高数(二)第一章 矩阵11

1、线线 性性 代代 数数二二.几种特殊矩阵几种特殊矩阵一一. 矩阵的矩阵的线性运算线性运算三三. 转置转置二二. 乘法乘法单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒( (瓶装瓶装) )2016200180190啤酒啤酒( (易拉罐易拉罐) )5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150 mn)mn)Amn= ( )mnA 111nE 4. 三角矩阵三角矩阵 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1

2、 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为01 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 01 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 01 0 1 0 10 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 000 一一. 矩阵的矩阵的线性运算线性运

3、算m nr sCABnrm sC 200611,2 ,.1 若求， 11,21 121 11,21 1212 2006 200512112 123aaa 1 12233a ba ba b ABBA 不一定都有意义不一定都有意义 同型但不相等同型但不相等 AB: A左乘以左乘以B; B右乘以右乘以A 有意义但不同型有意义但不同型 123bbb 1 33 13 1123bbb 123aaa1 31 1a b2 1a b3 1a b3 312a b22a b32a b13a b23a b33a b3 44 24 23 4ABBA 101212003400 121010340030 只有只有AB=BA

4、时等式成立时等式成立. . ABOAO or BO 100000001100AB ABAC AO or BC A BCO =1212A 23fxxx 23fAAAE1212123121212E3E TTijAa jin ma 11121naaa21222naaa12mmmnaaa 1sTTTTijikkjkB ABA TjiijABAB 1sjkkika b 1skijkkb a =123240305A 0110B 证明：设证明：设A,B,C为为n阶方阵，并且阶方阵，并且,TTCABAA BB TTTCABAB TTCCCCAB,22CAB例例6. 证明任意一个证明任意一个n阶方阵都可以表示成

5、一个阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和对称矩阵与一个反对称矩阵之和.22TTCCCC三三. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算四四. 矩阵的矩阵的乘法乘法五五. 矩阵的矩阵的转置转置 1sikkjka b ABBA ABOAO or BO TTijAa jin ma 二二. 几种特殊几种特殊矩阵矩阵三角矩阵三角矩阵 GH1 2m设设A为为m l 矩阵矩阵, B为为l n 矩阵矩阵, 将它们分块如下将它们分块如下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,Ai1, Ai2, ,

6、Ait的列数分别与的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等的行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中其中Cij = AikBkj ,则则AB =k=1t 1 0 1 2 =.A1B11 +B21 = 3 4 1 2 1 0 2 1+ 2 4 1 3=, 1 0 0 1 2 4 1 3 1 1 1 1 设矩阵设矩阵A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT Asr

7、T.则则 AT =TT1 2mT1T 2TnTT二二. 分块矩阵的运算分块矩阵的运算线性运算线性运算转置转置乘法乘法三三.的应用的应用线性方程组的表示形式线性方程组的表示形式线性变换线性变换11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb三三. 矩阵与矩阵与分块矩阵的应用分块矩阵的应用线性方程组的表示形式线性方程组的表示形式11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 三

8、三. 分块矩阵的应用分块矩阵的应用线性变换线性变换y=Ax从从x1, x2, xn到到y1, y2, ym的线性变换的线性变换恒等变换恒等变换y=Ex旋转变换旋转变换y=AxcossinsincosA 几何含义：将平面上任一点几何含义：将平面上任一点P(x1,x2) 旋转旋转 角得到点角得到点P(y1,y2)1ABBAABBA 记为记为A B.初等变换初等变换AB 11312253413191122A 1131 例例1.1.用初等行变换将用初等行变换将A化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵 0 4 1 10 5 15 150 2 1 11131 0 4 1 10 1 3 30 2 1 11131

9、0 0 11 110 1 3 30 0 5 5 1131 0 0 1 10 1 3 30 0 0 0+ 0 0 1 10 1 0 00 0 0 01 0 0 4( )rm nE ( )rm nE ( )rm nE (3)4 5E rref是初等是初等行变换下行变换下的最简形的最简形初等变换下初等变换下的最简形的最简形nnEE iiAAe 11jinjinBAAAAAeAeAeAe 11TTjjTiiTmme Ae Ae Ae A ,AE i j Tiie A 1TTjTiTmeeAee ABBPA ABBAP 1jinA eeee ,E i j A ( )rm nE nnEE 初等变换初等变换

10、AB ABBPA ABBAP . 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB=BA=E. 则称则称A, 并称并称B为为A的的. 事实上事实上, 若若AB=BA=E, AC=CA=E,则则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1. . .可逆方阵的逆矩阵是唯一的可逆方阵的逆矩阵是唯一的. . 注注1. 逆矩阵只是定义在逆矩阵只是定义在n阶方阵阶方阵上的上的. 1 1 = . T 1 = 1 T. 1 = k 1 1. 1 = B 1 1. 1 E 1 1 1(E A)

11、 = 1( ) = 1 1 = 1 1 1 = G 1 B 1 1. 则则AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有A 1 =A1 1 0 0 0 A2 1 0 0 0 As 1.则则AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有A 1 = 0 0 As 1 0 As-1 1 0 A1 1 0 0.nnEE 1 = E(i(k)(E(i(k) 1 = E(i(1/k)E(i(k) 1 = . 初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆, 且且 1 = , () 1 = 1/, () 1= ). 的行最简形矩阵的行最简形矩

12、阵U=？ E 1 1 1( )rm nE ( )rm nE ( )rm nE 设设A可逆可逆, 则则A可以经过有限次初等可以经过有限次初等变换化为变换化为 单位矩阵单位矩阵E.100210301235010226 r2 r1r3 r1123015/210011/20110011 r3 r2 1/2r2; r31323/235/1000121101001 r1 2 r2r2/2r3r1r32519211230250262 r2 r1r3 r1251/29/21123015/13200 r3 r2 1/2r2; r3322100010001313 r1 2 r2r2/2r3r1r3. 定义定义:

13、方阵方阵A, 若若 方阵方阵B, 使使AB=BA=E.注注. 只定义在只定义在方阵方阵上，且唯一上，且唯一. 1 = B 1 1. 二阶行列式的对二阶行列式的对角线法则角线法则 每项都是三个元素的乘积每项都是三个元素的乘积. 每项的三个元素位于不同的行列每项的三个元素位于不同的行列. 每项的每项的四四个元素位于不同的行列个元素位于不同的行列 可得可得 4！= 24 aaaaaaaaa111213212223313233aaaaa 21231 2123133( 1)aaaaa 21221 3133132( 1)aaaaa 22231 1113233( 1)aij 的的余子式余子式 Mij ： a

14、11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann|A|=划去划去aij 所在的行列得到的所在的行列得到的n-1阶行列式阶行列式比如比如M22 ： aij 的的代数余子式代数余子式 Aij ： ijijijAM 1a Aa Aa A111112121313 按第一行展开按第一行展开nna Aa Aa A1111121211= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 1. n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2

15、ann: 一阶行列式一阶行列式|a11| = a11, 有正负号有正负号,与绝对值不同与绝对值不同 行列式行列式只定义在只定义在n阶方阵阶方阵A上上,记为记为|A|或或detA. n阶行列式是定义在阶行列式是定义在n阶方阵集合上的一阶方阵集合上的一个个函数函数，即，即 f(A)=detA: Rnn R. = a11A11+a12A12+a1nA1n关于第一行的展开式关于第一行的展开式2. 几个特殊的行列式几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .(1)2( 1)n n (1) 对角行列式对角行列式 (2) 上上(下

16、下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann= a11 a22ann =a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0=a1na2n-1an1(1)2( 1)n n 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann 11110nniiinnaaaa111(1)2(1)1110nnn ni niinaaaa |A|= a11A11+a12A12+a1nA1n f(A)=detA: Rnn R. ijijijAM 1 |AT| = |A|. AAA 0ssnA

17、AAA 10 :BA11jnjnAAAAAA B |A|= a11M11+( 1)1+i a1iM1i +( 1)1+n a1nM1n|B|= b11N11+( 1)1+i b1iN1i +( 1)1+n b1nN1nb1i=a1i , N1i= M1i ( 1)1+i b1iN1i = ( 1)1+ia1i( M1i)= ( 1)1+i a1iM1i b1i= a1i , N1i=M1i ( 1)1+i b1iN1i = ( 1)1+i( a1i)M1i = ( 1)1+i a1iM1i snsnAAAAAA 11 snAAAA 1 ssnAAAA 1 ssnsnsnAAAAAAAAAA 1

18、212111 stnsttnAAAAAAAAA 11 ABA B ABGA BGstcc nsnAAA 1？0|A|= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin |A|= a1jA1j+a2jA2j+anjAnj 0|A|ijjnAAAAAA 111111ijjniAAAAAA jA= 0m n矩阵矩阵n阶行列式阶行列式定义定义加法加法数乘数乘乘法乘法m nAR ijijABab 12122iinAAAA 1211ininAAAAAA 1200iiAA 1211ininAAAAAA ijAa nAA 1nikkjkABa b ABBA 000ABAor B ABA BBA 000ABAor B

19、 1211ininAAAAAA n nARR :ABAB 121iinAAAA |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA ssnAAAA 10stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 671014rr 2167220行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48. njjccj 121nrrrr 211 njjcc 12 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1ssnAAAA 10stnsttnAAAA

20、AAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 = ( a+ b) Dn 1 Dn 2 = = bn 2 (D2D1) aDn 1 = b (Dn 1Dn 2) = = an 2 (D2D1) Dn 1 = a (Dn 1Dn 2) D1=a + b, D2 = a2 + 2 + ab aDn 1 = bn 2 (D2D1) (3)Dn 1 = an 2 (D2D1) (4)由由 (3) (4) a 可得，可得， nnnba DbDaDaDbD 112121nnnaabb 1 D1=a + b, D2 = a2 + 2 + a

21、b nnnbaif ab Dba 11, nnnnnba Dbbaaba 121211 nnnnif ab DaDaDaDa 2121, nnnnnnnnDaDaa aDaaa Da 121222 nnnnnaDnaaanana1111211 nnnaabb 1nncbccbc 211 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 设设A = (aij)n n为方阵为方阵, 元素元素aij的代数余子式为的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵则称如下矩

22、阵(1) 方阵方阵A的的 *TijjiijAAa*11nnikkjikjkkkAAa aaA ijijAAA E *A AA E 同理，同理，A* =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann由由A 1 使得使得AA 1 = A 1A= E,|A A 1| = |A|A 1| = |E| = 1 . 所以所以A 1 =|A|1A*.证明：证明： 必要性：必要性：充分性：充分性： *111AAAAA EEAAA *111AAA AA EEAAA(2) |B| = 2 0, B 1 =|B|1B*B11 = ( 1)1+12 14 3= 2,B21 =6, B22 = 6

23、, B23 = 2, B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2. 2 3 2 =21. B12 = 3,B13 = 2, 主换位主换位, 副变号副变号 4 5 26 6 2. 设设A, B为方阵为方阵, 若若AB=E(或或BA=E), 则则B= A 1.事实上事实上, AB = E |A| 0 A可逆可逆 B = EB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1E = A 1. 2A2+3A 2E = 0. 证明证明: A及及A2 +3E可逆可逆, 并求它们的并求它们的. 若若A, B为方阵为方阵, 只需检查只需检查AB = E 或或BA = E, 即可判别即可判别 A的可逆

24、性的可逆性. 2A2+3A = 2E 2A+3E) = 2E 1 = ( 2A+3E)(A2 +3E)(A 2E)+6E 2E=0 ( A2 +3E) 1 = 1/4 (A 2E) mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 0, x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD. 1 0,*A bA 1*11nikkka bA 11111nkkknkikknknkkAbAbAAb 11nkikkA bA 11inDDDD 该法

25、则的适用范围：该法则的适用范围：解解n元线性方程组元线性方程组 01. 方阵的正整数幂方阵的正整数幂 只定义在只定义在n阶方阵上的运算阶方阵上的运算 *TijjiAAA*AAA AA E*AAA 114. 伴随矩阵伴随矩阵 5. 可逆矩阵可逆矩阵 3. 行列式行列式 |A|: Rnn R1. 方阵的正整数幂方阵的正整数幂 乘积可交换的运算乘积可交换的运算*AAA AA E4. 伴随矩阵伴随矩阵 5. 可逆矩阵可逆矩阵 3. 行列式行列式 ABA BBA 11AAA AEknkmCC注注1. 0 r(Am n) minm, n注注1. 0 r(Am n) minm, n注注1. 0 r(Am n

26、) minm, n01ijrr 020ikrk 一次初等一次初等行变换行变换,AB 03ijrkr 一次初等一次初等行变换行变换,AB ABBA初等初等列列变换变换,AB 一次初等一次初等行变换行变换,AB 初等行变换初等行变换,AB 初等初等列列变换变换,AB 初等初等行行变换变换,TTAB 初等变换初等变换,AB 初等行变换初等行变换 ,AA r Ar A (阶梯数阶梯数)证明：证明：初等变换初等变换,AB ( )rm nE ( )( ),rrm nm nAEBE.AB2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 4 3 6 9 7 9A 131121401120001300000

27、初等行变换初等行变换 ,AA r Ar A (阶梯数阶梯数)( )rm nE (3)4 5E ,Tr A Br A BA,B的最高阶非零子式也是的最高阶非零子式也是(A,B)的非零子式的非零子式.设设U1,U2为为AT, BT的行最简形的行最简形.TTArB 12TTPOArOPB 12UrU r Ar B max,r Ar Br A B则存在可逆阵则存在可逆阵P1,P2, 使得使得P1AT = U1, P2BT = U2.12TTP ArP B max,r Ar Br A B r Ar B max,r Ar Br A B r Ar B ,r ABr AB B r Ar B ,r A B 则则(A,B)与与(A+B,B) 相抵相抵. ,A BAB B 1,in iincc max,r Ar Br A B r Ar B min,r Ar Bmr ABr Ar B 0,.If ABthen r Ar Bm 1212,TnnaaAa aaa 12,Tna aa 2112121222212,nnnnnaa aa aa aaa aa aa aa 0 0,ia20,iaTA 12,Tna aa