中三个函数的定义域分

2、别是什么? ?它们有什么共同特点它们有什么共同特点? ?(R R;(-,0)(0,+);R R;关于原点对称)(2)(2)对于导入中的三个函数计算对于导入中的三个函数计算f(-x),f(-x),观察对定义域内每个观察对定义域内每个x,f(-x)x,f(-x)与与f(x)f(x)有怎样的关系有怎样的关系? ?(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).1f(-x)= ,f(-x)=-f(x).f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x)x想一想想一想2:2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性? ?(图象关于y轴对称;图象关于原点对称)知识探究知识探究奇函

3、数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义(1)(1)偶函数偶函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内任意任意有有f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. .(2)(2)奇函数奇函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数. .探究探究1 1: :若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点? ?答案答案:

4、 :定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .任意任意一个一个x,x,都都一个一个x,x,都有都有探究探究2:2:若函数若函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,且点且点(a,f(a)(a,f(a)是是y=f(x)y=f(x)图象上一点图象上一点, ,点点(-a,(-a,-f(a)-f(a)是否在函数图象上是否在函数图象上? ?答案答案: :由由f(-a)=-f(a)f(-a)=-f(a)知点知点(-a,-f(a)(-a,-f(a)一定在函数一定在函数y=f(x)y=f(x)图象上图象上. .自我检测自我检测1 1.(.(偶函数定义偶函数定义) )已知已知f(x)=axf(x)=ax

5、2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,3aa-1,3a上的偶函数上的偶函数, ,那么那么a+ba+b的值是的值是( (1(A)-(A)- 3C C ) )1(B)(B) 31(C)(C) 41(D)-(D)- 42 2.(.(奇函数定义奇函数定义) )已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+2x,+2x,则则f(a)+f(-a)f(a)+f(-a)的值是的值是( (A A(A)0 (A)0 (B)-1 (B)-1 (C)1 (C)1 (D)2(D)2) )3.3.( (偶函数定义偶函数定义) )f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,若若f(2)=3,f(2)=3,

6、则则f(-2)f(-2)等于等于( (C C) )(A)-3 (A)-3 (B)-2(B)-2(C)3 (C)3 (D)2(D)24 4.(.(判断奇偶性判断奇偶性) )函数函数f(x)= f(x)= x2? 3的奇偶性是的奇偶性是( (B B) )(A)(A)奇函数奇函数(B)(B)偶函数偶函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数解析解析: :函数函数 f(x)=f(x)=x ? 3 的定义域为的定义域为 R R,f(-x)=,f(-x)=该函数是偶函数该函数是偶函数. .故选故选 B. B. 22= =x ? 3

7、=f(x),=f(x),所以所以?x? 3215 5.(.(由奇偶性求参数由奇偶性求参数) )已知函数已知函数f(x)= +af(x)= +a为奇函数为奇函数, ,则则a=a=x. .答案答案: :0 0课堂探究课堂探究典例剖析典例剖析举一反三举一反三题型一题型一函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定【例【例1 1】 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: :(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+x;+x;(2)f(x)=(2)f(x)=1? x2+ +x2?1; ; 规范解答规范解答: :(1)函数的定义域为R R,关于原点对称.1分又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-

8、f(x),2分因此函数f(x)是奇函数.3分2?1? x ? 0,?2 2(2)(2)由由?2得得 x x =1,=1,即即 x=x=1. 1. ?x ?1? 0因此函数的定义域为因此函数的定义域为-1,1,-1,1,关于原点对称关于原点对称. .4 4 分分 又又 f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以所以 f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. .6 6 分分 2x2? 2x(3)f(x)=(3)f(x)=; ; x?1?x?1,x? 0,?(4)f(x)=(4)f(x)=?0,x? 0, ?x?1,x? 0.?规范解答规范

9、解答:(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+),7分不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 9分(4)(4)函数函数 f(x)f(x)的定义域为的定义域为 R R, ,关于原点对称关于原点对称. .1010 分分 ?x?1?,x? 0,?x?1,?x? 0,?f(-x)=f(-x)=?0,?x? 0,即即 f(-x)=f(-x)=?0,x? 0, ? x?1 ,x? 0.?x?1,?x? 0,?于是有于是有 f(-x)=-f(x). f(-x)=-f(x). 所以所以 f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .1212 分分 方法技巧方法技巧判断函数奇偶性的方法判断函数

10、奇偶性的方法(1)函数图象法.(2)定义法:求函数f(x)的定义域;判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;求f(-x);根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集.变式探究变式探究: :本例中函数本例中函数f(x)=f(x)=1? x2+ +x2?1可化简为可化简为 f(x)=0,f(x)=0,则

11、该函数既是奇函则该函数既是奇函数又是偶函数数又是偶函数, ,若将函数变形为若将函数变形为f(x)=f(x)=x?1+ +1? x, ,则函数的奇偶性如何则函数的奇偶性如何? ? ?x?1? 0,解解: :由于由于?则则 x=1,x=1,故故 f(x)=0,f(x)=0,由于函数的定义域不关于原点对称由于函数的定义域不关于原点对称, ,所以所以?1? x? 0,函数函数 f(x)f(x)不具有奇偶性不具有奇偶性. . 即时训练即时训练1-1:1-1:判断下列各函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性: :14 4(1)f(x)=x(1)f(x)=x -1;(2)f(x)=x+ ;(3)f(x)=2|x

12、|;(4)f(x)=(x-1)-1;(2)f(x)=x+ ;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2 2. .x解解:(1)因为对于任意的因为对于任意的xR R,都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数f(x)=x4-1是偶函数.1(2)(2)函数函数 f(x)=x+f(x)=x+的定义域是的定义域是x|xx|x0. 0. x1关于原点对称关于原点对称, ,且且 f(-x)=-x-f(-x)=-x-=-f(x),=-f(x),所以函数所以函数 f(x)f(x)是奇函数是奇函数. . x(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R R.因为对于任意的因为对于任意的x

13、R R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R R.因为f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)且且f(-x)-f(x).所以函数f(x)是非奇非偶函数.【备用例【备用例 1 1】 已知已知 f(x)=f(x)=4? x2,g(x)=|x-2|,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( ( ) ) (A)h(x)=f(x)+g(x)(A)h(x)=f(x)+g(x)是偶函数是偶函数 (B)h(x)=f(x)(B)h(x)=f(x)g(x)g(x)是奇函数是奇函数 (C)h(x)

14、=(C)h(x)=(D)h(x)=(D)h(x)=g?x?f?x?2 ? x是偶函数是偶函数 f?x?2 ? g?x?是奇函数是奇函数 解析解析: :f(x)=f(x)=4 ? x2,g(x)=|x-2|, ,g(x)=|x-2|, A.h(x)=f(x)+g(x)=A.h(x)=f(x)+g(x)=4? x2+|x-2|=+|x-2|=4 ? x2+2-x,x+2-x,x-2,2. -2,2. h(-x)=h(-x)= 4 ? x2+2+x,+2+x,不满足函数的奇偶性的定义不满足函数的奇偶性的定义, ,是非奇非偶函数是非奇非偶函数. . B.h(x)=f(x)B.h(x)=f(x)g(x)

15、=g(x)=4 ? x2|x-2|=|x-2|=4 ? x2(2-x),x(2-x),x-2,2. -2,2. h(-x)=h(-x)= 4 ? x2(2+x),(2+x),不满足奇偶性的定义不满足奇偶性的定义. . C.h(x)=C.h(x)=g?x?f?x?2 ? x= =4? x2,x,x-2,2)-2,2)不满足函数的奇偶性定义不满足函数的奇偶性定义. . 24 ? xD.h(x)=D.h(x)= =,x,x-2,0)-2,0)(0,2,(0,2,函数是奇函数函数是奇函数. .故选故选 D. D. 2 ? g?x?xf?x?题型二题型二函数奇偶性的图象特征函数奇偶性的图象特征【例【例2

16、 2】 已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,且在区间且在区间0,50,5上的图象如图上的图象如图所示所示. .(1)(1)画出在区间画出在区间-5,0-5,0上的图象上的图象; ;(2)(2)写出使写出使f(x)0f(x)0的的x x的取值集合的取值集合. .解解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在-5,5上的图象关于原点对称.由y=f(x)在0,5上的图象,可知它在-5,0上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值y0f(x)0的解集为的解集为( (A)(-1,1)(A)(-1,1)(B)(0,1)(B)(0,1) )(C)(1,2)

17、(C)(1,2)(D)(0,2)(D)(0,2)解析解析:因为f(x+1)在R R上是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于直线x=1对称,因为f(x)在在1,+)上单调递减上单调递减,且f(2)=0,所以f(x)在(-,1上单调递增上单调递增,f(0)=0,画出函数的示意图.由图得,f(x)0的解集是(0,2),故选D.题型三题型三利用函数奇偶性求参数利用函数奇偶性求参数x?1?x? a?【例【例 3 3】 (1) (1)设函数设函数 f(x)=f(x)=为奇函数为奇函数, ,则则 a= a= x ; ; 解析解析: :(1)(1)法一法一( (定义法定义法) ) 由已

18、知由已知 f(-x)=-f(x), f(-x)=-f(x), ?x?1?x? a?x?1?x? a?即即=-=-. . ?xx显然显然 x x0 0 得得,x,x -(a+1)x+a=x-(a+1)x+a=x +(a+1)x+a, +(a+1)x+a, 故故 a+1=0,a+1=0,得得 a=-1. a=-1. 法二法二( (特值法特值法) ) 由由 f(x)f(x)为奇函数得为奇函数得 f(-1)=-f(1), f(-1)=-f(1), 即即2 22 2?1?1?1? a?11?1?1? a?=-=-, , 1答案答案: :(1)-1 (1)-1 整理得整理得 a=-1. a=-1. ?x2

19、? x,x? 0,?(2)(2)已知函数已知函数f(x)= f(x)= 是奇函数是奇函数, ,则则a=a=?2?ax ? x,x? 0. .解析解析:(2)( (特值法特值法) )由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1),即a(-1)2+(-1)=-(-12+1),整理得a-1=0,解得a=1.答案答案: :(2)1(2)1?x?1?x? a?为偶函数为偶函数, ,说明理由说明理由. .变式探究变式探究: :是否存在实数是否存在实数a a使函数使函数f(x)= f(x)= x解解: :法一法一 不存在不存在, ,假设存在假设存在 a a 使使 f(x)f(x)为偶函数为偶函数, ,则则 f(-x)=f(x), f(-x)=f(x), 1? x?a? x? ?x?1?x? a?. . = =即即?xx所以所以(x-1)(a-x)=(x+1)(x+a),(x-1)(a-x)=(x+1)(x+a),即即 x x +a=0,+a=0,由于由于 x x 任意任意, ,故不存在故不存在 a. a. 法二法二 由由