选修11抛物线的标准方程和几何性质教案

1、第 1 页 适用学科 高中数学 适用年级 高二 适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 2课时 知识点 抛物线的标准方程和几何性质 教学目标 1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程(重点) 2掌握抛物线的标准方程和几何性质(重点) 教学重点 1抛物线标准方程与定义的应用(难点) 2会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点) 教学难点 1抛物线标准方程、准线、焦点的应用(易错点) 2直线与抛物线的公共点问题(易错点) 【教学建议】 本节课是在学习了椭圆和双曲线之后，学生在学习方法上已经有了一定的经验，所以教师可以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程的推导过程。自己来总结几何性质。 【

2、知识导图】 类型 y22px(p>0) 考点1 抛物线的标准方程和y22px(p>0) x22py (p>0) x22py(p>0) 1.教材整理 抛物线的标准方程 2.教材整理1 抛物线的几何性质 阅读教材P52表格的部分，完成下列问题. 3. 抛物线标准方程的推导 4. P的几何意义 教学过程 二、知识讲解 一、导入 第 2 页 阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题 抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为12ABxxp?，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，002ABp? 称为抛物线的通径 考点2 抛物线的焦点弦 ?1x?

3、222121xyy?2212kxx?14xx 类型一 求抛物线的焦点及准线 (1)抛物线2230yx?的焦点坐标是_准线方程是_ (2)若抛物线的方程为?20yaxa?，则抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_ 【解析】(1)抛物线2y23x0的标准方程是y232x， 2p32，p34，p238，焦点坐标是?38，0，准线方程是x38. 图象 性 质 焦点 ,02pF? ,02pF? 0,2pF? 0,2pF? 准线 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 xyR x0， yR xR， y0 xR， y0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e1 开口方向 向右 向左 向上 向下 三 、

4、例题精析 例题1 第 3 页 (2)抛物线方程yax2(a0)化为标准形式：x21 ay， 当a>0时，则2p1a，解得p1 2a，p21 4a，焦点坐标是?0，1 4a，准线方程是y1 4a. 当a<0时，则2p1a，p21 4a. 焦点坐标是?0，1 4a，准线方程是y1 4a， 综上，焦点坐标是?0，1 4a，准线方程是y1 4a. 【答案】 (1)?38，0 x3 8；(2)?0，1 4a y1 求抛物线的焦点及准线步骤 1把解析式化为抛物线标准方程形式 2明确抛物线开口方向 3求出抛物线标准方程中p的值 4写出抛物线的焦点坐标或准线方程 类型二 ：求抛物线的标准方程 根据

5、下列条件确定抛物线的标准方程 (1)关于y轴对称且过点(1,3)； (2)过点(4,8)； (3)焦点在x2y40上 【精彩点拨】 (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x2y40与坐标轴的交点，应先求交点再写方程 【解析】 (1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p>0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p·(3)，解得p16，所以所求抛物线方程为x213y. 法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点()1，3，所以1m·(3)，即m13，所以所求抛物线方程为x213y

6、. 例题2 第 4 页 (2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p>0)或x22py(p>0)，将点(4，8) 的坐标代入y22px，得p8；将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y. 法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644·n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为 x22y. 综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y. (3)由? x0，x2y40，得? x

7、0，y2，由? y0，x2y40，得? y0，x4. 所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由p22，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由p24，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x. 【总结与反思】 求抛物线的标准方程 求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程 (1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程 (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值 对于对称轴确定，开口方向也确定的抛

8、物线，根据题设中的条件设出其标准方程： ?222220,20,20,20ypxpypxpxpypxpxp?进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程 对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线： 当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为?20yaxa?； 第 5 页 当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为?20xaya?，再根据条件求a. 类型三 抛物线的标准方程及定义的应用 (1)设P 是曲线y24x上的一个动点，求点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值 (2)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A

9、(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标 【解析】 (1)抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于PBPF.如图，PBPFBF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF5. (2)将x3代入抛物线方程y22x，得y±6. 6>2，A在抛物线内部 设抛物线上点P到准线l：x12的距离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当APl时，PAd最小，最小值为72，即PAPF的最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2) 【总结与反思】 (

10、1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PBPFBF求解(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解 类型四：抛物线的几何性质 (1)已知双曲线1C：?222210,0xyabab?的离心率为2.若抛物线?22:20Cxpyp?的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为_ 例题3 例题4 第 6 页 (2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_ 【自主解答】 (1)双曲线1C :?222210,0xyabab?的离心率为2， 双曲线的渐

11、近线方程为30xy?，抛物线2C：?220xpyp? 的焦点0,2p?到双曲线的渐近线的距离为 ? 3×0±p222，p8.所求的抛物线方程为216xy?. (2)不妨设抛物线的方程为22ypx?，如图所示，AB是抛物线的通径，AB2p，又OF 1 2p ，2111124222222OABSABOFpppp? 所以抛物线的方程为242yx? 【答案】 (1) 216xy?； (2) 242yx ? 类型五 抛物线的最值问题 例题 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离. 【精彩点拨】 本题的解法有两种：法一，设P(t，t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d|4

12、t 3t28|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x3ym0与直线4x3y80平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离 【解析】 法一：设P(t，t2)为抛物线上的点， 它到直线4x3y80的距离 d|4t 3t28|5|3t 24t8|5 当t2 3时，d有最小值43. 第 7 页 法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0， 由? yx2，4x3ym0，消去y得3x24xm0，1612m0，m4 3. 最小距离为?843 520 3 543. 类型六 抛物线的焦点弦 已知过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线

13、于A，B两点，且AB52p，求AB所在的直线方程 【精彩点拨】 求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，ABx1x2p52p求解 【解析】 由题意可知，抛物线y22px(p>0)的准线为xp2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，知AFdAx1p2，BFdBx2p2， 于是ABx1x2p52p，x1x232p. 当x1x2p2时，AB2p<52p， 故直线AB与x轴不垂直 设直线AB的方程为2pykx? 由222pykxypx?，?222221204kxpkxkp? 故直线AB的方程为222

14、pyxxp?或222pyxxp? 类型七 直线和抛物线的位置关系 例题6 第 8 页 求过定点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程 【教学点拨】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形 【解析】 若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0. 由? x0，y22x，得? x0，y0， 直线x0与抛物线只有一个公共点； 若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为ykx1. 由? ykx1，y22x，消去y得k2x22(k1)x10. 当k0时，有

15、? x12，y1，即直线y1与抛物线只有一个公共点； 当k0时，有4(k1)24k20，k12， 即方程为y12x1的直线与抛物线只有一个公共点 综上所述，所求直线的方程为x0或y1或y12x1. 1.设抛物线的顶点在原点，准线方程x2，则抛物线的方程是_ 2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_. 3.过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_. 4.直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A，则实数b的值为_ 四 、课堂运用 基础 例题7 第 9 页 答案与解析 1.【答案】 y28x 【解析】由准线方程x2，顶点

16、在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p4.故所求抛物线方程为y28x. 2. 【答案】a1 8. 【解析】抛物线的标准方程为x21 ay.则a0且21 4a，得a1 8. 3. 【答案】10 【解析】PQx1x2210. 4. 【答案】-1 【解析】 由? yxb，x24y，得x24x4b0， 因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1. 1.若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，求PAB的面积的最小值 2.已知抛物线的方程为y28x. (1)求它的焦点坐标和准线方程； (2)若该抛物线上一点到y轴

17、的距离为5，求它到抛物线的焦点的距离； (3)该抛物线上的点M到焦点的距离为4，求点M的坐标 3.已知抛物线y4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是_ 4.抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB43，则焦点到弦AB的距离为_ 答案与解析 1.【答案】22. 【解析】 由题意，得p2，直线AB过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由? yx1，y24x，可得x26x10， 巩固 第 10 页 所以x1x26，x1x21，则 2AB=8 设P ?y204，y0，则点P到直线AB的距离为d ?y20 4y012，PAB的面积 S12AB

18、·d|y 204y04| 2? ?2022y?22，即PAB的面积的最小值是22. 2. 【答案】 【解析】(1)焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2. (2)设M(x0，y0)是抛物线y28x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|x0p2527.它到抛物线焦点的距离为7. (3)M到焦点的距离为4，M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为2.M的坐标为( 2，±4) 3. 【答案】?±158，1516. 【解析】 设M(x0，y0)，把抛物线 y4x2化为标准方程，得x214y. 则其准线方程为y116，由抛物线的定义，可知y0 ?1161

19、，得 y015 16，代入抛物线的方程，得x201 4×15161564，解得x0 ±158 ，则M的坐标为? ±158， 1516. 4. 【答案】2 【解析】由题意我们不妨设A(x,23)，则(23)24x，x3，直线AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2. 1.在抛物线y216x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是_. 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值 3.如图2-4-1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段

20、构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米 拔高 第 11 页 图2-4-1 (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程； (2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米) 4.已知抛物线y22px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程 答案与解析 1.【答案】 y8x15 【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为k，则直线方程为?12ykx?，由?21216ykxyx

21、?消去x得?21616120kyyk? 8k?，代入得815yx?. 2. 【答案】抛物线方程为y28x；m± 26. 【解析】法一：由题意可设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点为F?p2，0， 因为点M在抛物线上，且MF5，所以有 ? m26p，m2? 3p225， 解得? p4，m26或? ? p4，m26. 故所求的抛物线方程为y28x，m的值为±26. 法二：由题可设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点为F?p2，0，准线方程为xp2， 根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5， 则3p25， p4， 抛物线方程为y2

22、8x. 第 12 页 又点M(3，m)在抛物线上， m224，m± 26. 3. 【答案】4.1米 【解析】 如图所示： (1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)， 因为点C(5，5)在抛物线上，所以p52. 所以该抛物线的方程为x25y. (2)设车辆高h，则DBh0.5， 故D(3.5，h6.5)， 代入方程x25y，解得h4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米. 4. 【答案】抛物线方程为y2 455x. 【解析】 设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为y1kx， 由? ykx，y22px，得x0(舍 )或x2pk2， A点坐标为 ? 2pk2，

23、2pk，B点坐标为(2pk2，2pk)， 由|OA|1 ，|OB|8， 可得?2242221414164kpkpkk?解方程组得664k?，即2 4k?.则?22216451pkk?， 又p>0，则 p255， 故所求抛物线方程为y 245 5x. 1. 抛物线的标准方程和几何性质 五 、课堂小结 第 13 页 2. 抛物线的几何性质的应用 3. 焦点弦长公式 4. 抛物线中的最值问题 1抛物线x22y上的点M到其焦点F的距离MF52，则点M的坐标是_ 2已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_ 3若动圆与圆(x2)2y21外切，

24、又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程为_ 4在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)若线段OA的垂直平分线过抛物线 y22px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_ 答案与解析 1.【答案】 (±2,2) 【解析】 设点M(x，y)，抛物线准线为y12，由抛物线定义， y?1252，y2，所以x22y4，x±2，所以点M的坐标为(±2,2) 2. 【答案】 54 【解析】 如图，由抛物线的定义知，AMBNAFBF3，CD32，所以中点C的横坐标为321454，即C到y轴的距离为54. 3. 【答案】 y28x 【解析】设动圆半径为r，动圆圆心O

25、(x，y)到点(2,0)的距离为r1.O到直线x1的距离为r，O到(2,0)的距离与O到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y28x. 六 、课后作业 基础 第 14 页 4.【答案】 x5 4 【解析】 由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点?54，0，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x54. 1.（ 苏北三市三模）6已知点F为抛物线24yx?的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为 2在平面直角坐标系xOy中，若抛物线22ypx?经过点?42， ，则实数p? 3.(南京盐城一模)6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原

26、点，焦点在x轴上，若曲线C经过点(1,3)P，则其焦点到准线的距离为 . 4.（苏北四市期末）7抛物线24yx?的焦点到双曲线221169xy?渐近线的距离为 答案与解析 1.【答案】43 【解析】联立方程求A点坐标，再求斜率。 2. 【答案】12 【解析】代入方程求解 3. 【答案】92 【解析】代入方程求解 4. 【答案】35 【解析】点到直线的距离公式的运用. 1.(2019·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：24xy?的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FMMN= . 2. (1)已知M为抛

27、物线24yx?上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3，1)，求MP+MF的 巩固 拔高 第 15 页 最小值. (2)给定抛物线22yx?，设?,0,0Aaa?，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值. 3. (2019·苏北四市期末)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线22ypx?(p>0)的准线方程为 x=-14，过点M(0，-2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O).直线l过点M，与抛物线交于B，C两点，与直线OA交于点N. (1)求抛物线的方程. (2) 试问：MNMB +MNMC的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 4.已知抛物线y2=

28、2px(p>0)的焦点弦(经过焦点的弦)AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则1212yyxx的值一定为 . 答案与解析 1.【答案】13 【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF 的方程为22x +1y=1，将它与抛物线方程 联立解得212xy?， 或-222.xy?，依题意知交点在第一象限，故取 M122?，.准线方程为1y?，故易求得点 N(42，-1) ，所以由三角形相似性质得FMMN =11-21-(-1)2=13. 方法二：如图，设点M到准线的距离为MB ，则根据条件得FMMB=1. (例2) 又因为F(0，1)，所以直线FA的斜率为 k=1-22 =-24， 从而sin ANB=218 =13， 第 16 页 即MBMN=13 ，所以FMMN =13. 2. 【答案】(1)(MP+MF)min=1+3=4.(2)0<a<1时dmin=a,当a1时,dmin =2-1a. 【解析】(1)如图，过M作MN准线l，则MP+MF=M