向量难题附加解析

1、 第1页（共11页） 2016年02月12日高中数学组卷 一选择题（共4小题） 1（2015?天津校级一模）在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y 满足，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3， 记，则2?3取到最大值时，2x+y的值为（ ） A1 B1 C D 2（2015?哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC 内一点，且满足，若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（ ） A B1 C2 D3 3（2014?安庆三模）如图所示，设P为ABC 所在平面内的一点，并且 = +，则ABP与ABC的面积之比等于（ ） A B C

2、D 4（2013? 重庆）在平面上， ， | |=|=1 ， = +若 |，则 |的取值范围是（ ） A（0 ， B （ ， C （ ， D （ ， 二填空题（共6小题） 5（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC 上的动点，则的最小值为 第2页（共11页） 6（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3 ，则= 7（2014?余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB 上，则的取值范围是 8（2014?韶关模拟）已知AD是ABC的中线，若A=120&#

3、176; ， ，则的最小值是 9（2010?武昌区模拟）ABC的面积为1 ，P为ABC 内一点，且，则BCP的面积为 10（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5 ， =3 ， ?=2， 则 ?的值是 第3页（共11页） 2016年02月12日MISAYA的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共4小题） 1（2015?天津校级一模）在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y 满足，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3， 记，则2?3取到最大值时，2x+y的值为（ ） A1 B1 C D 【考点】平面

4、向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式 【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用；平面向量及应用 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半，从而得到S1=S=S2+S3由此结合基本不等式求最值，得到当2?3取最大值时点P在EF 的中点再由向量的加法的四边形法则，算出，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出2x+y的值 【解答】解：由题意，可得 EF是ABC的中位线， P到BC的距离等于ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3 由此可得2?3 = = 当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立 += 由向量的加法的四边形法则可得

5、， ， 两式相加，得 由已知得 根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y= 综上所述，可得当2?3取到最大值时，2x+y的值为 故选：D 第4页（共11页） 【点评】本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比2、3的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题 2（2015?哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC 内一点，且满足，若OAB的面积与OAC的面积比值为3，则的值为（ ） A B1 C2 D3 【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义 【专题】计算题；压轴题 【分析】如图D，E分别是

6、对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件 得到；由于正三角形ABC ，结合题目中的面积关系得到 =，由可得O分DE所成的比，从而得出的值 【解答】 解：， 变为 如图，D，E分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知 故 在正三角形ABC中， = =， 且三角形AOC与三角形ADC同底边AC， 故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一， 故 =， ?= 由得= 故选A 第5页（共11页） 【点评】本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 3（2014?安庆三模）如图所示，设P为ABC

7、 所在平面内的一点，并且 = +，则ABP与ABC的面积之比等于（ ） A B C D 【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；压轴题 【分析】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由ABP与ABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到ABP的面积与ABC面积之比 【解答】解：连接CP并延长交AB于D， P、C、D 三点共线，= + ，且+=1 设 =k ，结合 = + ，得 = + 由平面向量基本定理解之，得=，k=3且=， = + ，可得 =， ABP的面积与ABC有相同的底边AB 高的比等于

8、|与 |之比 ABP的面积与ABC面积之比为， 故选：C 第6页（共11页） 【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比 4（2013? 重庆）在平面上， ， | |=|=1 ， = +若 |，则 |的取值范围是（ ） A（0 ， B （ ， C （ ， D （ ， 【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义 【专题】压轴题；平面向量及应用 【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论 【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以

9、AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）， 由=1 ，得 ，则 | ， （xa）2+y2=1，y2=1（xa）21， y21 同理x21 x2+y22 由 知， | |= ， | 故选D 第7页（共11页） 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题 二填空题（共6小题） 5（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC 上的动点，则的最小值为 5 【考点】向量的模 【专题】平面向量及应用 【分析】根据题

10、意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba） ，求出，根 据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值 【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0） 设P（0，b）（0ba） 则=（2，b） ，=（1，ab）， =（5，3a4b） =5 故答案为5 【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力 6（2012?湖南）如图，在平

11、行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3， 则= 18 第8页（共11页） 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；压轴题 【分析】设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的 关系，代入向量的数量积 =| |cosPAO可求 【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO APBD，AP=3， 在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3 |cos OAP=2|×cos OAP=2|=6， 由向量的数量积的定义可知， =| |cosPAO=3×6=18 故答案为： 18 【点评】本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解

12、题的关键在于发现规律：AC×cosOAP=2×AOcosOAP=2AP 7（2014?余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB 上，则的取值范围是 0，16 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；综合题；压轴题 【分析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C（2，4），D（2，4），P（2cos，2sin）， 得到 、坐标，用向量数量积的坐标公式化简， 得=1616sin，再结合0， ，不难得到的取值范围 【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系 第9页（共11页） 则圆弧A

13、PB方程为x2+y2=4，（y0），C（2，4），D（2，4） 因此设P（2cos，2sin），0， =（22cos，42sin） ，=（22cos，42sin）， 由此可得=（22cos）（22cos）+（42sin）（42sin） =4cos24+1616sin+4sin2=1616sin 化简得=1616sin 0，sin0，1 当=0或 时，取最大值为16；当 = 时，取最小值为0 由此可得的取值范围是0，16 故答案为：0，16 【点评】本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题 8（2014?韶关模拟）

14、已知AD是ABC的中线，若A=120° ， ，则的最小值是 1 【考点】向量在几何中的应用 【专题】压轴题；平面向量及应用 【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式， 即可求的最小值 【解答】 解： =| |cosA，A=120°，（7分） | |=4（8分） =（ +）， |2=（ |2 +|2 +2 ?）=（ |2 +|24） 第10页（共11页） （ 2| |4）=1（10分） min=1（12分） 故答案为：1 【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题 9（2010?武昌区模拟）ABC的面积为1 ，P为AB

15、C 内一点，且，则BCP的面积为 【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；压轴题 【分析】在ABC 中，作出向量，由向量的几何意义，三角形的面积公式，且ABC的面积为1，可以求出BCP的面积 【解答】解：如图，在ABC 中，作出， 平移 ，其中， ABC的面积为： S= =sinA=1， 而ADE，CEP，平行四边形BDEP的面积和为： = | ? sinA+ + =， 所以BCP的面积为：1= 本题也可以通过左移点P ： 个单位，下移个单位，到点A知BCP边BC上的高h2是ABC边BC上的高h1的，即BCP的面积是ABC的 故答案为： 【点评】本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积 第11页（共11页） 10（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5 ， =3 ， ?=2， 则 ?的值是