12 第12讲反比例函数

1、栏目索引第第1212讲讲反比例函数反比例函数总纲目录栏目索引预学案预学案记易记易精讲案精讲案学易学易考点一反比例函数的定义及变式考点二反比例函数的图象与性质考点三比例函数k的几何意义考点四解析式的确定类型一反比例函数k值的确定类型二反比例函数和一次函数的综合应用总纲目录栏目索引试真题试真题练易练易命题点一反比例函数k的几何意义命题点二命题点三命题点四命题点五求反比例函数的解析式反比例函数图象上的坐标特点反比例函数与一次函数的综合题型反比例函数的实际应用预学案记易栏目索引预学案记易考点一考点一反比例函数的定义及变式反比例函数的定义及变式k一般地:形如y= (k为常数,k0)的函数叫做反比例函数.

2、x变式1:y=kx(k为常数,k0).-1变式2:xy =k(k为常数,k0).预学案记易栏目索引考点二考点二反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质kk0k0图象是两条关于原点对称的双曲线所在象限图象特征一、三象限(x、y同号)二、四象限(x,y异号)图象无限接近坐标轴,但与坐标轴不相交增减性对称性在每个象限内,y随x的增大而 减小在每个象限内,y随x的增大而 增大关于直线y=x,y=-x成轴对称,关于原点成中心对称预学案记易栏目索引即学即练即学即练41.(2018江苏连云港,12,3分)已知A(-4,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=- 图象上的x两个点,则y1与y2的大小关系为

3、y10)图象上的一点, PA垂直x轴于点A,则POA的面积为1.x预学案记易栏目索引考点四考点四解析式的确定解析式的确定1.利用一个点的坐标代入求出利用一个点的坐标代入求出k值值(待定系数法待定系数法)2.利用利用k的几何意义求解析式的步骤的几何意义求解析式的步骤k设所求反比例函数为y= (k为常数,k0);x找到满足在反比例函数解析式上的点P(a,b);将P(a,b)代入解析式得k=ab;ab将k代入得y=.x预学案记易栏目索引即学即练即学即练k3.(2018南京,11,2分)已知反比例函数y= (k为常数,k0)的图象经过点(-3,-1),x则k = 3.预学案记易栏目索引特别提醒特别提醒

4、1.在列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围;2.在处理实际问题及图象时,一定要考虑函数的实际问题及自变量的取值范围.精讲案学易栏目索引精讲案学易类型一类型一反比例函数反比例函数k k值的确定值的确定例例1 (2018曲靖,7,4分)如图,在平面直角坐标系内,将OAB (顶点为网格线交k点)绕原点O顺时针方向旋转90 ,得到OA B,若反比例函数y= (k的常数,kx0)的图象经过点A的对应点A,则k的值为( CA.6 B.-3)C.3D.-6精讲案学易栏目索引命题思路命题思路失分警示失分警示考查平面直角坐标系内图形的旋转和反比例函数k值的确定.一是没掌握旋转的性质而导致A求解错误;二是没掌

5、握点在反比例函数图象上,k为横纵坐标的积;三是顺时针和逆时针方向弄错,而导致A求解错误.精讲案学易栏目索引实战预测实战预测1.如图,在平面直角坐标系内,将OAB (顶点为网格线交点)向下平移5个单位k长度,向左平移2个单位长度得到OA B,若反比例函数y= (k为常数,k0)的x图象经过点A的对应点A,则k的值为( D)A.-6B.5C.-5D.6精讲案学易栏目索引类型二类型二反比例函数和一次函数的综合应用反比例函数和一次函数的综合应用例例2 (2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的k图象经过点A(-2,0),与反比例函数y= (k为常数,k0,x

6、0)的图象交于B(a,4).x(1)求一次函数和反比例函数的表达式;k(2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y= (k为常数,k0,xx0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.精讲案学易栏目索引命题思路命题思路考查待定系数法求函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的判定与性质.失分警示失分警示一是没掌握求两函数图象交点的方法而导致无法求解;二是没掌握点在函数图象上点的表示方法而导致无法求解;三是没掌握平行四边形的性质及平行于坐标轴上两点间距离的求法而导致出错.精讲案学易栏目索引解解(1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-

7、2,0),-2+b=0,b=2,一次函数的表达式为y=x+2,k一次函数的图象与反比例函数y= (k0,x0)的图象交于B(a,4),xa+2=4,a=2,B(2,4),8反比例函数的表达式为y= .x?8?(2)设M(m -2,m ),N?,m?,m 0.?m?当MNAO且MN =AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.精讲案学易栏目索引8故?(m?2)=2且m 0,解得m =22或m =23+2,mM的坐标为(22-2,22)或(23,23+2).精讲案学易栏目索引实战预测实战预测k2.如图,已知双曲线y1= 与直线y2=ax+b交于点A(-3,1)和点B(m ,-3).x(1

8、)求双曲线和直线的解析式;(2)直接写出线段AB的长和y1y2时x的取值范围;(3)求AOB的面积.精讲案学易栏目索引解解k(1)把A(-3,1)代入y1= (k为常数,k0),x得k=-3 1=-3,3反比例函数的解析式为y1=- .x3把B(m ,-3)代入y1=- ,得-3m =-3,x解得m =1,则B(1,-3),?3a? b?1,?a? ?1,把A(-3,1),B(1,-3)代入y2=ax+b(a0),得?解得?a? b? ?3,?b? ?2.直线的解析式为y2=-x-2.精讲案学易栏目索引(2)AB =(?3?1) ? (1?3)=42,当x-3或0 x1时,y1y2.22(3)

9、设直线y2=-x-2与y轴的交点为C,则C(0,-2),OC=2.11SAOB=SAOC+SOCB= 2 3+ 2 1=4.22试真题练易栏目索引试真题练易命题点一命题点一反比例函数反比例函数k k的几何意义的几何意义k1.(2016云南,11,3分)位于第一象限的点E在反比例函数y= (k为常数,k0)的x图象上,点F在x轴的正半轴上,O是坐标原点,若EO=EF,EOF的面积等于2,则k等于( B)A.4B.2C.1D.-2试真题练易栏目索引2.(2014云南曲靖,13,3分)在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O为坐标k原点,点B(0,6),反比例函数y= (k为常数,k0)的图象过点

10、C,则k的值为 9 .x试真题练易栏目索引k3.(2016昆明,6,3分)如图,反比例函数y= (k0,x0)的图象经过A、B两点,过x点A作ACx轴,垂足为C,过点B作BDx轴,垂足为D,连接AO ,连接BO交AC于16点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为-3. 试真题练易栏目索引命题点二命题点二求反比例函数的解析式求反比例函数的解析式k4.(2015昆明,8,3分)如图,直线y=-x+3与y轴交于点A,与反比例函数y= (k0,x0).a已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间

11、的函数解析式(关系式);(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?试真题练易栏目索引解解k(1)总路程s与平均耗油量a之间是反比例函数关系s= (k为常数,ka0,a0),当a=0.1时,s=700,k=as=0.1 700=70.70该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a的函数关系式为s=(a0).a70(2)当a=0.08时,s=875.0.08答:当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶875千米.探疑难知易栏目索引探疑难知易易错题易错题k(2018红河模拟)如图,正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2= (k为常数,kx0)的图象相交于A、B两点,点A的纵

12、坐标为2.(1)求反比例函数的解析式;(2)求出点B的坐标,并根据函数图象,写出当y1y2时,自变量x的取值范围.探疑难知易栏目索引解析解析(1)A点在直线y1=x上,当纵坐标为2时,横坐标为2,k即A(2,2),A点又在反比例函数y2= 的图象上,x4k=2 2=4,反比例函数的解析式为y2= .x(2)A、B两点关于原点对称,B(-2,-2),当y1y2时,-2x2.探疑难知易栏目索引错解错解A,B两点关于原点对称,横纵坐标均互为相反数,即可得到B点坐标.误区鉴定误区鉴定如果概念不熟,找不到B点坐标,也就无法完成第二问.探疑难知易栏目索引当堂巩固当堂巩固8如图,已知一次函数y=kx +b的图象与反比例函数y=- 的图象交于A,B两点,x且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2.(1)求一次函数的解析式;(2)求AOB的面积;8(3)直接写出kx +b- 时x的取值范围.x探疑难知易栏目索引解解(1)由题意得A(-2,4),B(4,-2),一次函数的图象